基于無(wú)失效數(shù)據(jù)和復(fù)合LINEX損失函數(shù)的指數(shù)分布模型的Bayes統(tǒng)計(jì)推斷研究

廖 莉

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，江西 宜春 336000)

由于高科技飛速發(fā)展，先進(jìn)的制造技術(shù)和高端機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品的可靠性越來(lái)越高，導(dǎo)致在進(jìn)行截尾壽命試驗(yàn)時(shí)常不能獲得失效數(shù)據(jù)，而只能根據(jù)試驗(yàn)獲得的“無(wú)失效數(shù)據(jù)”對(duì)產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行分析?；跓o(wú)失效數(shù)據(jù)的可靠性研究是一項(xiàng)有意義的工作，引起了很多學(xué)者的關(guān)注。如文獻(xiàn)[1]基于無(wú)失效數(shù)據(jù)，提出了一種改進(jìn)的配分布曲線(xiàn)法，改進(jìn)了威布爾分布參數(shù)點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間估計(jì)。文獻(xiàn)[2]在產(chǎn)品的壽命分布分別為已知和未知兩種情形，提出了自助最大熵法用于處理基于無(wú)失效數(shù)據(jù)樣本的滾動(dòng)軸承壽命分布模型的可靠性評(píng)估.文獻(xiàn)[3]針對(duì)樁基靜載試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)失效數(shù)據(jù)的情形，提出了樁基承載力可靠度的Bayes計(jì)算和分析方法。文獻(xiàn)[4]利用雙邊修正Bayes(M-Bayes)置信限的方法，研究了在無(wú)失效數(shù)據(jù)下指數(shù)分布的失效率和可靠性的區(qū)間估計(jì)，并進(jìn)一步討論了雙邊M—Bayes置信限的性質(zhì)，包括超參數(shù)上界C值的影響，以及超參數(shù)的不同先驗(yàn)分布對(duì)雙邊M-Bayes置信限的影響。指數(shù)分布是一種重要的連續(xù)型分布，關(guān)于該模型的統(tǒng)計(jì)分析和應(yīng)用已經(jīng)滲透到工程科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，如可靠性、氣象學(xué)、水文學(xué)、質(zhì)量控制等[5-8]。對(duì)于無(wú)失效數(shù)據(jù)模型失效率估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]提出了失效率先驗(yàn)分布的減函數(shù)確定法?，F(xiàn)有關(guān)于無(wú)失效數(shù)據(jù)的指數(shù)分布失效率的Bayes估計(jì)問(wèn)題主要是在平方誤差損失下進(jìn)行討論的，直到最近幾年才有學(xué)者在其他損失函數(shù)如，LINEX損失和p,q-對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失下研究失效率的Bayes估計(jì)[10-12]。復(fù)合LINEX損失函數(shù)是一種最重要的損失函數(shù)，一些文獻(xiàn)[13,14]在該損失函數(shù)下研究了分布模型參數(shù)的Bayes統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。

本文將在復(fù)合LINEX損失函數(shù)下研究基于無(wú)失效數(shù)據(jù)的指數(shù)分布模型失效率的Bayes估計(jì)問(wèn)題。

1 基于無(wú)失效數(shù)據(jù)的指數(shù)分布模型描述

設(shè)產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：

f(t)=λe-λt,t>0

(1)

假設(shè)第i次定時(shí)截尾試驗(yàn)，共有Xi個(gè)樣品失效，由文獻(xiàn)[15]知Xi為服從參數(shù)為nitiλ的泊松分布的隨機(jī)變量，于是有

(2)

其中ri=0,1,2,…,ni,i=1,2,…,m

從而得到參數(shù)λ的似然函數(shù)：

(3)

L(0|λ)=exp(-Nλ)

(4)

即為基于無(wú)失效樣本數(shù)據(jù)時(shí)參數(shù)λ的似然函數(shù)。

2 失效率的Bayes估計(jì)

在這一部分，我們將在在復(fù)合LINEX對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下研究基于無(wú)失效數(shù)據(jù)的指數(shù)分布模型失效率的Bayes估計(jì)問(wèn)題。

復(fù)合LINEX對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)是基于LINEX損失函數(shù)

L(Δ)=ecΔ-cΔ-1,c≠0

(5)

復(fù)合LINEX對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[13]：

L(Δ)=Lc(Δ)+L-c(Δ)=ecΔ+e-cΔ-2

(6)

(7)

(8)

則在復(fù)合LINEX對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下，失效率λ的Bayes估計(jì)為：

(9)

證明 由公式(4)，(8)以及Bayes定理，失效率λ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為

(10)

從上式知，參數(shù)λ的后驗(yàn)分布仍然為伽瑪分布Γ(α,β+N)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為

(11)

于是，有

和

于是，根據(jù)公式(7)，失效率λ的Bayes估計(jì)為

在無(wú)失效數(shù)據(jù)情形，根據(jù)韓明[10]提出失效率的先驗(yàn)分布的構(gòu)造法——減函數(shù)法，應(yīng)選擇a與b使π(λ;a,b)為關(guān)于失效率的減函數(shù)。由于

(11)

則當(dāng)0

(12)

定理得證。

3 數(shù)值例及結(jié)論

表1 某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的無(wú)失效數(shù)據(jù)

表和的計(jì)算結(jié)果