坐標(biāo)平面上的二重積分的數(shù)值算法

何洪英，張世

(西華師范大學(xué)，四川南充 637000)

積分算式?jīng)Q定于積分區(qū)域，幾個(gè)世紀(jì)以來，由于沒有重積分的數(shù)值算法，文獻(xiàn)和教材中二重積分的積分區(qū)域都相當(dāng)簡單，用極坐標(biāo)表示的積分區(qū)域常常只限于圓，所以本文作了較為詳細(xì)的介紹.

1 坐標(biāo)平面上的二重積分算式和通用數(shù)值計(jì)算公式

坐標(biāo)平面分為xOy平面，yOz平面，zOx平面和rOθ平面，這里只介紹xOy平面和rOθ平面，且只介紹xOy平面和rOθ平面上的積分并將其簡稱為二重積分.

xOy平面和rOθ平面上的二重積分的一般算式為：

(1)

(2)

(3)

二重積分與積分變量名無關(guān)，所以只須考慮式(1)和式(3).

能找到理論解的定積分不多.能找到理論解的二重積分更少，而且沒有通用算法，無法用計(jì)算機(jī)計(jì)算.

定理1當(dāng)h1=(x2-x1)/n1→0，h2=(g2(x)-g1(x))/n2→0時(shí)，

(4)

證明：二重積分理論解的確定過程為，先將外層積分變量視作常量對內(nèi)層積分積分，將結(jié)果作為新的被積函數(shù)對外層積分變量積分.

式中當(dāng)k2為偶數(shù)時(shí)v=2，為奇數(shù)時(shí)v=1.

若用復(fù)合牛頓積分公式積分，當(dāng)k1為奇數(shù)時(shí)v=1,為偶數(shù)時(shí)v=2.

證畢.

(5)

定理2 當(dāng)h1=(r2-r1)/n1→0，h2=(g2(r)-g1(r))/n2→0時(shí)，若用復(fù)合牛頓積分公式計(jì)算，則

(6)

式(4)與被積函數(shù)無關(guān)，令f*(x,y)=xf(x,y)，則有

若用復(fù)合高斯積分公式，則有

高斯積分公式中高斯點(diǎn)與所選正交多項(xiàng)式不同而不同，本文只用高斯——勒讓德積分，即只選勒讓德正交多項(xiàng)式.

欲行積分須先有算式，二重積分算式由被積函數(shù)和外層積分上、下限(外層積分變量所取最大值和最小值)及內(nèi)層積分的上、下限函數(shù)組成.式(1)和式(3)與被積函數(shù)無關(guān)，而且被積函數(shù)是用戶給定的，所以不必考慮，后者由積分區(qū)域決定.

積分區(qū)域分為可直接寫出積分算式的區(qū)域和須分割成若干子區(qū)域，各子區(qū)域均可寫出積分算式的區(qū)域兩類.

2 可直接寫出積分算式的積分區(qū)域及算例

這類區(qū)域共有八類.

(1) 積分邊界為用直角坐標(biāo)表示的有一邊平行于x軸或y軸的曲邊三角形.

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-145.209 293500500-145.044 3161 0001 000-145.041 806

(2) 積分區(qū)域?yàn)橐粚吰叫杏趚軸或y軸的四邊形.

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010082.544 27350050082.649 1991 0001 00082.652 512

(3) 積分區(qū)域?yàn)橐贿吺菆A弧，另兩邊是任意兩條用極坐標(biāo)表示的相交曲線(交點(diǎn)的r值不是區(qū)域的最大值，就是最小值)所圍成的曲邊三角形.

計(jì)算結(jié)果如下：輸入a=2.5

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001000.182 0495005000.182 0631 0001 0000.182 064

(4) 一對邊為同心圓弧，另一對邊是用極坐標(biāo)表示的曲線所圍成的曲邊四邊形.

計(jì)算結(jié)果如下：輸入a=2.5

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001000.950 2715005000.950 3101 0001 0000.950 311

(5) 積分區(qū)域?yàn)榍厓蛇呅?，兩交點(diǎn)的x坐標(biāo)或y坐標(biāo)分別是積分區(qū)域的最大值和最小值.

式中θ是方程a(θi+sinθi)-xi=0(i=0,1,…,n-1)的根.

顯然θ0=0，θn1=2π，積分計(jì)算中要計(jì)算n1-1個(gè)根，文中用牛頓法計(jì)算，由于θi>θi-1，計(jì)算θi時(shí)，初值取θi-1+ε，ε

計(jì)算結(jié)果如下：當(dāng)eps=0.000 001 eps1=0.000 1

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001001.517 4185005001.537 1901 0001 0001.539 658

這是一廣義積分，由于e1002已相當(dāng)接近0，所以實(shí)算時(shí)外層積分的上、下限分別取100和-100.

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.571 325500500-0.694 2541 0001 000-0.694 253

(6) 積分區(qū)域是用極坐標(biāo)表示的曲邊兩邊形，兩交點(diǎn)的r坐標(biāo)分別是積分區(qū)域的最大值和最小值.

計(jì)算結(jié)果如下：輸入a=2.5

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001003.158 7075005003.161 8051 0001 0003.162 002

(7) 積分區(qū)域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)表示的封閉曲線函數(shù).

計(jì)算結(jié)果如下：輸入x0=2，y0=3，a=5，b=4.

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010062.765 37050050062.825 9041 0001 00062.829 750

算例中的積分能得到理論值的很少，本例的理論值為abπ=62.83185，計(jì)算值與理論值可比較.

(8) 積分區(qū)域的邊界為用極坐標(biāo)表示的封閉曲線(函數(shù)).

計(jì)算結(jié)果如下：輸入a=2.5.

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100180.103 879500500179.996 8951 0001 000179.990 496

只有以上八類積分區(qū)域可直接寫出積分算式.

3 須分割的積分區(qū)域及算例

(1) 積分區(qū)域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)表示的曲邊多邊形.

將曲邊多邊形中某些邊分成多段，將一個(gè)區(qū)域變成多個(gè)子區(qū)域，總可以在每個(gè)子區(qū)域中選一邊的一個(gè)端點(diǎn)為核心點(diǎn)，將該子區(qū)域其它曲線的端點(diǎn)用直線相連，使其不和其它曲線相交，這樣每個(gè)子區(qū)域就變成若干個(gè)最多只有一條邊為曲線的三角形組成了.

當(dāng)這些三角形中有一條邊平行于x軸或y軸時(shí)，可直接寫出積分算式并用式(4)積分.否則必有xA>xB>xC或yA>yB>yC，過點(diǎn)B作平行于y軸的直線，可將之分割成公共邊為平行于y軸的兩個(gè)曲邊三角形.

對于最多只有一條直線邊，該直線邊既不平行x軸又不平行于y軸，則須將其分割成兩個(gè)公共邊平行于x軸或y軸的三角形或公共邊平行于x軸或y軸的一曲邊三角形和一曲邊兩邊形，同樣可寫出積分算式和積分.

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.190 071500500-0.191 6521 0001 000-0.191754

(2) 積分區(qū)域邊界是由n條用極坐標(biāo)表示的曲線連接成的封閉曲線.

分割方法為：選一曲線端點(diǎn)為坐標(biāo)極點(diǎn)并與其它n-2個(gè)端點(diǎn)相連，若能生成n-2個(gè)曲邊三角形.當(dāng)曲線是圓弧，則可直接寫出算式積分，否則須分割成兩塊或三塊積分.

本例用了三個(gè)算法：復(fù)合梯形積分公式，6階復(fù)合牛頓積分公式，5階復(fù)合高斯積分公式.三組計(jì)算結(jié)果如下：輸入a=2.5.

組別n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值一組100100-22.221 365500500-22.255 6131 0001 000-22.259 821二組6060-22.222 443120120-22.243 450300300-22.255 853三組5050-22.155 202100100-22.210 515500500-22.253 542

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001002.106 0435005002.109 6201 0001 0002.110 072

(3) 積分區(qū)域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)描述的曲邊兩邊形，但兩交點(diǎn)至少有一個(gè)的x坐標(biāo)不是區(qū)域的最大值或最小值.

計(jì)算結(jié)果如下：輸入a=2.5.

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10101.263 45820201.263 39550501.263 386

例14積分區(qū)域如圖14所示，被積函數(shù)為x2e-y2，積分算式為：

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010068.973 16850050069.432 8431 0001 00069.489 116

(4) 積分區(qū)域邊界為極坐標(biāo)表述的曲邊兩邊形，一交點(diǎn)不是區(qū)域中的最大值.

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.014 133500500-0.014 13410001000-0.014 134

4 第一型空間曲面積分

第一型空間曲面積分實(shí)際上是空間封閉曲面投影到坐標(biāo)平面上的積分，也屬于坐標(biāo)平面積分.

這里只介紹空間曲面f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))=0投影到xOy平面的積分.

計(jì)算結(jié)果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100554.772 736500500555.307 7821 0001 000555.341 774

5 結(jié)束語

文中只解決了坐標(biāo)平面上的二重積分的計(jì)算問題，原因是尚有柱面上和錐面上的積分，以及投影在高為dz的無數(shù)微圓柱面上的積分.

文中絕大多數(shù)算例都用復(fù)合梯形牛頓積分公式計(jì)算，原因是復(fù)合梯形牛頓積分公式簡單.只有一例作者增添了5階復(fù)合高斯積分公式和6階復(fù)合梯形牛頓積分公式計(jì)算，否則不能說給出了兩組通用數(shù)值計(jì)算公式.

特別指出復(fù)合高斯積分公式不僅可用于用極坐標(biāo)表示的定積分，還可用于極坐標(biāo)表示的各種二重積分和三重積分，原因是定積分和重積分與積分與變量名無關(guān).一旦給出了積分算式，各變量就失去了數(shù)學(xué)意義和物理意義，就都可按直角坐標(biāo)處理.