稀疏度擬合的自適應(yīng)機(jī)械振動信號壓縮感知*

楊正理， 史 文， 陳海霞

(三江學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院 南京，210012)

引 言

機(jī)械振動信號中蘊(yùn)含了設(shè)備運(yùn)行的豐富信息，所以常用于對設(shè)備進(jìn)行故障診斷和狀態(tài)監(jiān)測[1]。然而機(jī)械振動信號為動態(tài)復(fù)雜非平穩(wěn)信號，具有較高頻率。為了對機(jī)械振動信號實現(xiàn)不失真還原，根據(jù)傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理，必須以不小于兩倍振動信號帶寬的頻率進(jìn)行全采樣，這必然會產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)，為信號的存儲、傳輸和重構(gòu)帶來很多困難[2]。

壓縮感知(compressed sensing，簡稱CS)理論為解決這一問題提供了良好解決方案[3-4]，并在機(jī)械振動信號處理領(lǐng)域成為諸多學(xué)者研究的熱點，且取得了很大的研究成果。文獻(xiàn)[5]基于字典學(xué)習(xí)對軸承故障時的機(jī)械振動信號特征進(jìn)行提取，解決了故障信號中的沖擊成分微弱容易被噪聲覆蓋的問題，滿足了軸承實時故障監(jiān)測需求。文獻(xiàn)[6]基于K-奇異值分解(K-singular value decomposition，簡稱K-SVD)構(gòu)造過完備字典實現(xiàn)振動信號精確重構(gòu)方法，提高了信號的壓縮率和重構(gòu)性能。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于K-SVD改進(jìn)算法的字典更新方法，算法每次奇異分解后同時對多列字典原子進(jìn)行更新，減少了迭代次數(shù)，在保證信號重構(gòu)質(zhì)量的前提下有效縮短了字典訓(xùn)練的時間消耗。文獻(xiàn)[8]提出了基于稀疏編碼判別軸承故障的診斷方法，通過引入Fisher準(zhǔn)則，在頻域?qū)收闲盘栠M(jìn)行處理，提高了故障診斷的準(zhǔn)確率。文獻(xiàn)[9]提出基于提升小波的自適應(yīng)CS方法，利用小波系數(shù)的稀疏度對提升小波的濾波器和分解尺度進(jìn)行選取，優(yōu)化了提升小波參數(shù)，提高了機(jī)械振動信號的重構(gòu)速度。

然而，目前對機(jī)械振動信號的CS仍存在一些不足：①CS的采樣率確定沒有和信號的重構(gòu)精度形成有效的閉環(huán)效果，無法實現(xiàn)對信號重構(gòu)精度進(jìn)行預(yù)控制，從而可能丟失一些重要信息；②時域下的機(jī)械振動信號表現(xiàn)復(fù)雜，當(dāng)分段對其進(jìn)行CS時，由于各分段信號信息特征差異較大，傳統(tǒng)的稀疏字典無法滿足不同信號段的稀疏要求，從而使重構(gòu)后的信號整體效果無法保證；③傳統(tǒng)的稀疏變換方法，如離散傅立葉變換、離散小波變換(discrete wavelet transformation，簡稱DWT)、曲波變換、離散余弦變換(discrete cosine transform，簡稱DCT)等，信號處理過程不夠精細(xì)，稀疏度不夠高，且容易丟失原始信號的特征信息，影響了信號的重構(gòu)效果和壓縮率。

針對上述問題，筆者提出了一種稀疏度擬合的自適應(yīng)機(jī)械振動信號CS方法。首先，對機(jī)械振動信號進(jìn)行多尺度小波包變換，由于信號的高、低頻部分被同步分解，既保留了更多原始信號特征，也使信號的稀疏度和信號重構(gòu)精度得到提高；然后，采用自適應(yīng)方法確定信號采樣率，使各信號段的重構(gòu)精度滿足實用要求，并在此基礎(chǔ)上盡可能降低信號的采樣率；最后，采用K-SVD算法構(gòu)建包含信號特征的過完備字典，使各信號塊的稀疏度和重構(gòu)精度進(jìn)一步得到提高。

1 CS理論模型

1.1 信號CS原理

當(dāng)機(jī)械振動信號較長或者連續(xù)測量時，需要對信號進(jìn)行分段處理，設(shè)某一信號段為x，對其進(jìn)行CS處理主要包括信號采集、信號傳輸和信號重構(gòu)3部分，處理過程如圖1所示。

圖1 信號CS與重構(gòu)過程Fig.1 Signal CS and reconstruction process

根據(jù)CS理論，設(shè)有限長一維信號x∈RN在某一變換域是稀疏的，則信號x在該變換域下的稀疏表示為

x=Ψs

(1)

其中：Ψ∈RN×N為正交基矩陣；s∈RN×1為稀疏變換向量。

對信號x進(jìn)行稀疏表示后，再對其進(jìn)行M次線性觀測得到觀測向量y∈RM×1，即

y=Φx=ΦΨs

(2)

其中：Φ∈RM×N為一個與Ψ不相關(guān)的測量矩陣，且M?N；由于s是k稀疏且k

min‖s‖0s.t.y=Φx=ΦΨs

(3)

其中：‖s‖0為s的l0范數(shù)，即s中的非零個數(shù)。

求解式(3)常用的方法為正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，簡稱OMP)算法，求得s后代入式(1)可重構(gòu)出信號x。由觀測向量y重構(gòu)出信號s須具備2個條件，一是信號s是稀疏的；二是觀測矩陣Φ必須滿足有限等距(restricted isometry property，簡稱RIP)性質(zhì)[10]，即對任意常數(shù)c滿足

(4)

其中：δ∈[0,1]為等距系數(shù)。

然而，有些信號在正交變換基Ψ下不夠稀疏，因此可以根據(jù)信號的具體特征構(gòu)建過完備字典D，用以對信號x進(jìn)行稀疏表示。根據(jù)CS理論，如果存在一個變換D，對任意k稀疏信號x，使x=Ds，s∈∑k，∑k={s:‖s‖0≤k}，則式(3)可寫成

min‖s‖0s.t.y=Φx=ΦDs=θs

(5)

其中：θ=ΦD為感知矩陣。

通過訓(xùn)練樣本得到的過完備字典D一般為非正交基，但由于測量矩陣Φ為高斯隨機(jī)矩陣，得到的感知矩陣θ也是隨機(jī)的，必然滿足RIP性質(zhì)。

1.2 信號CS與重構(gòu)評價指標(biāo)

文中采用壓縮比(compression ratio，簡稱CR)作為評價機(jī)械振動信號CS的壓縮效果評價指標(biāo)，用n1和n2分別為機(jī)械振動信號壓縮前、后的數(shù)據(jù)量，其計算公式為

CR=(n1-n2)/n1

(6)

峰值信噪比(peak signal to noise ratio，簡稱PSNR)表示信號可能的最大功率和影響其精度的背景噪聲功率之間的比值，單位為分貝(dB)。文中采用PSNR作為機(jī)械振動信號重構(gòu)精度的評價指標(biāo)

(7)

2 基于小波包的信號稀疏變換

2.1 稀疏變換方法選擇

傳統(tǒng)的DCT和DWT變換重點關(guān)注的是信號低頻部分，忽略了仍具有豐富信息的高頻部分，采用這些方法進(jìn)行稀疏變換時，會丟失部分原始信號的信息特征，且信號處理不夠精細(xì)，變換后的稀疏度較低，從而導(dǎo)致信號重構(gòu)精度下降。采用小波包對信號進(jìn)行稀疏變換時，信號的低頻部分和高頻部分被同步分解，信號處理更加精細(xì)，保留了更多原始信號的特征信息，也使信號的稀疏度和重構(gòu)精度進(jìn)一步提高。

對同一信號來說，在其稀疏域的稀疏度越高，信號CS時的壓縮率就越高[11]，變換過程也應(yīng)盡可能保留原始信號的特征，所以筆者選擇小波包對信號進(jìn)行稀疏變換。還需說明的是，在采用小波包對信號進(jìn)行稀疏變換時，還需要根據(jù)原始信號的特征，進(jìn)一步對小波基的類型進(jìn)行選擇。只有選擇合適的小波基，才能獲得最佳的稀疏效果[12]。文中通過實驗方法確定選擇DB4小波基函數(shù)。

2.2 小波包分解尺度選擇

對機(jī)械振動信號采用小波包進(jìn)行稀疏變換，是為了使信號在頻域表現(xiàn)出更高的稀疏度。信號在頻域的稀疏度還與小波包分解的尺度有關(guān)，但并非分解尺度越多，稀疏度越高。所以在實際應(yīng)用中，應(yīng)該選擇合適的分解尺度。

通過一個實例來分析信號分解尺度和稀疏度之間的關(guān)系，并根據(jù)分析結(jié)果選擇合理的小波包分解尺度。選擇美國西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫中的OR007@6號振動信號為測試樣本，該信號表示在軸承外圈6點方向、0.007″深度處發(fā)生了故障，故障負(fù)載為0，分別由位于電機(jī)驅(qū)動端和風(fēng)扇端的加速度傳感器采樣得到，信號采樣頻率為12 kHz。任意截取長度為512個采樣點的數(shù)據(jù)，采用DB4小波基對信號進(jìn)行多尺度小波包分解，對各尺度下小波包系數(shù)絕對值不大于閾值T的系數(shù)進(jìn)行置零，置零后的小波包系數(shù)中為零的個數(shù)與所有系數(shù)的百分比定義為稀疏度k，統(tǒng)計結(jié)果如表1。

表1 不同分解尺度下的稀疏度Tab.1 The sparsity at different decomposition scales

從表1中數(shù)據(jù)看出，在不同閾值下，隨著分解尺度的增加，小波包系數(shù)的稀疏度呈上升趨勢；但達(dá)到一定分解尺度后，稀疏度開始下降。根據(jù)表1的數(shù)據(jù)和分析結(jié)果，文中的小波包分解尺度選擇為4。

3 稀疏度擬合的自適應(yīng)CS

3.1 不同采樣率下信號重構(gòu)精度

利用機(jī)械振動信號進(jìn)行故障診斷和狀態(tài)監(jiān)測，必須保證重構(gòu)后的信號具有較高精度。當(dāng)采用PSNR作為信號重構(gòu)評價指標(biāo)時，一般要求振動信號的重構(gòu)精度PSNR不小于45 dB，否則難以保證重構(gòu)信號的完整性。對同一機(jī)械振動信號來說，如果要求重構(gòu)信號的PSNR越高，則需要較高采樣率。但采樣率越高時，信號的壓縮率會越低[13]。

通過實例來分析信號的重構(gòu)精度與采樣率之間的關(guān)系，并根據(jù)分析結(jié)果為自適應(yīng)采樣率的選擇提供理論基礎(chǔ)。仍采用文中2.2節(jié)所述的測試樣本，采用不同的采樣率對信號進(jìn)行CS，并選擇對應(yīng)的獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)矩陣為觀測矩陣，采用OMP算法對信號進(jìn)行重構(gòu)。不同采樣率下的信號重構(gòu)PSNR值如表2所示。

表2 不同采樣率時信號重構(gòu)精度Tab.2 The signal reconstruction accuracy at different sampling rates

由表2可以看出，當(dāng)采樣率接近80%時，信號的重構(gòu)精度才能滿足實用要求，這主要是因為測試信號的奇異度較高。更多實驗結(jié)果證明，在重構(gòu)精度一定的前提下，信號越平穩(wěn)，采樣率越低。

3.2 精確自適應(yīng)采樣率選擇

根據(jù)上述分析，基于信號的重構(gòu)精度為不同信號選擇精確采樣率的步驟如下(如圖2所示)：

圖2 自適應(yīng)壓縮采樣流程Fig.2 The flow chart of adaptive compressed sampling

1) 對信號進(jìn)行4尺度小波包分解；

2) 對第4尺度下的高頻小波包系數(shù)中絕對值不大于閾值T的系數(shù)進(jìn)行置零處理，并求取該尺度下的小波包系數(shù)稀疏度k；

3) 設(shè)置信號初始采樣率f=20%，步長1%，終值100%，然后進(jìn)行迭代計算：在每個采樣率下對信號進(jìn)行CS并進(jìn)行重構(gòu)，計算信號重構(gòu)精度PSNR值，當(dāng)PSNR不大于45 dB時，迭代繼續(xù)；當(dāng)PSNR大于或等于45 dB時，所對應(yīng)的采樣率為精確自適應(yīng)采樣率值，記錄該值后迭代結(jié)束。

3.3 信號自適應(yīng)采樣率優(yōu)化

對機(jī)械振動信號采用上述方法進(jìn)行分段處理，當(dāng)完成m段信號的稀疏變換后，可以得到一組稀疏度-采樣率的數(shù)據(jù)對集合{ki，fi}，i=1,2,…,m。由于各種測量誤差的存在，一些數(shù)據(jù)對會表現(xiàn)為離散的點。根據(jù)信號的慣性特征，這些離散的點往往是由測量誤差產(chǎn)生的。為了消除測量誤差，采用最小二乘法對這些數(shù)據(jù)對進(jìn)行擬合，即在m次線性函數(shù)簇P={p1,p1,…,pm}中找到最佳函數(shù)h(k,C)，使其平方誤差和滿足

(8)

實際應(yīng)用中，在程序的初始化部分對m段振動信號進(jìn)行稀疏變換，并對m段信號的稀疏度-采樣率數(shù)據(jù)對進(jìn)行最小二乘擬合，得到一個確定性函數(shù)。程序運(yùn)行時，當(dāng)有新數(shù)據(jù)對加入時，直接調(diào)用該確定函數(shù)對采樣率進(jìn)行優(yōu)化。并將新數(shù)據(jù)對加入到數(shù)據(jù)對序列中，再次進(jìn)行最小二乘擬合并得到新的確定性函數(shù)，當(dāng)有更新的數(shù)據(jù)對加入時，再次調(diào)用新的確定性函數(shù)對采樣率進(jìn)行優(yōu)化，依次類推。

4 機(jī)械振動信號過完備字典設(shè)計

機(jī)械振動信號的稀疏性是實現(xiàn)信號CS與重構(gòu)的前提。時域下的機(jī)械振動信號是非稀疏的，因而需要采用稀疏字典進(jìn)行變換。常用的稀疏字典有兩種類型：固定字典和學(xué)習(xí)字典。固定字典由數(shù)學(xué)變換得到，如傅里葉字典、DCT字典、DWT字典等。固定字典結(jié)構(gòu)良好，計算速度快，但固定字典對原始信號的依賴性較強(qiáng)，自適應(yīng)較差，不能良好的表現(xiàn)原始信號特征；學(xué)習(xí)型字典基于原始信號樣本，通過機(jī)器學(xué)習(xí)方法構(gòu)建出非正交過完備字典，因其能夠良好表現(xiàn)原始信號特征，壓縮率高，重構(gòu)性能優(yōu)越受到廣泛關(guān)注，常用的方法有最優(yōu)方向法和K-SVD法[14]。眾多研究表明，K-SVD方法在字典學(xué)習(xí)過程中對信號特征的描述效果更好[15]，應(yīng)用更為廣泛。

K-SVD算法與K-均值聚類算法關(guān)系密切，是K-均值聚類算法的高度泛化[16]。字典學(xué)習(xí)主要包括3個步驟：①字典初始化?？梢赃x擇固定字典(如過完備DWT字典)或隨機(jī)選擇K個信號樣本得到初始化字典D，文中采用第2種方法。②稀疏編碼。在初始化字典D的基礎(chǔ)上，采用OMP算法查找信號在字典D上的最優(yōu)系數(shù)矩陣。③字典更新。更新字典D中的原子，并根據(jù)迭代次數(shù)或最小誤差要求，使字典D達(dá)到最優(yōu)。應(yīng)用步驟如下。

1) 選取機(jī)械振動信號樣本，并確定訓(xùn)練過完備字典的5個重要參數(shù)：原子數(shù)量K、原子維數(shù)n、待分解信號進(jìn)行線性稀疏表示時所需要的最大原子數(shù)量L、K-SVD算法的迭代次數(shù)J和樣本信號集合S的原子個數(shù)N。

2) 對選取的機(jī)械振動信號樣本按照原子維數(shù)n大小進(jìn)行劃分，并隨機(jī)選擇K個原子對字典D進(jìn)行初始化，再選擇N個原子構(gòu)成機(jī)械振動信號樣本集合S，并保證所有原子均具有2-范數(shù)。

3) 在選取的機(jī)械振動信號樣本中采用OMP算法進(jìn)行迭代，求取字典D的稀疏系數(shù)矩陣X。

4) 對稀疏系數(shù)矩陣X進(jìn)行固定，利用K-SVD算法對字典D中的原子依次進(jìn)行更新，使其逼近誤差最小。

5) 重復(fù)步驟3和4，直到滿足最小誤差要求或達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)，得到最優(yōu)過完備字典D和最優(yōu)稀疏系數(shù)矩陣X。

5 實驗結(jié)果及分析

5.1 過完備字典重構(gòu)性能分析

仍以文中2.2節(jié)的測試樣本信號為例。由于信號的周期性和字典訓(xùn)練的需要，將該測試樣本0～121 991采樣點擴(kuò)展至0～609 955，其中0～563 200采樣點用以訓(xùn)練過完備字典，采樣點563 200后的46 755個采樣點為CS測試信號，采用OMP算法對信號進(jìn)行重構(gòu)計算。為了使實驗結(jié)果更有針對性，在進(jìn)行本節(jié)實驗時不采用自適應(yīng)采樣率，而是取固定采樣率80%進(jìn)行實驗。

采用K-SVD算法完成機(jī)械振動信號過完備字典訓(xùn)練過程就是合理選取文中第4節(jié)中所述的5個重要參數(shù)值。如何對這些參數(shù)進(jìn)行合理選取，還沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。下面分別通過實驗方法測試當(dāng)某一個參數(shù)發(fā)生變化時過完備字典對信號的稀疏度，進(jìn)而對信號重構(gòu)精度的影響進(jìn)行分析，獲得選取這些參數(shù)的實驗方法。

實驗1分別取K=600，L=14，J=10，N=1 100，當(dāng)原子維數(shù)n從100～500變化時，信號的重構(gòu)精度曲線如圖3所示。

圖3中的3條曲線分別表示在K-VSD過完備字典、DWT過完備字典和DWT正交基3種稀疏方式下的信號重構(gòu)精度曲線。可以看出，相同n值下，K-VSD過完備字典具有較好的稀疏性能，其信號重構(gòu)精度較高，DWT過完備字典次之，DWT正交基最低，這一結(jié)果比較明顯地反應(yīng)了3種稀疏變換方式下信號的稀疏度與信號重構(gòu)精度有關(guān)。另外，當(dāng)n=300時，3種稀疏方式下的重構(gòu)精度均較高，且長度為300的采樣點能夠反映振動信號的周期性變化，所以后面的幾項實驗中的n均取300。

圖3 不同n值下信號重構(gòu)精度Fig.3 The signal reconstruction accuracy under different n values

實驗2分別取n=300，L=14，J=10，N=1 100，當(dāng)字典的原子數(shù)量K從500～800變化時，信號的重構(gòu)精度曲線如圖4所示。

圖4 不同K值下信號重構(gòu)精度Fig.4 The signal reconstruction accuracy under different K values

顯然，由于n值固定，觀察矩陣Φ不變，則DWT正交基下信號的重構(gòu)精度不變。所以，圖中只給出了K變化時，在K-VSD過完備字典、DWT過完備字典2種稀疏方式下的信號重構(gòu)精度曲線?？梢钥闯?，當(dāng)K=650時，信號重構(gòu)精度較高。

實驗3分別取n=300，K=650，L=14，J=10，當(dāng)樣本信號集合S的原子個數(shù)N從750～1 100變化時，信號的重構(gòu)精度曲線如圖5所示?？梢钥闯?，N=850時信號的重構(gòu)精度較好。

圖5 不同N值下信號重構(gòu)精度Fig.5 The signal reconstruction accuracy under different N values

實驗4分別取n=300，K=650，N=850，J=10，待分解信號進(jìn)行線性稀疏表示時所需要的最大原子數(shù)量L從2～20變化時，信號的重構(gòu)精度曲線如圖6所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)L≥10后信號的重構(gòu)精度變得相對比較穩(wěn)定，從而算法中的L取值不應(yīng)小于10。

圖6 不同L值下信號重構(gòu)精度Fig.6 The signal reconstruction accuracy under different L values

實驗5分別取n=300，K=650，N=850，L=10，K-SVD算法的迭代次數(shù)J從2～20變化時，信號的重構(gòu)精度曲線如圖7所示。容易看出，當(dāng)算法的迭代次數(shù)超過10次后，信號的重構(gòu)精度變得相對比較穩(wěn)定，所以算法的迭代次數(shù)取值不應(yīng)小于10次。

圖7 不同J值下信號重構(gòu)精度Fig.7 The signal reconstruction accuracy under different J values

5.2 本算法性能比較

為了驗證筆者提出的算法性能，對信號采用小波包自適應(yīng)稀疏變換，取信號重構(gòu)精度為45 dB，在K-VSD過完備字典、DWT過完備字典和DWT正交基3種不同稀疏方式下，對10種不同類型機(jī)械振動信號進(jìn)行CS，經(jīng)多次實驗，得到信號壓縮率CR的平均值計算結(jié)果如表3所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，筆者所述算法的信號壓縮率顯然最高。

表3 不同類型信號的壓縮率Tab.3 The Compression Ratio of different types signals

6 結(jié)束語

通過稀疏度擬合的自適應(yīng)CS方法，完成對機(jī)械振動信號的CS與重構(gòu)，主要解決了3個方面問題：①采用小波包對機(jī)械振動信號進(jìn)行稀疏變換，對仍蘊(yùn)含豐富信息的高頻信號進(jìn)行分解，使機(jī)械振動信號在頻域的稀疏度更高，提高了信號的壓縮率和重構(gòu)精度;②采用稀疏度擬合的自適應(yīng)CS，在保證信號重構(gòu)精度的前提下，具有最低采樣率；最小二乘法擬合的采樣率優(yōu)化消除了信號測量過程中可能出現(xiàn)的誤差，使信號重構(gòu)精度進(jìn)一步提高;③根據(jù)機(jī)械振動信號特征，基于K-SVD算法訓(xùn)練過完備字典對機(jī)械振動信號進(jìn)行稀疏表示，進(jìn)一步提高了信號的壓縮率和重構(gòu)精度。但針對機(jī)械振動信號，采用K-SVD算法訓(xùn)練過完備字典時對參數(shù)的選取研究甚少，還沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的方法可以借鑒。因此筆者通過實驗方法對這一部分內(nèi)容進(jìn)行了重點研究，對K-SVD算法的參數(shù)進(jìn)行了合理選取，使其更適合用于對機(jī)械振動信號進(jìn)行處理。