數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討*

蘇倩倩

鄭州商學(xué)院，河南 鞏義 451200

一、前言

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展，也是與社會政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化聯(lián)系的學(xué)科［1］。HPM最早提出在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)，旨在通過將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中來提高數(shù)學(xué)教學(xué)水平。世界各國數(shù)學(xué)家在不同時(shí)期都相繼認(rèn)可了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中所發(fā)揮的作用。自此，該觀點(diǎn)被越來越多的人所熟悉，已有大量對其探索和研究的成果。但更多成果旨在談?wù)摂?shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，而對于數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用的研究仍在不斷發(fā)展中。事實(shí)上，能真正把數(shù)學(xué)史高效的運(yùn)用到課堂教學(xué)中的老師并不多，這就需要我們共同努力、共同探討。鑒于此，在這里筆者將自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和想法與同仁們進(jìn)行分享討論。

二、數(shù)學(xué)史在概念中的應(yīng)用

（一）極限的概念

極限方法是高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，它是為求某些實(shí)際問題的精確值而產(chǎn)生的。在講解極限的概念時(shí)，我們不能直接給出極限的符號定義，這樣不便于學(xué)生理解記憶。如果我們在極限概念的教學(xué)中引入數(shù)學(xué)名題就能大大的提高教學(xué)效果，同時(shí)還能夠幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。如：我國古代莊子的名句“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！奔矗阂怀唛L的木棍，每天截掉一半，把每天截掉的長度按照天數(shù)可排成一個(gè)數(shù)列，然后將這個(gè)過程無限制的進(jìn)行下去，當(dāng)截取的天數(shù)無限增加趨于正無窮時(shí)，截掉的木棍長度無限接近于零，那么零就是這個(gè)數(shù)列的極限。再如：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，即用正多邊形來逼近圓，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，正多邊形的周長就無限的接近圓的周長，進(jìn)而得到比較精確的圓周率。通過這樣的設(shè)計(jì)，能加深學(xué)生對極限概念的理解。

（二）導(dǎo)數(shù)的概念

微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而導(dǎo)數(shù)又是貫穿整個(gè)微分學(xué)的一個(gè)基本概念。在講授導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，我們可以先介紹牛頓的貢獻(xiàn)，他通過研究做變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度得到了點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念。即把“平均速度”的時(shí)間間隔選的較短時(shí)，這個(gè)平均速度就近似于質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻的瞬時(shí)速度，時(shí)間間隔越短，近似程度就越好，當(dāng)時(shí)間間隔無限趨于零時(shí)，就得到了質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻的瞬時(shí)速度，進(jìn)而引出導(dǎo)數(shù)的概念。然后再介紹數(shù)學(xué)家萊布尼茨的貢獻(xiàn)，他通過求平面曲線上一點(diǎn)處的切線，進(jìn)而得到了導(dǎo)數(shù)的概念。我們發(fā)現(xiàn)雖然兩位偉人研究問題的背景不同，但他們的實(shí)質(zhì)是一樣的，即他們都是從實(shí)際問題出發(fā)得到了相同的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)模型。由大家熟悉的導(dǎo)數(shù)和切線的問題逐步引出導(dǎo)數(shù)的概念的方法，導(dǎo)數(shù)的概念用學(xué)生可以理解的方式表達(dá)出來，加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解。

（三）定積分的概念

在學(xué)習(xí)定積分概念時(shí)，我們可以先講如何求曲邊梯形的面積。阿基米德用窮竭法將曲邊梯形分成多個(gè)矩形組成的階梯圖形，小矩形的個(gè)數(shù)越多，得到了小矩形面積之和就越接近曲邊梯形的面積，當(dāng)小矩形的個(gè)數(shù)趨于無窮大時(shí)，小矩形面積和的極限就是曲邊梯形的面積。另外，我們也可以從黎曼測量一塊形狀不規(guī)則的土地面積說起。為了精確的測量這塊土地的面積，黎曼采取了和阿基米德類似的方法，即將這塊土地分割成一個(gè)個(gè)小長條，把每個(gè)小長條近似看成長方形，分別計(jì)算這些長方形的面積，然后再求和，這個(gè)和就可以近似看成這個(gè)土地的面積。采用這樣的教學(xué)方法，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對定積分概念的理解。問題產(chǎn)生的背景和數(shù)學(xué)家各不相同的思考過程要讓學(xué)生充分了解，只有這樣學(xué)生才能獲得有效的學(xué)習(xí)方法，得到的知識也是長期持久的。

三、數(shù)學(xué)史在符號上的應(yīng)用

萊布尼茨（1946-1746）是德國數(shù)學(xué)家、自然主義哲學(xué)家、自然科學(xué)家，也是歷史上最偉大的符號學(xué)家。他曾說“要發(fā)明，就得挑選恰當(dāng)?shù)姆?，要做到這一點(diǎn)，就要用簡明的少量符號來表達(dá)或比較忠實(shí)的描繪事物內(nèi)在本質(zhì)，從而最大限度減少人的思維勞動”［2］。因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如微分符號dx，dy和積分符號 都是萊布尼茨引進(jìn)的，符號d是“差”的英文deviation的首字母，體現(xiàn)了微分“差”的本質(zhì)，符號 是“和”的英文sum的首字母拉長得到了，充分體現(xiàn)了積分“和”的本質(zhì)，dnx表示n階微分等等，這些符號進(jìn)一步促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。另外，函數(shù)符號f（x）、求和符號、虛數(shù)符號i、自然對數(shù)底e等是另外一位符號大師歐拉引進(jìn)的。通過這些故事的講解，一方面可以讓學(xué)生熟悉記憶這些符號，另一方面可以增加課堂氣氛。

四、數(shù)學(xué)史在幾何圖形中的應(yīng)用

在講解定積分在平面圖形的應(yīng)用中，我們會碰到很多陌生的圖形，如：阿基米德螺旋線、心形線、雙紐線等。如何讓學(xué)生記住這些圖形呢？下面以心形線為例說明。

水中貴族——百歲山是大家非常熟悉的一個(gè)產(chǎn)品，百歲山的廣告講述的是一個(gè)凄美的愛情故事：故事的主人公笛卡爾于1596年生于法國，黑死病爆發(fā)時(shí)他離開法國流浪到了瑞典，在街頭認(rèn)識了瑞典18歲的小公主克里斯汀，并成為了她的數(shù)學(xué)老師，長期的相處使得他們彼此產(chǎn)生了愛慕之心，國王知道后很生氣，把笛卡爾趕出了瑞典，同時(shí)公主也被囚禁了起來。笛卡爾回到法國后給公主寫了很多信都被國王攔下了，后來染上黑死病的笛卡爾給公主寄出第13封信后就死了。笛卡爾給公主的第13封信中只有一個(gè)公式r=a（1-sinθ）。國王和瑞典的數(shù)學(xué)家都看不懂這封信，于是把信交給了小公主，公主看后立馬明白了，因?yàn)檫@個(gè)公式在坐標(biāo)系里畫出來是一個(gè)心形的圖形。這封享譽(yù)世界的另類情書，現(xiàn)在還保存在歐洲笛卡爾紀(jì)念館里，紀(jì)念著這段凄美的愛情。

五、數(shù)學(xué)家的榜樣作用

數(shù)學(xué)家歐拉的命運(yùn)是坎坷的，28歲時(shí)他的一個(gè)眼睛失明，56歲時(shí)雙目失明、妻子逝世。但是這樣的打擊并沒有阻止他追求數(shù)學(xué)真理，他在數(shù)學(xué)方面仍保持著高度的創(chuàng)造力。歐拉是歷史上寫論文最多的數(shù)學(xué)家，他的論文長且多，曾被科學(xué)院限制篇幅。在他去世之后的10年內(nèi)，他的文章還在科學(xué)院的院刊上持續(xù)發(fā)表。由于歐拉擁有百折不撓的毅力、孜孜不倦的精神以及無與倫比的貢獻(xiàn)，后人把他譽(yù)為“數(shù)學(xué)英雄”。阿貝爾的一生也是多舛的，27歲時(shí)他便與世長辭，但是他在方程論方面的貢獻(xiàn)無人能比，同時(shí)還被后人譽(yù)為橢圓函數(shù)的創(chuàng)始人之一。數(shù)學(xué)家阿基米德在敵人破城而入、生命垂危的關(guān)鍵時(shí)刻還在研究數(shù)學(xué)問題，他的墓碑上沒有一個(gè)文字，只有一個(gè)漂亮的幾何圖形。通過講解數(shù)學(xué)家在成長過程中所遭遇的挫折，可以幫助學(xué)生正確對待學(xué)習(xí)中所碰到的困難，培養(yǎng)他們勇于挑戰(zhàn)難題，攻克難關(guān)的勇氣。

六、作業(yè)中融入數(shù)學(xué)史

上完每次課都要給學(xué)生布置作業(yè)，除了課后作業(yè)以外，還要布置和數(shù)學(xué)史有關(guān)的作業(yè)。即要求學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)、圖書館或者其他參考書籍搜索和本次課有關(guān)的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，從而主動了解所學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的過程。這樣不僅可以加深學(xué)生對本次課內(nèi)容的了解，還可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

七、結(jié)語

通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，不僅可以建立學(xué)生獨(dú)立思考意識，還可以培養(yǎng)學(xué)生研究問題的良好習(xí)慣，學(xué)生通過對問題的思考與分析，更能對問題產(chǎn)生深刻印象，熟練掌握數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題中。學(xué)生不斷的在學(xué)習(xí)、思考、探究過程中進(jìn)行循環(huán)，久而久之形成一系列的解決數(shù)學(xué)問題的思維能力，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力［3］。