中美高校微積分教材比較

孫保炬 傅宇辰 陳怡 沈喆

摘 要：本文選用了同濟(jì)大學(xué)出版的《高等數(shù)學(xué)》第七版與由葉其孝、王耀東等翻譯的《Thomas Calculus》譯本第十版進(jìn)行比較分析。對于兩本教材的內(nèi)容、排版、結(jié)構(gòu)、習(xí)題進(jìn)行初步分析，為我國微積分課程的教學(xué)提供指導(dǎo)意見。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);教材比較;內(nèi)容分析

微積分是一門研究微分、積分及其相關(guān)概念的一門學(xué)科，屬于數(shù)學(xué)大類。自然科學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的發(fā)展，幾百年來微積分理論對自然科學(xué)的進(jìn)步提供了巨大的動力，為解釋一些自然現(xiàn)象提供了有力的理論依據(jù)。微積分促進(jìn)了理學(xué)、工學(xué)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科發(fā)展，直到今日我們?nèi)阅軓闹惺芤?，這也是許多高校的理工科專業(yè)開設(shè)微積分為必修課的原因。微積分課程的教學(xué)質(zhì)量既關(guān)系到學(xué)生今后的發(fā)展，也關(guān)系到本科學(xué)生讀研深造，然而微積分課程的教學(xué)質(zhì)量與其選用的教材息息相關(guān)。

隨著全球化的持續(xù)推進(jìn)，我們不能僅僅拘泥于本國原有的教材和教學(xué)方法，需要開拓國際化視野。眾所周知，美國是世界上本科教育質(zhì)量最高的國家之一。故本文我們將對其采用的微積分教材進(jìn)行比較探究，并在最后提出幾點(diǎn)對我國目前本科微積分教學(xué)的建設(shè)性意見。以下文章中所提到的《微積分》即指《Thomas Calculus》，《高等數(shù)學(xué)》即指同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》。

一、 教材知識點(diǎn)比較

1. 教材知識容量

《微積分》的知識依次包含：預(yù)備知識、極限、一元微分學(xué)、一元積分學(xué)、微分方程、級數(shù)、向量、多元微分學(xué)、多元積分學(xué)，共計14個章節(jié);《高等數(shù)學(xué)》的知識依次包括：極限、一元微分學(xué)、一元積分學(xué)、微分方程、空間向量、多元微分學(xué)、多元積分學(xué)、級數(shù)，共計12章。

兩本書的知識點(diǎn)幾乎都是重合的，只是在知識排版和順序上有所不同。特別的是，《微積分》中有預(yù)備知識這一章節(jié)，很好的銜接了高中和大學(xué)，給了大學(xué)生一段從高中的初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的時間。當(dāng)然也可能是中國和美國的高中教育的差異導(dǎo)致了美國學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時需要過渡。但同時對中國高中階段一些知識漏洞的補(bǔ)充也有幫助：例如反函數(shù)和參數(shù)方程內(nèi)容，由于中國各省份的高考試卷考綱有些不一致，所以對反函數(shù)和參數(shù)方程進(jìn)行細(xì)化講解很有必要。

兩本教材對于章節(jié)順序的設(shè)定均比較合理，但現(xiàn)在許多中國的教材將級數(shù)這一章節(jié)放在了一元積分學(xué)之后，因為級數(shù)畢竟是一個求和的式子，和積分有著密不可分的關(guān)系。例如極限中利用積分的黎曼和式解答，黎曼和實際上就是級數(shù)的一種。微分方程解題過程中需要結(jié)合一元微積分學(xué)的知識，故將微分方程和級數(shù)放在一元微積分學(xué)之后是一種比較合理的順序。

從教材難度來說，我國教材要優(yōu)于美國教材，我國教材中的曲線曲面積分是美國教材未涉及的，我們的教材涉及范圍更廣，內(nèi)容體系更為嚴(yán)密。

2. 教材各課時排版

《微積分》中每一小節(jié)的大致順序，先是知識引入，一般由物理問題引入，其次是主干知識與例題，最后是習(xí)題，而《高等數(shù)學(xué)》缺少這一引入，在大部分章節(jié)中均沒有引入這一環(huán)節(jié)。這導(dǎo)致學(xué)生很難理解學(xué)習(xí)微積分到底有什么用。微積分課程是大部分理工科開的課程，對于物理知識的引入很有必要，這對于學(xué)生今后專業(yè)課的學(xué)習(xí)也是很有幫助的。

3. 教材適用學(xué)生類型

《微積分》這本教材其實更加適合自學(xué)的人，因為它的語言簡潔，適用于零基礎(chǔ)的人，且習(xí)題量大于《高等數(shù)學(xué)》，習(xí)題涉及了許多理學(xué)，工學(xué)，藝術(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域，教學(xué)內(nèi)容更加注重應(yīng)用，缺點(diǎn)是不注重分析結(jié)論的理論來源，更注重實際來源，對于本科專業(yè)是數(shù)學(xué)且今后要從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生不太適用，但對于以微積分為工具的工科學(xué)生是比較適合的?！陡叩葦?shù)學(xué)》更偏重基礎(chǔ)，基礎(chǔ)較好和較差的學(xué)生學(xué)習(xí)起來很容易拉開差距，其學(xué)術(shù)性更為嚴(yán)謹(jǐn)，教材體系也更為詳細(xì)。

4. 教材對數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)文化，不僅包括數(shù)學(xué)的定理、公式、思想方法、語言、觀點(diǎn)，還包括它們的形成與發(fā)展、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育以及數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系。這對于一名學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，起著重要的意義。微積分屬于數(shù)學(xué)的一門分支學(xué)科，它系統(tǒng)地創(chuàng)立于17世紀(jì)，由英國的科學(xué)家牛頓與萊布尼茨創(chuàng)立。實際上，在我國古代，這種思想也出現(xiàn)了萌芽，如劉徽的“割圓術(shù)”、祖暅的“祖暅原理”等。

對于教材中一小節(jié)的知識點(diǎn)內(nèi)容，我們大致可以分為正文、材料拓展、例題三個模塊。在這些模塊中處處可融入數(shù)學(xué)文化。如表一所示，從縱向比較來看，《微積分》中對于數(shù)學(xué)文化的補(bǔ)充極其豐富，幾乎是《高等數(shù)學(xué)》的三倍，從橫向來看，《高等數(shù)學(xué)》分布不太勻稱，材料拓展部分幾乎沒有，而《微積分》分布較為勻稱。

5. 以“導(dǎo)數(shù)及微分”為例的對比

“導(dǎo)數(shù)及微分”這一章節(jié)是微積分中微分學(xué)部分的基礎(chǔ)，兩本教材都放在了極限章節(jié)的后面，兩書也不約而同地將“導(dǎo)數(shù)及微分”與“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”，分成了兩個章節(jié)。在我國，人教版高中教材選修2-2中已有導(dǎo)數(shù)章節(jié)，并且在高考數(shù)學(xué)中也有體現(xiàn)，相比較美國學(xué)生，我國學(xué)生對于初等函數(shù)的求導(dǎo)更為得心應(yīng)手，只是對于求導(dǎo)其中的數(shù)學(xué)原理不是很了解，故對于二者差異，兩本教材也選擇從不同的出發(fā)點(diǎn)對“導(dǎo)數(shù)及微分”進(jìn)行講述?！段⒎e分》的教材知識模板較多，但總體來說，二者在本章節(jié)的知識點(diǎn)大致相同。整體的講述順序都是從導(dǎo)數(shù)入手，再介紹二階、高階求導(dǎo)以及隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)，最后介紹微分。其主要區(qū)別大致有這么兩點(diǎn)：

① 《高等數(shù)學(xué)》依據(jù)的是求導(dǎo)進(jìn)行推進(jìn)，《微積分》依據(jù)的是函數(shù)進(jìn)行推進(jìn)。

兩教材都是先介紹了導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義，然后《高等數(shù)學(xué)》中介紹了求導(dǎo)基本公式、高階求導(dǎo)、隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)，最后介紹微分。而《微積分》是從函數(shù)類型入手學(xué)習(xí)冪函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的求導(dǎo)與微分，沒有把微分列為單獨(dú)一個小節(jié)，在各個函數(shù)的小節(jié)中介紹。相比較而言，《高等數(shù)學(xué)》的章節(jié)設(shè)置更為循序漸進(jìn)，知識體系合理嚴(yán)密，《微積分》的章節(jié)設(shè)置更為獨(dú)立分散，有利于幫助學(xué)生培養(yǎng)“大膽猜測，小心證明”的數(shù)學(xué)思想，如通過這一函數(shù)的求導(dǎo)聯(lián)想猜測另一函數(shù)的求導(dǎo)。

② 《微積分》更傾向于實際應(yīng)用。

在《高等數(shù)學(xué)》中，雖然有介紹相關(guān)變化率，但卻把這一內(nèi)容安排在一個小節(jié)中。而《微積分》將其列為一個大節(jié)，這足以體現(xiàn)《微積分》更重視知識的實際應(yīng)用，這一方面在后文的習(xí)題比較中也有體現(xiàn)。

二、教材習(xí)題比較

習(xí)題，無論對于學(xué)生學(xué)習(xí)還是老師教學(xué)，都起著很重要的作用，一本教材的優(yōu)劣不僅僅取決于它對于知識點(diǎn)的講述，還在于它的習(xí)題，數(shù)學(xué)是一門偏理論的學(xué)科，是許多應(yīng)用型學(xué)科的基礎(chǔ)，故而習(xí)題的選擇也十分重要。

1. 習(xí)題類型比較

兩書中的“拓展”模塊占比最低，當(dāng)然這也可以理解，本身“拓展”部分對于學(xué)生水平要求過高，兩書的“了解”模塊占比相似，都比較重視基礎(chǔ)的習(xí)題。《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題大部分屬于“理解”模塊，這能夠促進(jìn)學(xué)生思考。但“應(yīng)用”模塊過少，關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的習(xí)題過少，更注重學(xué)生邏輯思維能力培養(yǎng)，而《微積分》恰恰相反，“應(yīng)用”模塊相比起《高等數(shù)學(xué)》較多，“理解”模塊相比于《高等數(shù)學(xué)》較少，更加注重學(xué)生的發(fā)散型思維培養(yǎng)，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中加強(qiáng)與其他學(xué)科的聯(lián)系。

2. 習(xí)題涉及其他學(xué)科領(lǐng)域比較

據(jù)統(tǒng)計《高等數(shù)學(xué)》中涉及其他學(xué)科領(lǐng)域的共56題，《微積分》共549題，不難看出《高等數(shù)學(xué)》中涉及到其他學(xué)科的習(xí)題數(shù)量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于《微積分》。數(shù)學(xué)，無論微積分也好，線性代數(shù)、概率論也好，都屬于基礎(chǔ)學(xué)科，除了要從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生外，學(xué)習(xí)的最終目的就是應(yīng)用于其他學(xué)科，這也是學(xué)生在求學(xué)階段一直要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因。在這一點(diǎn)上，《高等數(shù)學(xué)》對于其他學(xué)科的涉及過少，不利于幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，不明確目的的學(xué)習(xí)是盲目的，是沒有動力的，這也是我國許多理工科高校生反感數(shù)學(xué)的原因之一。

《微積分》中涉及物理學(xué)共287道，經(jīng)濟(jì)學(xué)102道，建筑學(xué)65道，醫(yī)學(xué)及其他共95道，可以看出，占總量一半以上的是物理學(xué)，也應(yīng)了“數(shù)理不分家”這句話。事實上，物理的學(xué)習(xí)確實離不開微積分，例如力的做功，我們在中學(xué)階段只學(xué)習(xí)定力做功，而在實際生活中并沒有多少定力做功的情況，更多的還是變力做功，所以這就需要利用微積分相關(guān)知識來進(jìn)行求解。

三、研究結(jié)論與建議

1. 結(jié)論

綜合上述比較，可以得出中美微積分教材之間的差異與共同點(diǎn)：首先《高等數(shù)學(xué)》更偏向于學(xué)術(shù)研究，抽象性更高，對于知識的合理嚴(yán)密性要求更高，而《微積分》更偏向于實際的生活應(yīng)用，更看重知識的應(yīng)用層次。其次，在排版順序上，《微積分》將“級數(shù)”放在“定積分”之后更為合理。再次，從習(xí)題方面來看，對于學(xué)習(xí)學(xué)透微積分，《高等數(shù)學(xué)》更為合理，習(xí)題大部分是屬于“理解”類型。此外，從書的質(zhì)量與美觀程度來看，《微積分》更加美觀，其配圖也比《高等數(shù)學(xué)》更為生動。從數(shù)學(xué)文化角度看，《微積分》也優(yōu)于《高等數(shù)學(xué)》，其涉及的數(shù)學(xué)文化更加全面、廣泛，人文藝術(shù)氛圍更濃厚。最后，從知識的組成看，《高等數(shù)學(xué)》是“高樓”結(jié)構(gòu)，而《微積分》屬于“平房”結(jié)構(gòu)，例如學(xué)習(xí)求導(dǎo)，《高等數(shù)學(xué)》會鋪墊函數(shù)知識，再學(xué)習(xí)所有函數(shù)的求導(dǎo)法則，而《微積分》是先學(xué)習(xí)某一個函數(shù)性質(zhì)再研究這個函數(shù)的求導(dǎo)?？傮w來說，沒有誰優(yōu)誰劣，只有適合與不是之分。

2. 對學(xué)生的建議

首先，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，與學(xué)生們今后的發(fā)展息息相關(guān)。微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，故同學(xué)們應(yīng)當(dāng)明確學(xué)習(xí)態(tài)度，了解學(xué)習(xí)微積分的目的，積極地學(xué)習(xí)這門課程。其次，在學(xué)習(xí)微積分時，要加強(qiáng)對概念的思考和理解，用邏輯性思維將相關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來。最后，要加強(qiáng)微積分知識的應(yīng)用能力，習(xí)題的練習(xí)是微積分學(xué)習(xí)中不可或缺的一個環(huán)節(jié)。除此以外，希望同學(xué)們不要只拘泥于課本，可以聯(lián)系自己所學(xué)的專業(yè)知識，用微積分的思想來解決實際問題，做到學(xué)以致用。

3. 對教師的建議

從事微積分相關(guān)教學(xué)的教師，可以更多的引入微積分在生產(chǎn)生活中應(yīng)用的例子，理論聯(lián)系實際。這樣既能激發(fā)學(xué)生對微積分學(xué)習(xí)的興趣，又能讓學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)這門課程。還可以引入介紹一些數(shù)學(xué)史，包括各類定理的產(chǎn)生的年代背景與數(shù)學(xué)家的故事。在習(xí)題的選擇上，也可以增加與生活更加貼近的微積分問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實際應(yīng)用能力。

4. 對我國高校教材編寫的建議

在我國之后發(fā)行的微積分教材中，可以適當(dāng)?shù)卦黾游⒎e分應(yīng)用于其他學(xué)科的例子，并運(yùn)用更加通俗易懂的語言講訴知識、聯(lián)系實際，從而增強(qiáng)讀者的理解能力和應(yīng)用能力。其次，在版面設(shè)計上，多放插圖幫助學(xué)生理解內(nèi)容，盡量減少大篇幅的文字闡述，從而更加突出重點(diǎn)。

結(jié)語：

這次論文的撰寫，使我提升了總結(jié)比較能力，進(jìn)一步了解了高等數(shù)學(xué)各部分的框架與聯(lián)系，這對我將來的工作應(yīng)用與深造考學(xué)都有很大的幫助。另外，我要感謝本文的指導(dǎo)老師吳福珍和沈喆同學(xué)、陳怡同學(xué)，沒有他們的持續(xù)努力與辛勤付出，便沒有這篇論文的誕生。本文若有缺憾與不足之處，煩請斧正。

（作者單位：1.浙江水利水電學(xué)院建工學(xué)院，浙江 杭州 310018; ?2合肥工業(yè)大學(xué)電氣學(xué)院，安徽 合肥 230009）