基于非局部理論的黏彈性基體中壓電納米梁熱-機(jī)電振動(dòng)特性*

張大鵬，雷勇軍

(國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

壓電納米材料不僅具備十分獨(dú)特的力電耦合性能，可實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能的相互轉(zhuǎn)化，在力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)等方面也表現(xiàn)出許多優(yōu)異特性[1]，并在納米發(fā)電體[2]、納米諧振器[3]以及納米傳感器[4]等領(lǐng)域展示出巨大的應(yīng)用潛力。作為先進(jìn)納米器件研制與應(yīng)用過程中的關(guān)鍵技術(shù)之一，壓電納米元件的振動(dòng)特性研究已成為當(dāng)前納米力學(xué)領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)之一[5-7]。

根據(jù)非局部彈性理論，Ebrahimi等[8]建立了彈性基體上功能梯度納米梁的振動(dòng)控制方程，并分析了外部溫度和濕度等環(huán)境因素對(duì)納米梁振動(dòng)特性的影響。在此基礎(chǔ)上，Ebrahimi等[9]進(jìn)一步考慮了基體和功能梯度壓電納米梁的黏彈性特性，系統(tǒng)分析了基體性能參數(shù)、溫度、濕度等因素對(duì)不同邊界條件下黏彈性基體中黏彈性納米梁的影響情況。Arani等[10]基于應(yīng)變梯度理論和Pasternak彈性地基模型對(duì)彈性基體中納米梁-壓電納米梁組合系統(tǒng)的非線性振動(dòng)問題進(jìn)行了相關(guān)研究。此外，Ansari等[11]還根據(jù)Hamilton原理建立了后屈曲下壓電納米梁熱-機(jī)電振動(dòng)特性分析的非局部Timoshenko梁模型，并利用微分求積法給出了一般邊界條件下壓電納米梁的固有頻率。采用相同的理論模型與求解方法，Ke等[12]對(duì)壓電納米梁的熱-機(jī)電振動(dòng)特性問題進(jìn)行了深入研究。同時(shí)，Ke等[13]還利用所建立的非局部Timoshenko梁模型研究了壓電納米梁的非線性振動(dòng)問題，并研究了非局部參數(shù)、溫度載荷、外部電壓等因素對(duì)壓電納米梁非線性振動(dòng)特性的影響情況。Jiang等[14]分析了內(nèi)部殘余應(yīng)力、幾何非線性等對(duì)壓電納米線(nanowire)振動(dòng)特性的影響，指出內(nèi)部殘余應(yīng)力可在一定程度上降低納米線的固有頻率。就目前而言，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在研究基體中壓電納米元件的振動(dòng)特性問題時(shí)大都將基體簡(jiǎn)化為彈性地基模型進(jìn)行分析，但由于實(shí)際工程中涉及的多數(shù)基體為典型的黏彈性材料，采用彈性地基模型無法準(zhǔn)確模擬其黏彈性特性，因此有必要針對(duì)該方面問題展開相關(guān)研究。

本文針對(duì)黏彈性基體中壓電納米梁的熱-機(jī)電振動(dòng)特性問題，綜合考慮非局部效應(yīng)、壓電效應(yīng)、溫度場(chǎng)及電場(chǎng)等復(fù)雜因素影響，推導(dǎo)出系統(tǒng)的振動(dòng)控制方程，并利用傳遞函數(shù)方法(Transfer Function Method, TFM)得到任意邊界條件下壓電納米梁的固有頻率和相應(yīng)振型。以鋯鈦酸鉛壓電陶瓷-4(PieZoelectric ceramic Transducer-4, PZT-4)材料制成的某壓電納米梁為例，通過與相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了所建分析模型與求解方法的有效性，并在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)分析了非局部效應(yīng)、外部電壓、溫度載荷、黏彈性基體等因素對(duì)壓電納米梁熱-機(jī)電振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 振動(dòng)控制方程與邊界條件

研究對(duì)象如圖 1所示，在直角坐標(biāo)系oxz中，某壓電納米梁置于黏彈性基體中，同時(shí)受到溫度場(chǎng)、電場(chǎng)和雙軸向力共同作用影響。圖中，L和h分別表示壓電納米梁的長(zhǎng)度和厚度，P0為壓電納米梁所受的雙軸向力(壓力或拉力)，ΔT為溫度變化梯度，Φ為外部電場(chǎng)的電勢(shì)。為研究黏彈性基體中壓電納米梁的熱-機(jī)電振動(dòng)特性，可將壓電納米梁等效為Euler梁模型，黏彈性基體等效為visco-Pasternak黏彈性地基模型。

圖1 黏彈性基體中壓電納米梁Fig.1 Piezoelectric nanobeam embedded in viscoelastic medium

為考慮壓電材料的非局部效應(yīng)，Zhou等[15-16]將非局部彈性理論擴(kuò)展到壓電材料中，并給出了非局部壓電材料的微分型本構(gòu)方程。

[1-(e0a)22]σij=cijklεkl-eijkEk-λijΔT

(1)

[1-(e0a)22]Di=eiklεkl+κikEk+piΔT

(2)

(3)

其中，σij、εkl、Di和Ek分別表示壓電材料的應(yīng)力、應(yīng)變、電位移和電場(chǎng)分量，cijkl、eijk、κik和pi分別表示壓電材料的彈性模量、壓電參數(shù)、介電常數(shù)和熱電系數(shù)。

根據(jù)式(1)和式(2)，可得到壓電納米梁的本構(gòu)方程。

[1-(e0a)22]σxx=c11εxx-e31Ez-λ11ΔT

(4)

[1-(e0a)22]Dx=κ11Ex

(5)

[1-(e0a)22]Dz=e31εxx+κ33Ez+p1ΔT

(6)

電場(chǎng)分量Ek可由電勢(shì)Φ(x,z,t)得到，其關(guān)系式為：

(7)

為此，首先需要確定電勢(shì)Φ(x,z,t)的具體形式。Quek和Wang[17-18]在研究壓電薄板及壓電梁的頻散特性和失穩(wěn)特性時(shí)，為使電勢(shì)Φ(x,z,t)滿足Maxwell方程，假設(shè)Φ(x,z,t)為關(guān)于納米梁厚度方向z的余弦函數(shù)和線性函數(shù)的組合，即

(8)

式中：φ(x,t)為壓電納米梁中面的電勢(shì)，是隨空間坐標(biāo)x和時(shí)間t變化的函數(shù)；V0為所受外電壓。

將式(8)代入式(7)，可得到電場(chǎng)的具體表達(dá)式。

(9)

黏彈性基體中壓電納米梁熱-機(jī)電振動(dòng)特性分析的振動(dòng)微分方程及邊界條件可以通過Hamilton原理得到，有

(10)

式中，Πk、ΠF和Πs分別表示壓電納米梁的動(dòng)能、外力功和應(yīng)變能。 其中，應(yīng)變能Πs可表示為：

(11)

將式(4)～(6)和式(9)代入式(11)，可得：

(12)

式中，M為壓電納米梁的彎矩，其表達(dá)式為：

(13)

壓電納米梁的動(dòng)能Πk和外力功ΠF可分別寫為：

(14)

(15)

式中：NPx、NTx和NEx是由雙軸向力P0、溫度變化梯度ΔT和外部電壓V0產(chǎn)生的x向外載荷，且有

(16)

NQ為visco-Pasternak黏彈性基體的作用力。

(17)

式中，kG、kw和ct分別表示visco-Pasternak黏彈性基體的剪切彈性模量、Winkler彈性模量和阻尼參數(shù)。

將式(12)、式(14)和式(15)代入式(10)，并進(jìn)行分部積分，可得：

(18)

令變量δw和δφ前的系數(shù)表達(dá)式為0，可得到壓電納米梁的振動(dòng)微分方程。

(19)

(20)

式中涉及的無量綱參量定義如下：

其中：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

同時(shí)，壓電納米梁的彎矩Mx和剪力Qx的具體表達(dá)式可寫為：

(28)

(29)

為求得壓電納米梁的固有頻率，令式(19)和式(20)的解為：

(30)

(31)

(32)

將式(30)和式(31)代入式(19)和式(20)，有

(33)

(34)

同時(shí)，式(28)和式(29)進(jìn)一步化為：

(35)

(36)

為求解系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，需要確定壓電納米梁的邊界條件。假設(shè)壓電納米梁兩端邊界上的電勢(shì)φ(x,t)均為0，并給出了如下三種典型邊界條件：

1)自由端邊界條件

φ(x,t)=Q(x,t)=M(x,t)=0,
x=0 或x=L

(37)

2)簡(jiǎn)支端邊界條件

w(x,t)=φ(x,t)=M(x,t)=0,
x=0 或x=L

(38)

3)固支端邊界條件

(39)

2 傳遞函數(shù)法求解

定義如下狀態(tài)向量：

(40)

根據(jù)式(40)，式(33)和式(34)可改寫為狀態(tài)方程形式。

(41)

(42)

其中：

(43)

(44)

(45)

類似地，壓電納米梁的邊界條件可寫為狀態(tài)方程形式。

M(Ω)η(0,Ω)+N(Ω)η(1,Ω)=0

(46)

式(41)的解可寫為：

(47)

將式(47)代入邊界條件(46)，有

[M(Ω)+N(Ω)eF(Ω)]η(0,Ω)=0

(48)

則壓電納米梁的無量綱固有頻率Ω可通過求解如式(49)所示特征方程得到。

det[M(Ω)+N(Ω)eF(Ω)]=0

(49)

對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型為：

(50)

根據(jù)式(32)，可得到黏彈性基體中壓電納米梁在熱-電-力載荷作用下的固有頻率。

(51)

3 算例分析

本節(jié)以PZT-4材料制成的納米梁為例進(jìn)行算例分析。其中，PZT-4的相關(guān)材料參數(shù)如表 1所示[13]。若無特殊說明，默認(rèn)壓電納米梁的長(zhǎng)度和厚度分別為L(zhǎng)=12 nm和h=2 nm。

表1 PZT-4壓電納米梁相關(guān)材料參數(shù)

針對(duì)無基體時(shí)PZT-4壓電納米梁的振動(dòng)特性問題，Ke等[13]根據(jù)非局部彈性理論和Hamilton原理建立了系統(tǒng)的振動(dòng)控制方程，并通過微分求積方法得到不同邊界條件下壓電納米梁的固有頻率及相應(yīng)振型。下面基于文獻(xiàn)[13]中計(jì)算結(jié)果對(duì)本節(jié)所建模型和求解方法的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)。本算例中涉及的基本參數(shù)與文獻(xiàn)[13]一致：壓電納米梁厚度h=2 nm，非局部參數(shù)α=0.1，外載荷P0=V0=ΔT=0，相關(guān)材料參數(shù)見表 1，同時(shí)不考慮黏彈性基體影響(即kw=kG=ct=0)。表2給出了S-S和C-S邊界條件下壓電納米梁在不同長(zhǎng)細(xì)比η時(shí)的無量綱固有頻率TFM解以及文獻(xiàn)[13]對(duì)應(yīng)的微分求積法(Differential Quadrature Method, DQM)的解。從表2中可以看出：各邊界條件下壓電納米梁一階無量綱固有頻率的TFM解與文獻(xiàn)[13]中的計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了所建模型和求解方法的正確性。

為方便以后其他學(xué)者進(jìn)行對(duì)比分析，表 3給出了三種典型邊界條件(C-F、S-S和C-C)下壓電納米梁在不考慮黏彈性基體(kw=0，kG=0，ct=0)和考慮visco-Pasternak黏彈性基體(kw=0.1 GPa/nm，kG=0.25 GPa·nm，ct=1×10-4GPa.ns/nm)兩種情況下的前三階固有頻率。本算例中采用的基本參數(shù)與上一算例相同。從表 3可以看出：除了C-F邊界條件下的一階阻尼頻率之外，不同邊界條件下各階阻尼頻率均隨非局部參數(shù)α的增大而明顯減小。考慮visco-Pasternak黏彈性基體影響后，壓電納米梁的固有頻率出現(xiàn)了虛部項(xiàng)，這是系統(tǒng)引入了黏彈性基體的阻尼特性所導(dǎo)致的。壓電納米梁的一階阻尼頻率在考慮基體后明顯增大，而高階阻尼頻率增大幅度較小，其原因是黏彈性基體可顯著提高系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度。從表3中還可以看出：各邊界條件下壓電納米梁的前三階復(fù)固有頻率的虛部(即系統(tǒng)的阻尼比)均為0.530 5i GHz，且不隨非局部參數(shù)α的變化而變化。這是由于復(fù)固有頻率的虛部?jī)H與黏彈性基體的阻尼系數(shù)相關(guān)，而在本文計(jì)算分析中并未考慮visco-Pasternak黏彈性基體的非局部效應(yīng)。同時(shí)，邊界條件對(duì)壓電納米梁的振動(dòng)特性同樣具有很大影響。進(jìn)一步，圖2給出了非局部參數(shù)α對(duì)S-S和C-C邊界條件下壓電納米梁前三階振型的影響情況。從圖中可以看出：非局部參數(shù)α對(duì)S-S邊界條件下壓電納米梁的各階振型均無明顯影響，而對(duì)C-C邊界條件下的振型具有一定影響，且影響程度隨著模態(tài)階次的提高而有所增大。

表2 無基體壓電納米梁一階無量綱固有頻率Ω與文獻(xiàn)[13]對(duì)比情況

表3 不同α下壓電納米梁在典型邊界條件下的前三階固有頻率

(a) S-S邊界條件下振型(a) Mode shapes with S-S boundary conditions

(b) C-C邊界條件下振型(b) Mode shapes with C-C boundary conditions圖2 不同邊界條件下壓電納米梁前三階振型Fig.2 The first three mode shapes for piezoelectric nanobeams with different boundary conditions

由于非局部參數(shù)α對(duì)壓電納米梁固有頻率的虛部無影響，下面僅分析其對(duì)壓電納米梁固有頻率實(shí)部的影響情況。圖 3給出了三種典型邊界條件下壓電納米梁在無基體(kw=kG=ct=0)和有基體(kw=0.1 GPa/nm，kG=0.25 GPa·nm，ct=1×10-4GPa·ns/nm)影響時(shí)一階頻率比ωNL/ωL實(shí)部隨非局部參數(shù)α的變化曲線。其中，ωNL/ωL用于表征非局部效應(yīng)的大小，ωNL和ωL分別表示基于非局部理論(α≠0時(shí))和經(jīng)典局部理論(α=0時(shí))計(jì)算得到的固有頻率值。本算例中采用的基本參數(shù)與上一算例相同。從圖3可以看出，S-S和C-C邊界條件下壓電納米梁在有基體和無基體影響時(shí)一階頻率比ωNL/ωL均隨非局部參數(shù)α的增大而明顯減小，但C-F邊界條件下ωNL/ωL則隨非局部參數(shù)α的增大有所增大。這表明對(duì)于S-S和C-C邊界條件下壓電納米梁考慮非局部效應(yīng)會(huì)在較大程度上削弱系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度；而對(duì)于C-F邊界條件，其結(jié)構(gòu)剛度則有所增強(qiáng)，這一特殊規(guī)律與文獻(xiàn)[19-20]中所描述的一致。從圖中還可以看出，考慮visco-Pasternak黏彈性基體后，各邊界條件下一階頻率比ωNL/ωL隨非局部參數(shù)α的變化幅度有所減小，即考慮黏彈性基體后可一定程度上減小非局部效應(yīng)對(duì)壓電納米梁振動(dòng)特性的影響。同時(shí)，邊界條件對(duì)壓電納米梁的振動(dòng)特性具有較大影響，增大邊界連接剛度可顯著提高壓電納米梁振動(dòng)特性對(duì)非局部效應(yīng)的敏感度。

圖3 壓電納米梁一階頻率比ωNL/ωL實(shí)部隨非局部參數(shù)α的變化曲線Fig.3 Effect of nonlocal parameter α on the real parts of the first frequency ratios ωNL/ωL for piezoelectric nanobeams

進(jìn)一步，為分析非局部參數(shù)α對(duì)壓電納米梁高階固有頻率的影響情況，圖 4給出了壓電納米梁二階頻率比ωNL/ωL實(shí)部隨非局部參數(shù)α的變化曲線。從圖4可以看出，各邊界條件下壓電納米梁高階固有頻率均隨非局部參數(shù)α的增大明顯減小。同時(shí)，非局部參數(shù)α對(duì)壓電納米梁固有頻率的影響程度隨頻率階次的增大而增大，例如當(dāng)非局部參數(shù)α由0增大到0.2時(shí)，無基體支撐時(shí)S-S邊界條件下壓電納米梁的一階頻率比ωNL/ωL減小了11.76%，而二階頻率比ωNL/ωL則減小了36.54%。此外，與圖3的基頻相比，黏彈性基體對(duì)高階固有頻率的影響明顯減小。

圖4 壓電納米梁二階頻率比ωNL/ωL實(shí)部隨非局部參數(shù)α的變化曲線Fig.4 Effect of nonlocal parameter α on the real parts of the second frequency ratios ωNL/ωL for piezoelectric nanobeams

為進(jìn)一步分析邊界條件、溫度變化梯度ΔT和雙軸向力P0對(duì)壓電納米梁外電壓V0敏感度的影響情況，圖 5和圖 6分別給出了各邊界條件下壓電納米梁(α=0)一階和二階頻率比ω/ωv2實(shí)部隨電壓V0的變化曲線。這里，頻率比ω/ωv2用于表征外電壓V0對(duì)固有頻率的影響程度，其中ωv2表示外電壓V0=-0.2 V時(shí)壓電納米梁的阻尼頻率。從圖中可以看出，壓電納米梁前兩階頻率比ω/ωv2均隨電壓V0的增大近似呈線性減小。同時(shí)，當(dāng)溫度變化梯度ΔT和雙軸向力P0增大時(shí)，各邊界條件下壓電納米梁前兩階頻率比ω/ωv2的減小幅度均隨之增大，且當(dāng)雙軸向力P0增大時(shí)其減小幅度更為明顯。例如，當(dāng)電壓V0從-0.2 V增大到0.2 V時(shí)，C-F壓電納米梁一階頻率比ω/ωv2在ΔT=600 ℃和P0=-3 N時(shí)減小了17.47%，在ΔT=-600 ℃和P0=3 N時(shí)減小了37.15%，而在ΔT=600 ℃和P0=3 N時(shí)則減小了51.58%。這表明，壓電納米梁固有頻率對(duì)外電壓的敏感度隨溫度變化梯度ΔT或雙軸向力P0的增大而增大。從圖中還可以看出，前兩階頻率比ω/ωv2隨電壓V0的變化幅度按照C-F>S-S>C-C的順序依次減小，表明減小邊界連接剛度可顯著提高壓電納米梁對(duì)電壓V0的敏感度。同時(shí)，壓電納米梁對(duì)電壓V0的敏感度隨頻率階次的提高明顯減小。

圖5 各邊界條件下壓電納米梁一階頻率比ω/ωv2實(shí)部隨電壓V0的變化曲線Fig.5 Effect of external electric voltage V0 on the real parts of the first frequency ratios ω/ωv2 for nonlocal piezoelectric beams with various boundary conditions

圖6 各邊界條件下壓電納米梁二階頻率比ω/ωv2實(shí)部隨電壓V0的變化曲線Fig.6 Effect of external electric voltage V0 on the real parts of the second frequency ratios ω/ωv2 for nonlocal piezoelectric beams with various boundary conditions

為研究黏彈性基體對(duì)壓電納米梁振動(dòng)特性的影響情況，圖 7給出了不同α和kw下S-S壓電納米梁一階固有頻率實(shí)部和虛部隨阻尼系數(shù)ct的變化曲線。本算例中，取ΔT=600 ℃、P0=3 N和V0=0.3 V，其他基本參數(shù)同上一算例。從圖7可以看出，當(dāng)阻尼系數(shù)ct大于臨界阻尼系數(shù)(ct)crit時(shí)，壓電納米梁固有頻率實(shí)部為0，即壓電納米梁不發(fā)生往復(fù)振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。相應(yīng)地，壓電納米梁固有頻率虛部在臨界阻尼系數(shù)(ct)crit處發(fā)生突變。當(dāng)阻尼系數(shù)ct小于臨界阻尼系數(shù)(ct)crit時(shí)，固有頻率實(shí)部隨阻尼系數(shù)ct的增大非線性減小，而其虛部則線性增大，且此時(shí)Winkler彈性模量kw對(duì)虛部影響很小，可忽略不計(jì)。從圖中還可以看出，增大Winkler彈性模量kw可顯著增大臨界阻尼系數(shù)(ct)crit，而增大非局部參數(shù)α則減小系統(tǒng)的(ct)crit。

(a) 實(shí)部(a) Real parts

(b) 虛部(b) Imaginary parts圖7 S-S壓電納米梁一階固有頻率ω隨阻尼系數(shù)ct的變化曲線Fig.7 Variation of the first complex natural frequencies for S-S piezoelectric nanobeams with damping parameter ct

4 結(jié)論

本文根據(jù)Hamilton原理建立了黏彈性基體中壓電納米梁的熱-機(jī)電振動(dòng)特性分析模型，并采用傳遞函數(shù)方法求得了一般邊界條件下固有頻率的閉合解。通過與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所建模型和求解方法的正確性。在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)分析了非局部參數(shù)、邊界條件、外部載荷、黏彈性基體等因素對(duì)壓電納米梁振動(dòng)特性的影響，得到的主要結(jié)論有：

1)壓電納米梁的振動(dòng)特性對(duì)外電壓具有較大敏感度，且其敏感度隨溫度變化梯度和雙軸向力的增大而增大，隨邊界連接剛度的增大而減小；同時(shí)，除C-F壓電納米梁基頻外，壓電納米梁對(duì)外電壓的敏感度隨非局部效應(yīng)的增強(qiáng)而增大。

2)外電壓、溫度變化梯度和雙軸向力對(duì)壓電納米梁振動(dòng)特性具有較大影響，通過改變相關(guān)參數(shù)可在一定程度上調(diào)節(jié)壓電納米梁的振動(dòng)特性。

3)壓電納米梁固有頻率虛部?jī)H與黏彈性基體的阻尼系數(shù)相關(guān)，不受邊界條件、非局部參數(shù)、外電壓、溫度變化梯度和雙軸向力影響。

4)存在臨界阻尼系數(shù)(ct)cri使得壓電納米梁不發(fā)生往復(fù)振動(dòng)，且臨界阻尼系數(shù)(ct)crit隨頻率階次和Winkler彈性模量的增大而增大，隨非局部參數(shù)的增大而減小。