巧用拼圖實驗 感悟數(shù)形結(jié)合
——以蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊“整式乘法與因式分解”為例

■焦倩玉

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊第九章“整式乘法與因式分解”中，一個非常重要的思想是用不同的方法計算同一塊圖形的面積，那么它們是相等的。通過這個思想推演證實了這一章的法則和公式。課標(biāo)要求學(xué)生能推導(dǎo)乘法公式（a+b）（a-b）＝a2-b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單計算；反過來，也能利用公式法進(jìn)行多項式的因式分解。

“整式乘法與因式分解”這一章中，“整式乘法”和“因式分解”是兩種互逆變形，“整式乘法”的最終結(jié)果是“和”的形式，“因式分解”的最終結(jié)果是“積”的形式，學(xué)生容易混淆。

筆者在學(xué)生完成此章的學(xué)習(xí)之后，開展了一節(jié)拼圖實驗的教學(xué)，期望學(xué)生通過拼圖實驗，探索拼圖與整式乘法、因式分解之間的內(nèi)在關(guān)系，弄清這兩種變形的互逆關(guān)系及各自的功能，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展幾何直觀和推理能力。

一、教學(xué)實錄

實驗工具：A型紙片（邊長為a的正方形）、B型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（長為a、寬為b的長方形）各若干。

1.操作與發(fā)現(xiàn)。

用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼成如圖1的正方形。計算整個圖形的面積。

于是，可得整式乘法（a+b）2＝a2+2ab+b2，因式分解a2+2ab+b2＝（a＋b）2。

將1張B型紙片按如圖2的方法放置于1張A型紙片上。計算陰影部分的面積。

生1：陰影部分面積是大正方形面積剪去小正方形面積，即a2-b2。

生2：把未被覆蓋部分剪開（如圖3），重新拼圖。這個新的長方形的面積為（a+b）（a-b）。

生3：把陰影部分剪成兩個一樣的梯形（如圖4），每個梯形的上底是b，下底是a，高是（ab），總面積是

于是，可得整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2，因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）。

【教學(xué)說明】課標(biāo)要求學(xué)生借助圖形直觀發(fā)現(xiàn)整式乘法，了解公式的幾何背景。借助圖形直觀，經(jīng)歷“由形到數(shù)”，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。使用不同的方法計算同一個圖形的面積，分別對應(yīng)“整式乘法”結(jié)果“和”的形式和“因式分解”結(jié)果“積”的形式。

2.操作與思考。

用1張A型紙片、4張B型紙片、4張C型紙片拼成一個正方形。計算它的面積。

生4：因為要拼一個正方形，所以它的長和寬應(yīng)該相等。我將唯一的A型紙片放在左上角。跟A連接的只能是C，它們都有共同的邊a，所以我分別在A的右側(cè)和下側(cè)放了一張C，于是就發(fā)現(xiàn)此時的右下角缺了一個邊長為b的小正方形，自然需要放一張B型紙片?，F(xiàn)在我還剩下2張C型紙片和3張B型紙片，重復(fù)剛剛的過程，在這個新的正方形右側(cè)和下側(cè)放一張C，最后再把剩余的3張B型紙片補(bǔ)上就好了。

師：說得非常清晰！拼圖的關(guān)鍵是相互連接的邊長度相同。

由這個拼圖，可得整式乘法（a+2b）2=a2+4ab+4b2，因式分解a2+4ab+4b2=（a+2b）2。

取1張A型紙片、2張B型紙片、若干張C型紙片，使其拼成一個長方形。計算它的面積。

師：這與上一題有什么不同之處？

生5：我們不知道C型紙片的具體數(shù)量。

生6：雖然題目的條件沒有說，但是由于A型紙片和B型紙片的邊長都不相等，所以無法連接。只能在空白處補(bǔ)上3張C型紙片。

由這個拼圖，可得整式乘法（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，因式分解a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）。

分別取若干張A型、B型、C型3種紙片，使其拼成一個長方形，并計算（a+b）（a+3b）。

師：讀完題后，你有什么想法？

生7：要計算（a+b）（a+3b），表明這個長方形的長為a+3b，寬為a+b。跟上一個拼圖相比，寬不變，長多了b，再在右側(cè)添加1張C型紙片和1張B型紙片。

于是，得到整式乘法（a+b）（a+3b）=a2+4ab＋

3b2。

分別取若干張A型、B型、C型3種紙片，使其拼成一個長方形，并將多項式a2+10ab+9b2分解因式。

師：你可以不用動手拼圖就得到答案嗎？

生8：（a+b）（a+9b）。我發(fā)現(xiàn)這3道題的多項式分別為a2+3ab+2b2、a2+4ab+3b2、a2+10ab+9b2，觀察得到ab項的系數(shù)都比b2項的系數(shù)大1。而這個矩形的長每增加b，C型紙片和B型紙片同時增加，保持C型紙片一直比B型紙片多一張。

師：非常棒！他已經(jīng)自覺地將數(shù)和形結(jié)合起來看了，關(guān)注到了多項式的系數(shù)與拼圖之間的聯(lián)系。

于是，得到因式分解a2+10ab+9b2=（a=b）·（a+9b）。

【教學(xué)說明】在操作與思考中設(shè)置了4個不同的問題。問題1明確紙片數(shù)量，要求拼一個正方形。問題2需要學(xué)生自己確定紙片的數(shù)量拼一個長方形。這兩個問題都是“由形到數(shù)”。問題3計算兩個多項式相乘，這兩個多項式分別對應(yīng)長方形的長和寬。問題4將一個多項式分解因式，這個多項式每一項的系數(shù)對應(yīng)不同類型紙片的數(shù)量。這兩個問題都是“由數(shù)到形”。

3.拓展與延伸

有A型紙片、B型紙片、C型紙片各10張。從中取若干張紙片（每種紙片至少取1張），把取出的這些紙片拼成一個正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分）。你覺得可以拼出多少種不同的正方形？

（小組討論，成果匯報。）

問題的關(guān)鍵是使用的3種類型的紙片中，使用最多的同一種紙片不能超過10張。假設(shè)a的系數(shù)為m，b的系數(shù)為n，使用完全平方公式將（ma+nb）2進(jìn)行展開，得到m2a2+2mnab+n2b2，分別觀察a2、ab、b2的系數(shù)m2、2mn、n2，只要它們小于等于10即可。故按順序找出6種情況如下表：

?

【教學(xué)說明】拓展與延伸對學(xué)生提出了更高的要求，即不動手拼圖，只借助多項式的系數(shù)和不同類型紙片之間的對應(yīng)關(guān)系得到結(jié)果。由于紙片的數(shù)量是有限的，這就限制了多項式的系數(shù)的大小。再融合分類討論的思想，有邏輯地列出問題的完整答案。

二、教后反思

筆者引導(dǎo)學(xué)生利用3種不同類型的紙片拼圖，再現(xiàn)整式乘法與因式分解的情境。筆者通過弱化條件或改變條件與結(jié)論，問題設(shè)計層層遞進(jìn)，引發(fā)學(xué)生深入思考。隨著紙片的數(shù)量不斷增加，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：如果給定數(shù)量的紙片能夠拼成一個矩形，那么從整體和部分兩個角度計算這個圖形的面積可以得到一個整式乘法公式，同時與紙片面積一樣的多項式就能分解因式。學(xué)生感悟數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，加深了對拼圖與整式乘法和因式分解之間關(guān)系的理解。

“讓學(xué)生獲得適應(yīng)未來生存與發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗只有個體在親歷數(shù)學(xué)活動的過程中才能獲得。在本節(jié)數(shù)學(xué)實驗課中，學(xué)生不斷從事拼圖、計算面積等活動，通過獨立思考、合作交流，并輔以歸納總結(jié)和提升，有助于自身基本活動經(jīng)驗的形成?？傊?，數(shù)學(xué)實驗本質(zhì)上是一種解決問題的活動。教師是活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者，學(xué)生才是活動的主人。要想學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)活動中來，教師要精心設(shè)計實驗，讓學(xué)生在探索中獲得真知，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。