基于數(shù)學(xué)易錯題成因分析的教學(xué)策略

陳加倉

【摘要】學(xué)習(xí)過程是一個不斷試誤摸索的過程，在此過程中，錯誤不可避免，但可以減少。因此，我們要正確對待錯誤，讓學(xué)生在錯誤中反思，在糾錯中悟理。我們應(yīng)充分發(fā)掘、利用“錯誤”資源，反思并改進(jìn)教學(xué)，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。本文以幾道典型易錯題為例，進(jìn)行成因分析，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略，期望能為一線教師提供切實可行的教學(xué)參考。

【關(guān)鍵詞】易錯題 教學(xué)策略 深度學(xué)習(xí)

學(xué)生的學(xué)習(xí)并不是一帆風(fēng)順、一蹴而就的，它是一個試誤摸索、磕磕碰碰的過程，它總是與“錯誤”為伴，且不可避免。因此，我們有必要直面“錯誤”，讓它成為一種可遇而不可求的教學(xué)資源。讓學(xué)生在錯誤中反思，在糾錯中悟理，在悟理中成長。學(xué)生“犯錯”正是充分暴露思維的過程，教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生思維特征，分析錯誤成因并“對癥下藥”，才能加深學(xué)生對知識本質(zhì)的理解和掌握，從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)。

一、試誤摸索，消除直覺錯誤

心理學(xué)家丹尼爾·卡尼曼曾提出，人有“理性”與“本能”兩套思考系統(tǒng)，即快系統(tǒng)和慢系統(tǒng)。 有意識的“理性”慢系統(tǒng)是調(diào)動注意力來分析和解決問題，并做出決定，比較慢，但錯誤少;無意識的“本能”快系統(tǒng)依賴情感、記憶和經(jīng)驗迅速進(jìn)行判斷，錯誤會大大增加?！爸庇X錯誤”就是根據(jù)經(jīng)驗和記憶進(jìn)行的“本能”快系統(tǒng)思考模式產(chǎn)生的結(jié)果，俗稱“跟著感覺走”。 教學(xué)中如何減少學(xué)生的直覺錯誤呢？下面以“點到直線的距離”為例，進(jìn)行錯誤成因及教學(xué)策略分析。

【錯例1】①如圖1，要修一條從幸福鎮(zhèn)通往公路的水泥路，怎樣修路最近？

②如圖2，直線a和直線b分別代表一條公路的兩邊，它們之間的距離是多少？

學(xué)生錯誤的做法（如圖3）：

【成因分析】教材例題呈現(xiàn)的是水平方向“直線外一點找最短線段”和“兩條平行線間的距離”。學(xué)生憑直覺就會去找豎直方向的線段，這條線段剛好就是距離最短的垂直線段，但練習(xí)中遇到傾斜方向的相關(guān)問題時，卻不能準(zhǔn)確地畫出垂直線段、找到最短線段，說明學(xué)生并沒有真正理解垂直線段的概念本質(zhì)。究其原因，教材中的學(xué)習(xí)素材缺乏挑戰(zhàn)性，不用經(jīng)歷試誤摸索的過程也能解決問題，但是學(xué)生仍然沒有消除直覺錯誤，也并未真正理解掌握概念的本質(zhì)。

【教學(xué)策略】教學(xué)設(shè)計時，教師要對沒有挑戰(zhàn)性的教材內(nèi)容做適當(dāng)調(diào)整，創(chuàng)設(shè)能暴露學(xué)生直覺錯誤的問題情境。讓學(xué)生在試誤摸索、不斷驗證的過程中理解知識本質(zhì)，從感性判斷走向理性思考，逐步消除直覺錯誤。

1.調(diào)整素材，暴露錯誤

為了避免混淆“豎直線段就是垂直線段”，筆者將例題中水平方向的小路調(diào)整為傾斜方向（如圖1），意在增加探究難度，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，凸顯垂直線段的概念及研究的價值。“找一條點到直線的最短路線”，學(xué)生根據(jù)“直覺”快速找到了這條線段，在這個過程中錯誤充分顯現(xiàn)，學(xué)生畫了12厘米、11厘米、10.4厘米等不同長度的線段。在教學(xué)中，按從長到短的順序逐步呈現(xiàn)學(xué)生作品，不斷地沖擊學(xué)生的思維，促使學(xué)生尋找“垂直”這一抓手，畫出最短的線段——垂直線段。

2.動態(tài)演示，驗證錯誤

學(xué)生在畫“垂直線段”時出現(xiàn)了10厘米、9.9厘米、9.8厘米等不同的情況，同樣的操作，不同的結(jié)果。當(dāng)測量的誤差無法用語言解釋清楚時，學(xué)生容易對垂直線段的性質(zhì)產(chǎn)生錯誤的理解，此時教師借助幾何畫板進(jìn)行動態(tài)驗證，學(xué)生就能清晰地認(rèn)識到垂直線段的長度是唯一確定的。

能否再找一條比10厘米更短的線段？雖然學(xué)生一致認(rèn)為找不到，但此時學(xué)生的認(rèn)知還只停留在操作層面，思維層面也許尚未達(dá)成一致。這時教師再次借助幾何畫板的動態(tài)演示，讓學(xué)生直觀地感受到垂直線段10厘米最短，而且垂直線段有且只有一條。將幾何畫板演示用在關(guān)鍵處，能進(jìn)一步驗證錯誤，完善學(xué)生對垂直線段的認(rèn)知。

3.對比遷移，厘清錯誤

當(dāng)學(xué)習(xí)材料具有共同要素或相似時，可以將先前學(xué)習(xí)的方法遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)活動中，并引導(dǎo)學(xué)生對比分析它們之間的異同點，全面而深入地理解和掌握新知。

兩條平行線間的距離與點到直線的距離有共性，故筆者教學(xué)兩條平行線的距離（如圖2）時采用先前的研究方法，放手讓學(xué)生再次“試誤摸索”，有序呈現(xiàn)學(xué)生錯例，讓學(xué)生在反思中尋找兩條平行線之間的最短距離。

在此基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么點到直線的垂直線段只有一條，平行線之間的垂直線段卻有無數(shù)條？學(xué)生在對比中發(fā)現(xiàn)：兩條平行線，以其中一條直線為基準(zhǔn)，另一條直線上有無數(shù)個點，且每個點可對應(yīng)一條垂直線段，無數(shù)個點就有無數(shù)條垂直線段。 學(xué)生通過對比，不僅厘清了錯誤，還溝通了兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，更深刻地觸及垂直線段的本質(zhì)。

二、制造沖突，完善概念斷層

概念教學(xué)中經(jīng)常會存在教學(xué)任務(wù)完成后，學(xué)生仍然沒有完整的概念認(rèn)知，依然對概念模糊不清的情況。分析其原因，和學(xué)生的前概念有關(guān)。前概念即為在學(xué)習(xí)前擁有的概念，主要分為正確的前概念和錯誤的前概念兩類。后者主要指學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知識之前頭腦中存在的一些不科學(xué)的知識和經(jīng)驗。當(dāng)學(xué)生的前概念是正確的時候，則能支持并促進(jìn)新學(xué)習(xí)的發(fā)生;當(dāng)學(xué)生的前概念是錯誤的時候，則會與科學(xué)概念產(chǎn)生沖突，起到阻礙作用。教學(xué)中我們要更加關(guān)注后者，利用“阻礙”，制造認(rèn)知沖突，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，完善概念教學(xué)中存在的斷層現(xiàn)象。下面以“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”為例來分析錯誤成因及教學(xué)策略。

【錯例2】如圖4，能用表示下圖中的2支筆嗎？請說明理由。

學(xué)生錯誤的做法：6支筆的顏色不同、長短不同、粗細(xì)不同，不能平均分成3份，所以不能用表示。

【成因分析】在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識階段，教師在教學(xué)中特別強調(diào)平均分。學(xué)生以分得的結(jié)果是否“一樣”去判斷是否屬于“平均分”，即所分得的各部分大小一樣，才是平均分，才可用分?jǐn)?shù)表示。當(dāng)進(jìn)入分?jǐn)?shù)的意義階段，單位“1”已從一個物體擴展到一些物體組成的一個整體，平均分的對象也從連續(xù)量過渡到離散量。平均分抽象到數(shù)量的等分，至于它的顏色、形狀等非本質(zhì)因素就不用考慮了，但學(xué)生對“平均分”的前概念還停留在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識階段。因此，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”，除了對單位“1”的再認(rèn)識之外，還須對“平均分”進(jìn)行再認(rèn)識。

【教學(xué)策略】教師在進(jìn)行概念教學(xué)時不能想當(dāng)然地以為某些前概念學(xué)生應(yīng)該知道，也不能直接告知其掌握的前概念是不完整的，正確的前概念應(yīng)該是怎樣的。接受式的學(xué)習(xí)并不能真正促進(jìn)學(xué)生的概念發(fā)生轉(zhuǎn)變。概念的糾正需要制造沖突，引發(fā)學(xué)生思考，并通過解釋、驗證等推理活動逐步構(gòu)建科學(xué)的、系統(tǒng)的概念體系，達(dá)到理解性學(xué)習(xí)。

1.制造沖突，引發(fā)思考

思維的沖突不是憑空產(chǎn)生的，而要先提出數(shù)學(xué)問題，引起學(xué)生內(nèi)心的沖突，使之處于“心欲求而未得，口欲言而不能”的狀態(tài)，從而激發(fā)學(xué)生一系列的思維加工活動。

故此，本課教師在學(xué)生掌握了1個圓的和多個圓的平均分后，提出新的問題：8支筆，你能拿出它的嗎？

受圓片中找操作方式的遷移，學(xué)生很快將8支筆看成一個整體（圈一圈），平均分成4份（畫線），每份2支，得出2支筆就是它的（如圖5）。學(xué)生在分相同圓片時的操作經(jīng)驗以及平均分的前概念使他產(chǎn)生疑惑：長短不一的筆能平均分嗎？平均分的是什么？認(rèn)知沖突引發(fā)思維碰撞，學(xué)生進(jìn)入真實的思考狀態(tài)。

2.說理辨析，澄清錯誤

數(shù)學(xué)是講道理的學(xué)科，教學(xué)就是為學(xué)生提供講道理的平臺及支持，讓學(xué)生在說理辨析中完善原有的概念和認(rèn)知。

生1：因為每支筆的大小不一樣，顏色不一樣，長短也不一樣，不是平均分，不能用表示。

（這是以前學(xué)過的“知識”，因此，多數(shù)學(xué)生表示贊同）

生2：現(xiàn)在平均分的對象是一個整體，而不是一個物體或圖形，因此，可以不考慮筆的顏色、長短、大小、形狀等，只要分得的支數(shù)一樣就可以了。因此，每2支一份就是平均分，可以用表示。（如圖6）

真理越辨越明，辯論中學(xué)生再次認(rèn)識了“平均分”：平均分可以抽象至數(shù)量的平均分。平均分的再認(rèn)識幫助學(xué)生完善了分?jǐn)?shù)的概念。

三、推理思辨，提升逆向思維

逆向思維是一種反向思考能力，能有效地提高學(xué)生的思維能力，并增強其創(chuàng)新意識，是數(shù)學(xué)思維的一個重要組成部分。在教學(xué)中大量的學(xué)習(xí)活動讓學(xué)生的思維處于順向活動，卻缺乏對其逆向思考的引導(dǎo)。久而久之，需要學(xué)生用逆向思維進(jìn)行解題時，錯誤率就比較高。因此，教師在教學(xué)中不僅要關(guān)注學(xué)生的正向思維能力的培養(yǎng)，還要注重逆向思維能力的培養(yǎng)。下面以“三角形的面積”為例進(jìn)行錯誤成因及教學(xué)策略分析。

【錯例3】①一個三角形的面積是20cm2，它的底是5cm，高是多少？②一個三角形和一個平行四邊形的面積與高都相等，平行四邊形的底是12cm，則三角形的底是多少？

學(xué)生錯誤的做法：①：20÷5÷2=2（cm）。②20÷5=4（cm）;12÷2=6（cm）。

【成因分析】為什么學(xué)生不能很好地逆用三角形面積計算公式呢？首先，除了面積公式理解不到位以外，還有一個主要原因在于學(xué)生的逆向思維能力較弱。其次，由于逆用三角形面積公式問題最多只是作為一兩道習(xí)題在教材或作業(yè)本中“一閃而過”，我們一般不會引導(dǎo)學(xué)生深入探究，因此造成學(xué)生解題時“連蒙帶猜”。

【教學(xué)策略】教師在設(shè)計教學(xué)時要選擇合適的內(nèi)容進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，而逆向思維需要在深入理解并掌握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的前提下展開。通過畫圖表征，進(jìn)行知識順向、逆向的聯(lián)結(jié)，將逆向知識轉(zhuǎn)化為順向知識，真正提升學(xué)生的逆向思維。“已知三角形面積與底（高），求高（底）”是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的好素材，它與 “已知圓錐體積與底面積（高），求高（底面積）”等知識是類似的，它直接關(guān)系到后續(xù)學(xué)習(xí)與逆向思維能力的培養(yǎng)。

1.畫圖表征，修正思路

數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生理解概念、關(guān)系或關(guān)聯(lián)以及解決問題過程所使用的數(shù)學(xué)知識。因此，教學(xué)中利用圖形表征，能不斷修正錯誤想法，有效進(jìn)行知識順向、逆向的聯(lián)結(jié)。

學(xué)習(xí)三角形的面積后，先讓學(xué)生在方格圖（邊長為1cm）上畫面積為12cm2的三角形。學(xué)生在畫的過程中，會不斷地修正自己錯誤的想法。如圖7，當(dāng)學(xué)生畫出了底為6cm，高為2cm的三角形后，發(fā)現(xiàn)它的面積只有6cm2，從而調(diào)整思路再畫;如圖8，當(dāng)學(xué)生畫出了底為4cm，高為3cm的三角形時，也發(fā)現(xiàn)它的面積不是12cm2，然后也調(diào)整思路再畫。只要多畫幾個，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)它的底與高的積應(yīng)為24。

學(xué)生在操作中感悟到“三角形底與高的積是它的面積的2倍”，因此，求底或高時，須用面積的2倍除以高或底。

接著繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在畫中感悟“等底等積或等高等積，三角形的高或底是平行四邊形的2倍”。只有當(dāng)三角形的底（高）是平行四邊形的2倍時，它們的面積與高（底）才可能都相等，如圖9、10。

2.倒推轉(zhuǎn)化，化逆為順

當(dāng)用“順向思考”解決問題遇到困難時，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考;當(dāng)用算術(shù)方法解決問題有困難時，不妨引導(dǎo)學(xué)生列方程解決問題。

（1）用倒推轉(zhuǎn)化解決問題。錯題3第①題可以引導(dǎo)學(xué)生將三角形面積先乘2，轉(zhuǎn)化成與它等底等高的平行四邊形，然后再逆用平行四邊形面積公式，求它的高或底。第②題可以將這個三角形面積先乘2，得到與它等底等高的平行四邊形，新得到的這個平行四邊形的面積是另一個平行四邊形的2倍，由于它們高相等，則底是它的2倍，即原三角形的底是平行四邊形底的2倍。

（2）用列方程解決問題。第①題可以根據(jù)三角形面積公式，列方程5h÷2=20，解方程得h=8;第②題可以根據(jù)“三角形與平行四邊形的面積相等”，列方程ah÷2=12h，解方程得a=24。

總之，減少錯誤的發(fā)生并不能靠機械的重復(fù)練習(xí)與記憶，也不能僅僅采用“講授告知”，而要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行剖析、思辨、驗證等深層次的思考，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)。