通項(xiàng)公式
——二項(xiàng)式定理的核心

■河南省許昌市第五高級(jí)中學(xué)

一、求二項(xiàng)式展開式中滿足條件的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)

通項(xiàng)公式可以表示展開式中的每一項(xiàng),也就可以求解其中某一項(xiàng)的值。

例1在二項(xiàng)式的展開式中,含有x3項(xiàng)的系數(shù)為____。

解析：要求二項(xiàng)式展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù),只需知道其通項(xiàng)公式(即第r+1項(xiàng)),通過系數(shù)確定r的值,即可計(jì)算求解。

由題意知,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=所以12-3r=3,解得-20x3,即含有x3項(xiàng)的系數(shù)為-20。

例2在二項(xiàng)式的展開式中,含有x9的項(xiàng)為____。

解析：本題要求的是含有x9的項(xiàng),所以不僅要求出該項(xiàng)的系數(shù),而且下結(jié)論時(shí)寫出的應(yīng)該是一個(gè)完整的項(xiàng)。

由題意知,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tr+1所以18-3r=9,解得r=3,含有x9的項(xiàng)為T4=

例3對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有(x-1)4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4,則a3的值為____。

解析：本題中,將x-1改寫為x-3+2,將x-3看成一個(gè)整體,可直接利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式計(jì)算得到a3。

因(x-1)4=(x-3+2)4,其通項(xiàng)公式為

例4在的展開式中,x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有( )。

A.3項(xiàng) B.4項(xiàng)

C.5項(xiàng) D.6項(xiàng)

解析：由題意知,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為24)。要使x的冪指數(shù)為整數(shù),即Z,解得r=0,6,12,18,24,共有5項(xiàng),選C。

評(píng)析:在描述二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式時(shí),要注意應(yīng)用整體代換的方式,即此處要把x2和分別整體化為a和b;通過化簡、對(duì)比計(jì)算得到r時(shí),要注意所求結(jié)論是求給定的項(xiàng)還是給定項(xiàng)的系數(shù)。下結(jié)論時(shí)要注意區(qū)分,對(duì)于某些二項(xiàng)式展開式中存在特殊的情況,能夠利用整體代換的方式進(jìn)行解答。

二、根據(jù)給定的項(xiàng)確定二項(xiàng)式中的參數(shù)的值

含有參數(shù)的二項(xiàng)式中,先通過某項(xiàng)的系數(shù)的確定,再利用通項(xiàng)公式確定該參數(shù)的值。

例5若的展開式中x3的系數(shù)為則常數(shù)a=( )。

A.1 B.3 C.4 D.9

解析：本題可以根據(jù)通項(xiàng)公式直接得到x3的項(xiàng),利用系數(shù)關(guān)系,得到關(guān)于a的方程,解方程即可。

由題意知,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tr+1由題意知解得r=8,即含x3的項(xiàng)的系數(shù)為解得a=4,故選C。

例6若(1+2x)n的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)系數(shù)的8倍,則正整數(shù)n=____。

解析：由題意知,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為故含x3項(xiàng)的系數(shù)為含x的系數(shù)為所以解得n=5。

例7若的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大,則其常數(shù)項(xiàng)為( )。

A.120 B.210 C.252 D.45

解析：由題意知,其展開式的通項(xiàng)公式為因?yàn)橹挥械?項(xiàng)系數(shù)最大,所以解得2n=10,n=5,即此時(shí)當(dāng)時(shí),其常數(shù)項(xiàng)為120,選A。

評(píng)析:二項(xiàng)式展開式中,若其中只有第r+1項(xiàng)的系數(shù)達(dá)到最大,則該項(xiàng)的系數(shù)比它前后兩項(xiàng)的系數(shù)都要大,可以確定相關(guān)系數(shù)的值或范圍。

三、求混合二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)或系數(shù)

例8若二項(xiàng)式為(1+2x)3(1-x)4,則其展開式中含x6項(xiàng)的系數(shù)為____。

解析：此題可先分別表示兩個(gè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,然后明確該問的二項(xiàng)式展開式的每一項(xiàng)都與這兩個(gè)通項(xiàng)公式有關(guān)即可。

(1+2x)3展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=展開式的通項(xiàng)公式為Ts+1所以原二項(xiàng)式的通項(xiàng)為T=令r+s=6,則滿足題意的(r,s)為(2,4),(3,3),含x6項(xiàng)的系數(shù)為

例9已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng),n∈N*,2≤n≤8,則n=____。

解析：由題意知,n∈N*,2≤n≤8,故n=2,3,4,5,6,7,8。展開式的通項(xiàng)公式為要使(1+x+x2)·的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng),則必須n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r+2≠0。通過對(duì)比,可得滿足條件的n的值為5。

評(píng)析:求解兩個(gè)二項(xiàng)式的混合展開式系數(shù)問題,若其中一個(gè)二項(xiàng)式項(xiàng)不多,則只需其中一個(gè)的通項(xiàng)公式得到,然后依次與另一個(gè)的每一項(xiàng)相乘,根據(jù)條件計(jì)算得到相關(guān)值;若兩個(gè)二項(xiàng)式的項(xiàng)都比較多,則兩個(gè)通項(xiàng)公式都進(jìn)行表示,然后相乘,再根據(jù)條件計(jì)算得到相關(guān)值。

四、求解相關(guān)綜合問題

例10設(shè)f(x)是的展開式的中間項(xiàng),若f(x)≤mx在區(qū)間上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

解析：利用通項(xiàng)公式,得到f(x)的解析式,再求解不等式。

評(píng)析:二項(xiàng)式定理與函數(shù)相結(jié)合,利用通項(xiàng)公式得到相關(guān)函數(shù)的解析式,通過不等式恒成立問題得到參數(shù)的范圍。