基于矩陣值因子算法的企業(yè)年金投資組合建模與并行求解

杜首燕，陸忠華

1. 中國科學(xué)院計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心，北京 100190

2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

引 言

在人口老齡化的危機(jī)下，單一的、以政府為主導(dǎo)的社會養(yǎng)老金制度面臨著平衡難以持續(xù)、財政負(fù)擔(dān)不斷加重的問題，因此大力發(fā)展第二支柱企業(yè)年金是中國養(yǎng)老金養(yǎng)老保險體系改革的必然方向，通過在市場中投資運(yùn)營，來促進(jìn)企業(yè)年金的保值和增值是緩解我國養(yǎng)老金缺口的最佳方法。

郭辰、施秋圓、郭夢云(2013)[1]限制貨幣市場工具、銀行定期存款、國家債券，企業(yè)債和股票的投資比率，并使用均值-CVaR 模型建立了公司年金的資產(chǎn)配置模型，以在特定工資替代率目標(biāo)下獲得最佳投資組合。胡秋明、景鵬(2014)[2]建立DCCGARCH-CVaR 模型刻畫資產(chǎn)間動態(tài)相關(guān)關(guān)系和度量投資組合風(fēng)險，構(gòu)建企業(yè)年金基金資產(chǎn)結(jié)構(gòu)動態(tài)調(diào)整模型。余睿(2015)[3]引入負(fù)債驅(qū)動型投資組合最優(yōu)化決策，運(yùn)用蒙塔卡洛模擬方法，通過死亡率-金融市場聯(lián)合模型對企業(yè)年金在未來年份的投資收益進(jìn)行測量，并在各置信水平下與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較。趙自強(qiáng)、魏新雅(2017)[4]運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，構(gòu)建并求解企業(yè)年金最優(yōu)資產(chǎn)配置比例的HJB 方程，得出企業(yè)年金最優(yōu)資產(chǎn)配置比例的解析解。李潔、彭燕、曹曉政(2017)[5]采用Markowitz 的均值方差模型，在現(xiàn)有企業(yè)年金投資約束下，對不同投資組合下主要投資工具的收益和風(fēng)險進(jìn)行了計量。方中書(2018)[6]通過分析企業(yè)年金相關(guān)的基金投資工具，選取相應(yīng)變量數(shù)據(jù)，運(yùn)用改進(jìn)后的均值-方差模型對不同預(yù)期收益率的投資組合進(jìn)行測算分析，將數(shù)理金融分析方法結(jié)合LINGO 軟件運(yùn)用于企業(yè)年金基金的投資組合管理與優(yōu)化。李燕敏(2018)[7]運(yùn)用綜合分析法，從定性和定量兩方面分析了我國養(yǎng)老金融發(fā)展概況和主要商業(yè)銀行提供的養(yǎng)老金融產(chǎn)品現(xiàn)狀。溫家琪(2019)[8]研究了含有違約風(fēng)險的繳費(fèi)確定型企業(yè)年金的投資策略問題，運(yùn)用Hamilton-Jacobi-Bellman方程進(jìn)行求解，并進(jìn)行數(shù)值分析，還改進(jìn)了將企業(yè)年金投資于多個可違約債券的組合。王超、楊德平(2019)[9]基于均值-方差模型作為主要理論基礎(chǔ)，使用Matlab 軟件中的GUI 工具開發(fā)投資組合優(yōu)化系統(tǒng)。Ben Mingbin Feng、Zhenni Tan、Jiayi Zheng(2020)[10]對大型可變年金投資組合進(jìn)行估值，確定了有效估值框架中的三個主要組成部分，提高了估值的準(zhǔn)確性并無需任何額外的計算資源。

基于以上文獻(xiàn)綜述，通過分析我國企業(yè)年金的投資策略可發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行單一資產(chǎn)的投資較多，但沒有從投資組合的協(xié)方差等各資產(chǎn)相關(guān)性角度制定的投資策略，這樣會導(dǎo)致更關(guān)注于投資的短期收益，不利于確定整體的風(fēng)險和收益目標(biāo)。此外，在將經(jīng)典的風(fēng)險投資模型Markowitz 均值-方差模型進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時，存在每個資產(chǎn)在總資產(chǎn)數(shù)量中的占比沒有上限的問題。再者，在實(shí)際應(yīng)用過程中，當(dāng)投資組合中資產(chǎn)數(shù)量過多時，協(xié)方差矩陣的大小變得太大，存在對基本輸入所要求的估計量非常大的問題，而且求解最優(yōu)化投資組合模型往往耗時過長，無法滿足實(shí)際交易的需求。如果上述計算層面上的問題得不到有效解決，將嚴(yán)重阻礙現(xiàn)代投資組合理論和數(shù)量化投資管理技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)程[11]，不利于我國資產(chǎn)管理市場的健康發(fā)展。

因此，本文關(guān)注安全性和收益性以及流通性三大企業(yè)年金投資原則，從協(xié)方差矩陣方面進(jìn)行企業(yè)年金的投資組合模型研究，改進(jìn)模型的約束條件來解決每個資產(chǎn)在總資產(chǎn)數(shù)量中的占比沒有上限的問題，應(yīng)用矩陣值因子算法來解決隨著資產(chǎn)數(shù)量增加，協(xié)方差矩陣過大的問題，基于CVXOPT 求解器、遺傳算法和粒子群算法進(jìn)行最優(yōu)值求解，并并行求解模型，在達(dá)到一定收益的條件下降低投資組合的風(fēng)險性。

1 基于矩陣值因子算法的均值-方差投資組合優(yōu)化模型構(gòu)建

1.1 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型

1.1.1 帶投資約束條件的均值-方差優(yōu)化模型

資產(chǎn)組合優(yōu)化是研究如何在各種復(fù)雜的市場環(huán)境中有效地配置資產(chǎn)，從而最大程度地對投資風(fēng)險進(jìn)行分散并最大化投資收益率。在證券市場上，投資管理機(jī)構(gòu)和投資者基于各種考慮，通常對資產(chǎn)配置有初步要求，而相應(yīng)的投資組合也必須滿足市場和投資者的要求。對企業(yè)年金而言，在人社部制定的《關(guān)于擴(kuò)大企業(yè)年金基金投資范圍的通知》中指出，企業(yè)年金投資股票、股票基金、混合基金、投資連結(jié)保險產(chǎn)品、股票型養(yǎng)老金產(chǎn)品的比例，合計不得高于投資資產(chǎn)凈值的30%。因此，研究帶數(shù)量約束的風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合可以滿足企業(yè)年金和市場實(shí)際操作的需要[12]。

因此，構(gòu)建帶上界約束條件的均值-方差投資組合優(yōu)化模型，且不允許賣空，參數(shù)如表1 所示：

表1 均值-方差投資組合優(yōu)化模型參數(shù)Table 1 Mean-variance portfolio optimization model parameters

1.1.2 已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣

本文采用宋鵬(2017)[13]提出的方法進(jìn)行已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的構(gòu)造，當(dāng)投資組合中有兩種風(fēng)險資產(chǎn)時，在第天風(fēng)險資產(chǎn)的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的構(gòu)建公式如下：

已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣用來描述風(fēng)險資產(chǎn)間的相關(guān)性關(guān)系，清洗后的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣用來進(jìn)行矩陣值因子分析，目的是為了解決在數(shù)據(jù)容量越來越大時，維度越來越高時傳統(tǒng)計算對高維協(xié)方差矩陣的計算不便，待估參數(shù)過多，累積誤差大的問題。

1.1.3 可預(yù)測矩陣值因子模型

矩陣值因子算法一方面通過對構(gòu)建的高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行矩陣值因子分析，探究協(xié)方差元素之間的相關(guān)性聯(lián)系，另一方面，該算法采用基于Cholesky 分解和向量自回歸（VAR）方法對可預(yù)測矩陣值因子模型進(jìn)行降維建模和下一投資區(qū)間的協(xié)方差矩陣預(yù)測。

矩陣值因子算法過程闡述如下[13]：

應(yīng)用Cholesky 分解方法，得到：

1.2 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的遺傳算法求解

基于矩陣值因子的均值-方差投資組合優(yōu)化問題是非線性優(yōu)化問題。盡管在Markowitz 的投資組合理論中，提供了一種通過求解拉格朗日函數(shù)，將其轉(zhuǎn)換為最小方差點(diǎn)的方法來得到模型最優(yōu)解的確定性方法，但在實(shí)際應(yīng)用中，隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增大，計算量和參數(shù)估計量都會變得特別大，會出現(xiàn)無法求解的情況[14]。而遺傳算法擅長解決非線性優(yōu)化問題，通過在迭代過程中不斷增加新個體，選擇合適的算子以及遺傳操作，再執(zhí)行遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)搜索。因此，本文使用遺傳算法來求解該投資組合優(yōu)化問題。

本文用于求解投資組合優(yōu)化模型的遺傳算法求解步驟如下：

步驟一：采用二進(jìn)制編碼機(jī)制對個體進(jìn)行編碼，用隨機(jī)生成的染色體數(shù)目來進(jìn)行種群初始化。在投資組合優(yōu)化問題方面，每個染色體代表投資組合單個風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)重，并被優(yōu)化來得到最終解。

選擇操作采用二元錦標(biāo)賽選擇法，該方法的操作步驟如下：

（1）每次選擇的個體數(shù)量為兩個。

（2）從個體中隨機(jī)選擇兩個個體，其中每個個體被選中的概率都是相同的，然后根據(jù)每個個體的適應(yīng)度值，選擇適應(yīng)度值最高的個體進(jìn)入下一代種群。

（3）重復(fù)進(jìn)行步驟2，直到達(dá)到設(shè)定的種群大小，種群的規(guī)模沒有變化。

步驟二：夏普比率作為評估函數(shù)，用于評估每個染色體的適應(yīng)度，種群中每個個體的適應(yīng)度可以用來判斷是否滿足算法的收斂性。夏普比率是期望收益率與風(fēng)險的比值，用于計算投資組合中每個風(fēng)險單位帶來的超額收益，數(shù)值越大代表該投資組合能獲得的收益率越高。因此，如果滿足算法收斂準(zhǔn)則，則輸出最優(yōu)個體和由其表示的最優(yōu)解，否則執(zhí)行步驟三。

夏普比率方程：

步驟三：根據(jù)適應(yīng)度選擇進(jìn)入下一代種群的個體，適應(yīng)度高的個體有更高的概率進(jìn)入下一代種群，相應(yīng)的，適應(yīng)度過低的個體會被淘汰。

步驟四：交叉操作是指替換并重組兩個父代個體的結(jié)構(gòu)的一部分以生成新個體的操作。交叉操作可以在種群中生成新個體，從而提高了遺傳算法的搜索效率。

本文中的交叉操作使用均勻交叉（也稱為一致交叉）來生成新個體，這意味著兩個成對個體的每個基因座處的基因都以相同的交叉概率進(jìn)行交換，并形成了兩個新個體。

步驟五：只采用交叉算子會導(dǎo)致收斂到局部最優(yōu)的情況，這是求解投資組合過程中所不希望發(fā)生的。因此需要和變異算子相結(jié)合，共同產(chǎn)生新個體。其中，變異是指以一定概率對個體執(zhí)行變異操作，并以較小概率隨機(jī)改變向量的值。變異的好處是能產(chǎn)生上一代種群沒有的但是有用的基因結(jié)構(gòu)，增大求得全局最優(yōu)解的可能性。

本文中的變異操作使用均勻變異，替換個體編碼字符串中每個基因組上的基因值，以一定的變異概率來生成新個體，這可以提高種群中個體的多樣性，并使算法能夠處理更多的模式；

步驟六：根據(jù)遺傳的基本操作（交叉操作和變異操作）產(chǎn)生下一代種群，按照給定的迭代次數(shù)進(jìn)行種群的迭代更新，返回步驟二。

1.3 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的粒子群算法求解

粒子群算法是一種典型的群體智能優(yōu)化算法，1995年，R.C.Eberhart 和J.Kennedy 首先 提 出 了 模擬自然界生物和群體智能的粒子群算法。該算法首先隨機(jī)初始化粒子，然后通過重復(fù)迭代找到最佳解。在每次迭代中，粒子通過確定個體極值和全局最優(yōu)值來更新速度和位置。相比遺傳算法，粒子群算法不具有遺傳算法的交叉變異操作，且參數(shù)相對少，因此搜索效率明顯提高[15]，在科研和工程應(yīng)用中得到了廣泛的研究。

本文用于求解投資組合優(yōu)化模型的粒子群算法求解步驟如下：

步驟一：設(shè)置粒子群規(guī)模，假設(shè)種群中有個粒子，設(shè)置粒子群中粒子的速度區(qū)間，粒子的速度和位置在整個搜索空間中進(jìn)行初始化，粒子的位置信息在整個搜索空間中表示。

步驟二：同遺傳算法，夏普比率作為評估函數(shù)，用于評估每個染色體的適應(yīng)度。

步驟三：確定每個粒子的個體極值，即每個粒子找到的歷史上最優(yōu)的位置信息，將新位置與個體極值比較，如果新位置優(yōu)于個體極值，則個體極值更新為新位置的值，否則保持個體極值不變。

步驟四：確定粒子的全局最優(yōu)值，即從所有個體的個體極值中找到一個全局最優(yōu)值，并與歷史最優(yōu)值相比較，最佳的值作為粒子的全局最優(yōu)值。

步驟五：更新粒子的速度，計算公式為：

步驟六：更新粒子的位置，計算公式為：

步驟七：重復(fù)給定的迭代次數(shù)，將粒子群收斂到全局最優(yōu)值。

1.4 均值-方差優(yōu)化模型的矩陣值因子算法和遺傳算法并行化

1.4.1 算法思想

在實(shí)際的投資組合的應(yīng)用中，企業(yè)年金被期望能夠在確保安全性的同時實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值，從而充分發(fā)揮養(yǎng)老金保障養(yǎng)老的作用，因此配置多種資產(chǎn)用來分散風(fēng)險是基本操作。當(dāng)投資組合的資產(chǎn)規(guī)模過多時，傳統(tǒng)的求解算法會存在耗時時間長，且不能快速有效收斂到最優(yōu)解的問題，因此，進(jìn)行投資組合模型的并行化研究是相當(dāng)必要的[16]。

在單線程時，算法收斂到最優(yōu)解的速度與空間遍歷的速度一致。在多線程的情況下，每單位時間處理的數(shù)據(jù)量隨線程數(shù)線性增加。對于金融領(lǐng)域的較為復(fù)雜的求解問題，在僅僅追求較優(yōu)解而不是強(qiáng)求最優(yōu)解的前提下，進(jìn)行并行計算可以減少搜索時間[17]，提高求解的質(zhì)量，更好地滿足實(shí)際應(yīng)用需 求[18]。因此，為了衡量該矩陣值因子算法構(gòu)建的投資組合優(yōu)化模型通過并行計算可獲得的性能改進(jìn)，本文在高性能計算環(huán)境中進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，其中遺傳算法的迭代次數(shù)為30 次，其他參數(shù)同上文所述。

圖1 表示基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的并行求解流程圖，首先對風(fēng)險資產(chǎn)價格數(shù)據(jù)計算對數(shù)收益率，表示風(fēng)險資產(chǎn)的收益情況，然后基于對數(shù)收益率形式的時間序列數(shù)據(jù)構(gòu)建高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，在多個處理器上同時進(jìn)行矩陣值因子算法，得到建模和預(yù)測的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，作為帶投資約束的均值-方差投資組合優(yōu)化模型的協(xié)方差矩陣，也就是風(fēng)險度量。接下來結(jié)合傳統(tǒng)均值-方差模型的思想，加入投資約束條件構(gòu)建基于矩陣值因子算法的均值-方差投資組合優(yōu)化模型，并進(jìn)行最優(yōu)值求解，遺傳算法的求解在不同處理器上分別進(jìn)行。

圖1 基于矩陣值因子算法的均值-方差投資組合優(yōu)化模型并行求解流程Fig.1 Parallel solution process of mean-variance portfolio optimization model based on matrix-valued factor algorithm

1.4.2 算法過程

本文主要對投資組合優(yōu)化模型中兩部分進(jìn)行并行優(yōu)化，第一部分是應(yīng)用矩陣值因子算法建模和預(yù)測協(xié)方差矩陣的部分進(jìn)行并行化。在基于矩陣值因子算法的投資組合模型中，對矩陣值方法的并行計算可以縮短構(gòu)建因子矩陣的時間，提高對資產(chǎn)間的相關(guān)性進(jìn)行分析預(yù)測的效率。思想是將已清洗后的數(shù)據(jù)分別構(gòu)建資產(chǎn)間的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，將預(yù)測周期的天數(shù)均勻分配到處理器上，多余的預(yù)測周期的天數(shù)計算劃分到最后一個處理器上，每個處理器都進(jìn)行高維協(xié)方差矩陣的降維和預(yù)測操作，最終合并得到總周期天數(shù)的預(yù)測矩陣。

第二部分是在應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行最優(yōu)值求解的部分進(jìn)行并行化。并行化遺傳算法求解在投資組合中的應(yīng)用可以加快計算速度，通過同時使用多個線程運(yùn)行，可以提高最優(yōu)解的準(zhǔn)確性并加快求得全局最優(yōu)解的速度。此外，遺傳算法隨機(jī)搜索最優(yōu)解，具有隱式并行性，適合并行計算。思想是將每一代中的初始種群進(jìn)行劃分，分別在獨(dú)立的處理器中進(jìn)行遺傳算法的基本操作，每個個體都進(jìn)行遺傳優(yōu)化，經(jīng)過一系列遺傳操作后，將每個小種群中的最優(yōu)個體選擇出來再繼續(xù)進(jìn)行遺傳操作，最后得到搜索空間中的全局最優(yōu)個體[14]。

其中，并行遺傳算法的計算流程如下：

（1）種群初始化

本文采用二進(jìn)制編碼方式，個體的基因型是由二進(jìn)制編碼字符串來表示，取值由0 和1 組成。定義種群的初始規(guī)模為，表示種群中有個個體，對每個個體進(jìn)行隨機(jī)初始化，同時對每個個體的權(quán)重增加約束條件，對個體的權(quán)重進(jìn)行歸一化處理，使得權(quán)重和為1，由公式確定。

（2）計算適應(yīng)度

適應(yīng)度函數(shù)選擇夏普比率來衡量投資組合的效用，夏普比率越大，表示資產(chǎn)單位風(fēng)險能獲得的收益越高，個體的適應(yīng)度越大，遺傳概率越大。

（3）并行種群分組

將種群分到多個處理器中進(jìn)行計算，每個處理器中是一個子群，劃分為個子群，根據(jù)種群數(shù)與處理器數(shù)的關(guān)系決定拆分的子種群包含的個體數(shù)。如果種群規(guī)模小于處理器數(shù)，則每個處理器中子群規(guī)模為1，并分配到種群規(guī)模的處理器上進(jìn)行并行計算；如果種群規(guī)?？梢哉幚砥鲾?shù)，則種群均勻分配到每個處理器上，子群大小相同；如果種群規(guī)模不能整除處理器數(shù)，則將能整除大小的種群數(shù)分別均勻分配到每個處理器上，然后將多余的種群數(shù)分別加到從開始的處理器上。

（4）遺傳操作

在種群規(guī)模內(nèi)，對每個種群中的個體分別進(jìn)行遺傳算法基本操作，選擇操作采用二元錦標(biāo)賽選擇法，即隨機(jī)選擇兩個父個體生成一個新個體。交叉操作采用均勻交叉操作生成新個體，擴(kuò)大解空間的范圍。變異操作采用均勻變異方法，將個體編碼字符串中的原始基因值替換為符合特定范圍的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，并設(shè)置交叉和變異概率，完成一次遺傳算法。

（5）并行種群合并

將每個子種群的個體合并到一起，從中選擇出適應(yīng)度最高的個體，至此完成一次并行化遺傳算法計算。

（6）種群迭代

將迭代得到的最高適應(yīng)度的個體代入投資組合模型進(jìn)行投資組合收益率、風(fēng)險、夏普比率和最優(yōu)資產(chǎn)配置的求解，得到該次迭代的最優(yōu)解，并把得到的種群作為下一代種群的初始種群，重復(fù)迭代直到達(dá)到要求的迭代次數(shù)。圖2 是并行遺傳算法的求解流程圖。

圖2 并行遺傳算法求解流程Fig.2 Parallel genetic algorithm solution process

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計與結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)置

為了衡量投資組合模型并行優(yōu)化后獲得的性能提升，本文在新一代超級計算機(jī)“元”的高性能計算環(huán)境進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并從并行計算性能方面對數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行合理分析。并行環(huán)境參數(shù)如下表2所示。

表2 環(huán)境參數(shù)Table 2 Environmental parameters

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

本文基于風(fēng)險資產(chǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行企業(yè)年金投資組合的研究，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集是選取的2013年9月11日至2016年8月31日的深交所16 種行業(yè)指數(shù)的高頻數(shù)據(jù)，共726 個交易日，16 個行業(yè)分別為采礦行業(yè)、建筑行業(yè)、制造行業(yè)、餐飲行業(yè)、批零行業(yè)、文化行業(yè)、科研行業(yè)、農(nóng)林行業(yè)、運(yùn)輸行業(yè)、IT 行業(yè)、地產(chǎn)行業(yè)、金融行業(yè)、商務(wù)行業(yè)、水電行業(yè)、公共行業(yè)、綜企行業(yè)。采用Callot 和Kock(2017)[19]的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗，操作方法為，在每個以交易日為單位構(gòu)造的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣中，如果某一天中的某元素的值超過了該天均值的正負(fù)三倍標(biāo)準(zhǔn)差，則標(biāo)記該元素的位置和發(fā)生日期。如果一個矩陣中被標(biāo)記的元素超過25%，則該天的協(xié)方差矩陣被認(rèn)為是異常，通過計算共去掉了18 個協(xié)方差矩陣，其中每日的時間序列以資產(chǎn)的對數(shù)收益率表示，最終得到708天的協(xié)方差矩陣可用于矩陣值因子分析。

2.3 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的實(shí)驗(yàn)設(shè)計

將清洗后的高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣劃分為建模和預(yù)測兩部分，設(shè)為600 天的建模窗口長度，108 天的預(yù)測窗口長度，將可預(yù)測矩陣值因子模型用于降維和預(yù)測高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，矩陣值因子模型中的Cholesky 分解方法實(shí)現(xiàn)高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的降維和待估參數(shù)的縮減，矩陣值因子模型的向量自回歸方法實(shí)現(xiàn)預(yù)測窗口長度108 天的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，作為基于企業(yè)年金的投資組合模型的資產(chǎn)間相關(guān)性聯(lián)系和風(fēng)險度量。其中，收益率定義為對數(shù)收益率。建立具有投資約束的均值方差優(yōu)化模型。目標(biāo)函數(shù)是在預(yù)期收益的條件下使投資組合的總方差最小化，從而確保企業(yè)年金投資的安全性和收益性。為了能有效求解該二次規(guī)劃模型，嘗試CVXOPT 求解器、遺傳算法和粒子群算法三種求解方法。

2.4 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的最優(yōu)值求解的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.4.1 CVXOPT 求解器求解均值-方差優(yōu)化模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在求解投資組合時，當(dāng)投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)為線性，可以通過做圖求解線性規(guī)劃，但是當(dāng)目標(biāo)函數(shù)包含二次項(xiàng)時，則需要使用特定的求解方法。本文所構(gòu)建的基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化問題可歸類為二次規(guī)劃問題，因此可通過Python中CVXOPT 求解器進(jìn)行最優(yōu)值求解。該求解器用于求解二次規(guī)劃問題，首先將目標(biāo)函數(shù)和限制條件都轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)分別用矩陣形式表示，然后調(diào)用CVXOPT 求解器中的優(yōu)化函數(shù)solvers.qp 進(jìn)行求解，因此求得該目標(biāo)函數(shù)在滿足設(shè)定限制條件下的最優(yōu)資產(chǎn)配置的權(quán)重值。該投資組合優(yōu)化模型可采用表3 表示當(dāng)期望收益率取值為0.006，0.01，0.014 時，在取前200 天日度收益率的均值作為收益期望的條件下，基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型采用CVXOPT 求解器，求解得到的最好方差、均值方差、運(yùn)行時間和收益率。

表3 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的CVXOPT求解Table 3 CVXOPT solution of the mean-variance optimization model based on matrix-valued factor algorithm

2.4.2 遺傳算法求解均值-方差優(yōu)化模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對于遺傳算法，種群規(guī)模初始化為50 個個體，即50 種不同權(quán)重的組合。編碼過程對每條染色體的權(quán)重進(jìn)行隨機(jī)初始化。收益期望是前200 天日度收益率的均值，不包含無風(fēng)險利率。

然后對種群進(jìn)行選擇操作，使用夏普比率作為適應(yīng)度函數(shù)來計算每個染色體的適應(yīng)度值，并根據(jù)每個染色體適應(yīng)度的大小確定進(jìn)入下一代種群的染色體。 投資組合的收益增加，風(fēng)險越低，則夏普比率越高，適應(yīng)度越大，適應(yīng)度越高的子代進(jìn)入下一代種群的概率越大。

同時對適應(yīng)度函數(shù)加了靜態(tài)懲罰約束，原理是當(dāng)投資組合的收益率低于預(yù)期收益率時，通過將懲罰項(xiàng)集成到適應(yīng)度函數(shù)中，可以降低違反約束的個體的適應(yīng)度，本文中懲罰系數(shù)為常數(shù)，不會隨著算法迭代變化，本文中的懲罰函數(shù)構(gòu)造為：

然后執(zhí)行種群的交叉和變異操作。其中，交叉概率設(shè)置為0.85，變異概率設(shè)置為0.025，生成的新一代種群作為初始值進(jìn)入下一個迭代過程，迭代次數(shù)為200 次，直到滿足終止條件為止。表4 是對優(yōu)化模型的遺傳算法求解的結(jié)果。

表4 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的遺傳算法求解Table 4 Genetic algorithm for solving the mean-variance optimization model based on matrix-valued factor algorithm

投資組合模型另一個評價指標(biāo)為夏普比率，即在一定時間區(qū)間內(nèi)，投資組合相對于無風(fēng)險利率的收益情況，并根據(jù)假定的風(fēng)險來衡量金融資產(chǎn)的績效，包括非系統(tǒng)性風(fēng)險和系統(tǒng)性風(fēng)險。圖3 是當(dāng)期望收益率取值為0.01 時，在預(yù)測周期108 天中，基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的CVXOPT 求解方法和遺傳算法求解方法的夏普比率，可看出基于遺產(chǎn)算法求解的模型的夏普比率更平穩(wěn)，具有更穩(wěn)定的收益情況。

圖3 遺傳算法和CVXOPT 求解模型在108 天周期中的夏普比率Fig.3 Sharpe ratio of genetic algorithm and CVXOPT solving model in 108 days

2.4.3 粒子群算法求解均值-方差優(yōu)化模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對于粒子群算法，設(shè)置粒子群規(guī)模為600，即種群中有600 個粒子，在粒子群的整個搜索空間中隨機(jī)初始化粒子的速度和位置。同遺傳算法，將夏普比率作為投資組合績效的評估函數(shù)，采用相同的懲罰函數(shù)。采用公式2.9 和公式2.10 更新粒子的速度和位置，并根據(jù)夏普比率確定每個粒子的個體極值，如果新位置的夏普比率高于個體極值，則個體極值更新為新位置的值，否則保持個體極值不變。再確定粒子的全局最優(yōu)值，如果所有粒子中的最大夏普比率高于歷史最優(yōu)值，則全局最優(yōu)值更新為新位置的值，否則保持全局最優(yōu)值不變。因此得到全局最優(yōu)值的個體，計算投資組合模型的收益率和風(fēng)險，重復(fù)迭代，將粒子群收斂到全局最優(yōu)值，設(shè)置迭代次數(shù)為4，滿足迭代次數(shù)后退出算法。表5 表示基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型在不同期望收益率情況下的粒子群算法求解得到的最好方差、均值方差和均值收益率。

表5 基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的粒子群算法求解Table 5 Particle swarm optimization for solving the meanvariance optimization model based on matrix-valued factor algorithm

2.4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比分析

通過對比基于矩陣值因子算法的均值-方差優(yōu)化模型的CVXOPT 求解器、遺傳算法求解和粒子群算法求解的三模型結(jié)果，如表6、7、8 所示，在達(dá)到相同期望收益率時，基于遺傳算法的投資組合模型具有更小的最好方差和均值方差，方差是用來度量投資組合的風(fēng)險，因此也代表該組合的波動率更低，在達(dá)到相同收益率的情況下，采用遺傳算法構(gòu)建的投資組合模型的風(fēng)險更小，符合企業(yè)年金的安全性原則。在均值收益率方面可以看出，遺傳算法和CVXOPT 求解器兩種模型所得的均值收益率在不同期望收益率下均高于粒子群算法。因此，綜合最好方差、均值方差和均值收益率三個指標(biāo)，本文選用遺傳算法求解企業(yè)年金的均值-方差優(yōu)化模型，并對該模型進(jìn)行并行計算，以解決在實(shí)際應(yīng)用中資產(chǎn)數(shù)量過多時，資產(chǎn)規(guī)模過大導(dǎo)致模型無法在有效時間內(nèi)求得最優(yōu)解且解質(zhì)量不高的問題，更快的找到全局最優(yōu)解。

表6 最好方差Table 6 Best variance

表7 均值方差Table 7 Mean variance

表8 均值收益率Table 8 Mean return

2.5 均值-方差優(yōu)化模型的矩陣值因子算法和遺傳算法并行化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

（1）運(yùn)行時間

本文統(tǒng)計了取期望收益率為0.01 時，在處理器核數(shù)分別為1、2、4、6 和8 核的情況下，并行算法在不同處理器核上的運(yùn)行時間。其中，運(yùn)行時間是取值程序的并行算法部分，從開始到最后一個進(jìn)程結(jié)束所需要的時間，如圖4 所示。

圖4 不同處理器核數(shù)上的運(yùn)行時間Fig.4 Running time on different processor cores

可以看出，隨著并發(fā)線程的數(shù)目的增多，算法的運(yùn)行時間越短，并行加速效果明顯，優(yōu)化的模型可以有效縮短求解時間。

（2）加速比

加速比定義了性能優(yōu)化的效果，取值為最佳串行算法所需的運(yùn)行時間與多個并行處理器所需的運(yùn)行時間之比。如圖5 所示，當(dāng)模型使用2、4、6、8個線程并發(fā)計算時，運(yùn)行時間是基準(zhǔn)模型的1.6422、2.0759、2.4474 和2.6099 倍，表明該模型并行計算后效率顯著提升。

圖5 不同處理器核數(shù)上的加速比Fig.5 Speedup ratio on different processor cores

3 結(jié)論與展望

目前沒有從投資組合的協(xié)方差等各資產(chǎn)相關(guān)性角度制定的企業(yè)年金的投資策略，因此遵循企業(yè)年金的安全性、收益性和流通性的原則，本文從協(xié)方差矩陣方面進(jìn)行企業(yè)年金的投資組合模型研究。為了適應(yīng)企業(yè)年金的實(shí)際操作需要，本文對傳統(tǒng)均值-方差模型進(jìn)行改進(jìn)，使用Python 語言實(shí)現(xiàn)了基于矩陣值因子算法的帶投資約束條件的均值-方差優(yōu)化模型，可以對原始高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行矩陣值因子分析，探究協(xié)方差元素之間的相關(guān)性聯(lián)系。同時，該模型基于Cholesky 分解和向量自回歸的方法，有效的建模和預(yù)測了矩陣值因子模型，緩解了在資產(chǎn)數(shù)量過多的情況下，高維協(xié)方差矩陣的運(yùn)算量大不易求解的問題，并可基于時間序列數(shù)據(jù)中資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣來預(yù)測未來的風(fēng)險度量以及資產(chǎn)相關(guān)性的變化情況。此外，該投資組合優(yōu)化模型歸類為二次規(guī)劃問題，為了能有效求解該二次規(guī)劃模型，本文實(shí)現(xiàn)了基于CVXOPT 求解器、遺傳算法和粒子群算法三種求解方法，并將三種求解方法的結(jié)果進(jìn)行對比，分別衡量在不同預(yù)期收益率條件下資產(chǎn)配置的模型性能，結(jié)果表明在達(dá)到相同期望收益率時，基于遺傳算法的投資組合模型具有更小的風(fēng)險，因此本文選用遺傳算法求解企業(yè)年金的均值-方差優(yōu)化模型，并對該模型進(jìn)行并行計算，以解決在實(shí)際應(yīng)用中資產(chǎn)數(shù)量過多時，資產(chǎn)規(guī)模過大導(dǎo)致模型無法在有效時間內(nèi)求得最優(yōu)解且解質(zhì)量不高的問題。結(jié)果表明，通過并行計算該模型的計算效率顯著提升，可有效縮短模型運(yùn)行時間。

雖然本文實(shí)現(xiàn)了面向企業(yè)年金的基于矩陣值因子算法的均值方差優(yōu)化模型，但仍存在一些不足，需要進(jìn)一步的研究和改進(jìn)，比如Markowitz 均值方差模型要求輸入資產(chǎn)間的方差、期望收益率和相關(guān)系數(shù)，一旦數(shù)據(jù)存在誤差會產(chǎn)生解的不可靠性，資產(chǎn)權(quán)重會因?yàn)檩斎霐?shù)據(jù)的很小改變而產(chǎn)生很大的變化，從而影響解的質(zhì)量。此外，可以對年金計劃職工的風(fēng)險承受能力進(jìn)行區(qū)分，因?yàn)槠髽I(yè)在選擇企業(yè)年金的投資組合時，通常統(tǒng)一將所有資金投資于某一種或幾種投資組合，而并沒有考慮職工的風(fēng)險承受能力的差別，這樣也降低了投資組合的收益率。

利益沖突聲明

所有作者聲明不存在利益沖突關(guān)系。