把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)思想方法

江蘇省邳州市閩江路小學(xué) 張翠華

在數(shù)學(xué)教育中，應(yīng)該教什么？如何去教？對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)該如何呈現(xiàn)？我們要帶著對(duì)這些問(wèn)題的反思，重新來(lái)關(guān)注數(shù)學(xué)本身所蘊(yùn)藏的思想與方法。小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用，要回歸兒童立場(chǎng)，用數(shù)學(xué)思想和方法來(lái)潤(rùn)澤學(xué)生心靈，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)中感知和把握思想與方法。單純的講題，單純的演練，并不能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，要依托數(shù)學(xué)活動(dòng)，探析數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)思想與方法提煉中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、回歸兒童，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)中體會(huì)思想與方法

在數(shù)學(xué)課改實(shí)踐中，對(duì)兒童觀的回歸，要關(guān)注數(shù)學(xué)與學(xué)生生活的關(guān)聯(lián)，基于學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)展開課堂教學(xué)。在兒童視域下，數(shù)學(xué)知識(shí)絕非簡(jiǎn)單地做數(shù)學(xué)題，而是要從數(shù)學(xué)題目中挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想融合了數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法，更是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象概括與提煉。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的講解，教師要善于引出與之關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)解答數(shù)學(xué)題，還要體會(huì)數(shù)學(xué)人文精神。數(shù)學(xué)家柯朗提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，不能流于對(duì)單純數(shù)學(xué)題目的訓(xùn)練，這種訓(xùn)練，固然可以發(fā)展學(xué)生的演算能力，但無(wú)助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解，更無(wú)助于發(fā)展學(xué)生的獨(dú)立思考能力?！痹诋?dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，純知識(shí)性的技能教育，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到枯燥、無(wú)趣和封閉，喪失對(duì)數(shù)學(xué)思維靈活性的體認(rèn)。如一些學(xué)生，即便是數(shù)學(xué)成績(jī)非常好，也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭惡情緒。在大量數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練中，學(xué)生未能真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“生活化”與“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，將解題方法當(dāng)做了工具，也讓學(xué)生無(wú)法感知深邃的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與科學(xué)更難以領(lǐng)略。

數(shù)學(xué)的靈魂是“思想”，數(shù)學(xué)思想又是什么？從數(shù)學(xué)學(xué)科教育實(shí)踐來(lái)看，數(shù)學(xué)思想是基于數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的理性認(rèn)識(shí)，具有抽象性和概括性特征。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想是豐富的。教師在講解數(shù)學(xué)知識(shí)，討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注重?cái)?shù)學(xué)思想的提煉，要有計(jì)劃地滲透數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想價(jià)值。如認(rèn)識(shí)10 以內(nèi)的數(shù)字，可以通過(guò)大量感性材料、教具來(lái)滲透，讓學(xué)生理解10 以內(nèi)的數(shù)，建立10 以內(nèi)數(shù)的概念。再如：對(duì)于小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解和掌握整數(shù)乘法的基本方法，我們可以搭建生活化情境，滲透小數(shù)乘法知識(shí)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題中，分析數(shù)量關(guān)系，找出計(jì)算方法。再聯(lián)系小數(shù)點(diǎn)的位置變化，將整數(shù)乘法思維，遷移到小數(shù)乘法中，得到小數(shù)乘法的積。在探究小數(shù)乘法中，不僅深化了對(duì)整數(shù)乘法方法的應(yīng)用，更獲得對(duì)小數(shù)乘法算理的理解，在滲透數(shù)學(xué)歸納、轉(zhuǎn)化思想中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二、回歸課堂，梳理數(shù)學(xué)中的主要思想與方法

數(shù)學(xué)中的思想與方法源于數(shù)學(xué)知識(shí)與創(chuàng)造，在小學(xué)課堂，對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的梳理，主要?dú)w納為以下幾點(diǎn)。

第一，分類思想方法。分類，是將某一數(shù)學(xué)問(wèn)題看成整體，按照相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)劃分為幾個(gè)部分。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分類思想的運(yùn)用，便于對(duì)同一類數(shù)學(xué)問(wèn)題、不同類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行清晰梳理，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的理解。如學(xué)習(xí)三角形，對(duì)三角形可以分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。需要強(qiáng)調(diào)的是，在分類思想方法中，需要遵循同樣的分類標(biāo)準(zhǔn)。分類后，不能重復(fù)，不能遺漏。如對(duì)于四邊形的分類，可以分為平行四邊形、梯形和任意四邊形；對(duì)平行四邊形，可以分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形，如長(zhǎng)方形；對(duì)長(zhǎng)方形可以分為一般長(zhǎng)方形和特殊長(zhǎng)方形，如正方形。

第二，轉(zhuǎn)化思想方法。對(duì)于轉(zhuǎn)化，可以成為“化歸”思想，基于聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)看待數(shù)學(xué)，以解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。轉(zhuǎn)化在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多，如在數(shù)與代數(shù)中，空間和圖形中，都要用到轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想，有助于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變換，幫助學(xué)生找到更有效的解決問(wèn)題的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是，在轉(zhuǎn)化思想方法中，需要把握熟悉性原則、簡(jiǎn)單化原則、具體化原則，讓學(xué)生能夠結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)系生活實(shí)際，展開具象化數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化解決。

第三，數(shù)形結(jié)合思想方法。數(shù)形結(jié)合，將“數(shù)”與“形”建立關(guān)聯(lián)，促進(jìn)數(shù)學(xué)“抽象”與“具體”的互補(bǔ)、融合。在數(shù)學(xué)知識(shí)中，抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)之一，小學(xué)生年齡小，思維還處于形象化階段。面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)將數(shù)學(xué)抽象與具體的形象相聯(lián)系，以“形”助教，來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。如在比較整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的大小時(shí)，我們引入“數(shù)軸”，通過(guò)“數(shù)軸”來(lái)確定整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的位置，從而直觀辨析其大小關(guān)系。同樣，數(shù)形結(jié)合思想方法在應(yīng)用中，還要善用幾何圖形來(lái)表示數(shù)學(xué)概念、計(jì)算法則、算理，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)理的認(rèn)知。如對(duì)于×，可以通過(guò)圖示法來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)乘法的算理與算法。同樣，在學(xué)習(xí)相距問(wèn)題、路程問(wèn)題時(shí)，我們也可以將數(shù)學(xué)表述語(yǔ)言，轉(zhuǎn)換為具體的行程圖示，讓學(xué)生快速找到解決問(wèn)題的方法，明晰各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系。

第四，歸納思想方法。歸納法是通過(guò)對(duì)特殊示例、題材進(jìn)行觀察、分析，舍去非本質(zhì)要素，得出事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。也就是說(shuō)，歸納是將特殊推向一般的思維方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法的應(yīng)用很多。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的觀察、實(shí)驗(yàn)、思考，從中歸納出一般性結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的推理與探究能力。

三、革新數(shù)學(xué)教法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深刻體認(rèn)

對(duì)數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)思想與方法的滲透，教師要回歸兒童，立足數(shù)學(xué)課堂，樹立正確的數(shù)學(xué)教學(xué)觀，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，融入數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生在親歷、實(shí)踐、感知中感悟數(shù)學(xué)思想與方法。

（一）注重課堂整體設(shè)計(jì)，讓數(shù)學(xué)思想得以顯化

對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性特點(diǎn)。笛卡爾在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)提出設(shè)想：所有問(wèn)題是否可以轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，再來(lái)化解所有問(wèn)題中的已知量與未知量之間的關(guān)系。正是基于這一點(diǎn)，笛卡爾賦予了“方程”思想深刻的意義內(nèi)涵和價(jià)值。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，很多學(xué)生習(xí)慣從已知探究未知，通過(guò)利用算術(shù)方法，找到解決未知量的算法。但對(duì)“方程”思想較為排斥，因?yàn)椤胺匠獭彼枷霃奈粗胧郑瑏?lái)分析未知與已知之間的關(guān)系，與學(xué)生的思維習(xí)慣相悖。如在代數(shù)中，用字母來(lái)表示未知數(shù)，按照運(yùn)算規(guī)律來(lái)參與運(yùn)算，來(lái)清晰表示已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系。但是，小學(xué)生對(duì)“方程”思想難以理解，在后續(xù)解決應(yīng)用題時(shí)，總是不善于運(yùn)用字母x 來(lái)表示未知數(shù)。“方程”思想，是對(duì)數(shù)量關(guān)系變化規(guī)律的本質(zhì)性呈現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體關(guān)聯(lián)性和結(jié)構(gòu)性。舉例來(lái)講，對(duì)于乘法口算題，4×6= ；40×6= ； 400×6= ；再 如，20×6= ；20×60= ； 20×600= ；再如，300×600= ；30×600= ； 3×600= 。很多時(shí)候，學(xué)生在口算后，教師關(guān)注的是結(jié)果的正確性，而有經(jīng)驗(yàn)的教師，會(huì)讓學(xué)生先計(jì)算，再比較答案，讓學(xué)生從答案中去觀察、提煉解題規(guī)律。由此得出結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)數(shù)相乘，當(dāng)一個(gè)數(shù)變化，另一個(gè)數(shù)不變時(shí)，得數(shù)變化是有規(guī)律的。找出了這個(gè)規(guī)律，對(duì)于學(xué)生理解乘法規(guī)律，提升乘法解題速度具有重要的價(jià)值。

（二）強(qiáng)調(diào)學(xué)生解題過(guò)程參與，讓數(shù)學(xué)思想得以點(diǎn)化

在對(duì)兒童數(shù)學(xué)思維研究中發(fā)現(xiàn)，兒童的數(shù)學(xué)思維分為三層，第一層為數(shù)學(xué)描述，對(duì)感性數(shù)學(xué)材料的認(rèn)知；第二層為數(shù)學(xué)抽象，從數(shù)學(xué)材料中提煉出邏輯數(shù)量關(guān)系，如對(duì)數(shù)學(xué)方法、概念、公式解題經(jīng)驗(yàn)的積累；第三層為數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐應(yīng)用，主要是學(xué)生將所獲得的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用到不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題中。教師在引領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)思想與方法時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手，參與對(duì)數(shù)學(xué)材料的組織、思考和應(yīng)用，從數(shù)學(xué)材料中獲得數(shù)學(xué)思想與方法。很多時(shí)候，在數(shù)學(xué)課堂，對(duì)概念的講解往往以灌輸為主。這個(gè)概念是什么，讓學(xué)生多看、多讀、多記。這種方法，學(xué)生并未真正理解數(shù)學(xué)概念，對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵也把握不清晰。如在學(xué)習(xí)“圓”時(shí)，我們革新課堂流程，直接在黑板上用圓規(guī)畫出一個(gè)圓。接著，請(qǐng)學(xué)生自己動(dòng)手，用圓規(guī)在練習(xí)本上畫一個(gè)圓。然后，對(duì)照黑板與練習(xí)本上的兩個(gè)圓，讓學(xué)生觀察并思考兩者的異同點(diǎn)。從學(xué)生的動(dòng)手感知中，兩個(gè)圓都是“圓”，但兩個(gè)圓卻不完全相同。黑板上的圓大，練習(xí)本上的圓小，大與小是由畫圓時(shí)所選取的“圓規(guī)兩腳之間的距離”決定的，即圓的半徑。相同的是，兩個(gè)圓，都是先確定一個(gè)點(diǎn)，再拉開圓規(guī)兩腳，旋轉(zhuǎn)一周而成。由此，讓學(xué)生快速找到“圓”的三要素，即定點(diǎn)、定長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)一周。

在數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的感知，還要拓展學(xué)生的認(rèn)知視野，突出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，在數(shù)學(xué)解題中深化數(shù)學(xué)思想與方法的理解，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。如怎樣測(cè)量一個(gè)不規(guī)則物體的體積，以土豆為例，土豆本身不規(guī)則，無(wú)法直接利用體積公式來(lái)計(jì)算，這就需要我們探析別的途徑。我們可以將之放于裝有水的長(zhǎng)方體或圓柱體容器內(nèi)，先測(cè)量原來(lái)容器的長(zhǎng)和寬，再測(cè)量水面升高的距離，利用長(zhǎng)方體或圓柱體體積變化來(lái)等同轉(zhuǎn)化為土豆的體積，讓難以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解?？梢?jiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)，我們不能單一地停留于解法的訓(xùn)練，還要關(guān)注學(xué)生，滲透數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)解題體驗(yàn)中感受到數(shù)學(xué)的智慧與美，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得數(shù)學(xué)思想的浸潤(rùn)與熏陶。