二階Dirichlet邊值問題的非平凡解

陳 芬，謝紹龍，柏仕坤

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331;2.玉溪師范學(xué)院 商學(xué)院，云南 玉溪 653100)

1 問題提出

本文主要研究如下的二階Dirichlet邊值問題

(1.1)

其中非線性項f滿足條件：(H1)f∈C([0,1]×R,R),R=(-∞,+∞).

眾所周知，問題(1.1)及其相關(guān)問題來源于應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)物理的諸多領(lǐng)域，參見文獻(xiàn)[1]～[10]及其所附參考文獻(xiàn).在文獻(xiàn)[1]中，作者運用錐上的不動點定理研究二階Dirichlet邊值問題正解的存在性:

其中f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))滿足以下條件：

(A1)f0=0,f∞=∞

(A2)f0=∞,f∞=0,

(1.2)

其中

文獻(xiàn)[2]～[4]運用條件(A1)(A2)獲得了問題(1.1)的正解.文獻(xiàn)[5]則把這兩個條件分別改進(jìn)為

f0<λ1,f∞>λ1;f0>λ1,f∞<λ1,

其中λ1=π2是相應(yīng)線性算子的第一特征值，類似的結(jié)論可參見文獻(xiàn)[6].

然而我們注意到，上述文獻(xiàn)考慮的模型的非線性項大多數(shù)是非負(fù)連續(xù)的，且被稱做最優(yōu)條件的(A1)′～(A2)′僅僅做到了與第一特征值有關(guān)的結(jié)果.而本文所討論的非線性項可以變號，且與相關(guān)算子的所有特征值均相關(guān).從而本文的結(jié)論可以看作是上述文獻(xiàn)的推廣和改進(jìn).

2 主要結(jié)論

我們首先將問題(1.1)轉(zhuǎn)化為與其等價的積分方程，并給出相應(yīng)的Green函數(shù).根據(jù)求導(dǎo)規(guī)則可得

(2.1)

其中ci(i=1,2)是常數(shù).對(2.1)式兩邊關(guān)于t求兩次導(dǎo)數(shù)可得

從而(1.1)式中第一個方程滿足.將(1.1)式中的邊值條件代入(2.1)式,可計算出常數(shù)c1,c2:

代入(2.1)得

其中

(2.2)

此時分段函數(shù)G稱為問題(1.1)的Green函數(shù).為得到本文的主要結(jié)論，我們需考慮如下的特征值問題：

(2.3)

其中參數(shù)λ稱為問題(2.3)的特征值，而對應(yīng)的函數(shù)u稱為特征向量.可運用常微分方程的知識解出該特征值和特征向量.當(dāng)λ≤0時問題(2.3)僅有0解，所以僅需考慮λ>0的情況.此時(2.3)的解可表示為:

注意到問題(1.1)轉(zhuǎn)化的積分方程的表現(xiàn)形式，同理可得特征值問題(2.3)的積分方程：

再將計算出來的特征值和特征向量代入，我們有

(2.4)

為了證明本文的結(jié)論，我們給出以下的不動點定理：

以下是本文的主要結(jié)論及其證明.

(H3)f(t,0)不恒等于0,t∈[0,1]

定理2.2 若(H1)～(H3)滿足，則(1.1)至少有一個非平凡解.

以下首先證明1不是T的特征值.反證法，則存在u0∈E{0}是1對應(yīng)的特征向量，從而可得

(2.5)

情形1 若ω=0,則u0(t)≡0,t∈[0,1],與特征向量非平凡性的要求矛盾.

情形2ω≠0則由(2.5)可得

(2.6)

此時若ω>0,則(2.6)的解可表示為

若ω<0,則(2.6)的解可表示為

從而由邊界條件u0(t)=u0(1)=0可得

計算此方程可得c1=c2=0,從而(2.6)只有零解, 與特征向量非平凡性的要求矛盾.

以上兩個矛盾表明1不是T的特征值.

從而對任意的ε>0, 存在M>0使得

|f(t,u)-ωu|≤ε|u|,|u|≥M,t∈[0,1].

此時我們有

再由(H3)知0不是A的不動點,從而A至少有一個非平凡不動點，即(1.1)至少有一個非平凡解. 證畢.