一類離散可積系統(tǒng)的孤子解

樊方成, 周 冉

(1. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 漳州 363000; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

考慮離散可積系統(tǒng):

(1)

Darboux變換法是求解非線性演化方程顯式精確解的一種有效工具[8-9], 目前已應(yīng)用于求解多種方程[10-13]. 如果選擇的初始解不同, 則利用Darboux變換得到的精確解也不同. 此外, 孤子解在等離子體物理、 凝聚態(tài)、 生物學(xué)、 非線性光學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[14-15]. 本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上, 通過選取新的初始解rn=1,sn=1, 利用Darboux變換給出方程(1)的精確解, 并選擇適當(dāng)?shù)膮?shù), 給出方程的孤子解, 再利用孤子解的圖像分析孤子解的結(jié)構(gòu)與傳播特點(diǎn).

1 預(yù)備知識(shí)

為利用Darboux變換研究方程(1)的孤子解, 下面先簡(jiǎn)單介紹方程(1)的Darboux變換, 其詳細(xì)過程可參見文獻(xiàn)[7]. 方程(1)的Lax對(duì)如下:

(2)

其中:E是移位算子, 定義為Ef(n,t)=f(n+1,t)=fn+1;φn=(φ1,n,φ2,n)T稱為特征函數(shù);rn,sn稱為勢(shì)函數(shù);λ是譜參數(shù)且λt=0. 為構(gòu)造Darboux變換, 選擇如下形式的Darboux矩陣:

(3)

其中

(4)

這里參數(shù)λi,γi(i=1,2)應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x取, 使得an,bn,cn,dn分母不為零. 基于上述事實(shí), 可證明

(5)

其中bn,cn,dn由式(3)給出,bn+1=Ebn,dn+1=Edn.

2 孤立子解

選取方程(1)新的初始解rn=1,sn=1, 可得式(2)的兩個(gè)基本解組:

其中:

根據(jù)式(2),(4)可得

再根據(jù)Darboux變換(5)可得方程(1)的精確解如下：

(6)

選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)λi,γi(i=1,2), 通過式(6)可得方程(1)的1-孤子解和2-孤子解, 其圖像分別如圖1和圖2所示.

圖1 當(dāng)λ1=1, λ2=0.5, γ1=2, γ2=3, α=1, β=-1時(shí), 方程(1)中和的1-孤子解圖像Fig.1 Soliton solution images of in equation (1) when λ1=1, λ2=0.5, γ1=2, γ2=3, α=1, β=-1

圖2 當(dāng)λ1=2, λ2=3.5, γ1=1, γ2=-1, α=0, β=-1時(shí), 方程(1)中和的孤子解圖像Fig.2 Soliton solution images of in equation (1) when λ1=2, λ2=3.5, γ1=1, γ2=-1, α=0, β=-1

圖1(A)為1-鐘型孤子解, 由圖1(B)可見, 該解在傳播過程中波形和振幅較穩(wěn)定; 圖1(C)為1-扭結(jié)型孤子解, 由圖1(D)可見, 該解在傳播過程中波形和振幅較穩(wěn)定. 圖2(A)為1-鐘型孤子解, 由圖2(B)可見, 該解的波形和振幅較穩(wěn)定; 圖2(C)為2-反鐘型孤子解, 由圖2(D)可見, 隨著時(shí)間的變化, 該解的波形和振幅較穩(wěn)定. 所以這兩個(gè)反鐘型孤子解之間是彈性作用.

選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)λi,γi(i=1,2), 通過式(6)可得方程(1)的周期解，其圖像分別如圖3和圖4所示. 由圖3和圖4可見, 在傳播過程中, 波形和振幅未發(fā)生改變, 該解較穩(wěn)定.

圖3 當(dāng)λ1=1, λ2=-1, γ1=1, γ2=4, α=1, β=-1時(shí), 方程(1)中和的周期解圖像Fig.3 Periodic solution images of in equation (1) when λ1=1, λ2=-1, γ1=1, γ2=4, α=1, β=-1

圖4 當(dāng)λ1=2, λ2=0.5, γ1=1, γ2=2, α=0, β=-1時(shí), 方程(1)中和的周期解圖像Fig.4 Periodic solution images of in equation (1) when λ1=2, λ2=0.5, γ1=1, γ2=2, α=0, β=-1

選擇合適的參數(shù)λi,γi(i=1,2), 通過式(6)可得方程(1)的孤波解, 其圖像分別如圖5和圖6所示. 圖5為2-孤波解, 由圖5(B),(D)可見, 兩個(gè)孤波在碰撞前后, 波形和振幅發(fā)生了明顯變化, 所以該碰撞是非彈性的. 圖6為具有周期性質(zhì)的孤波解. 由圖6可見, 在傳播過程中振幅發(fā)生了明顯變化.由圖2和圖5可見, 在系統(tǒng)(6)中, 同時(shí)存在彈性和非彈性碰撞.

圖5 當(dāng)λ1=i, λ2=-i, γ1=2, γ2=3, α=1, β=-1時(shí), 方程(1)中和的孤波解圖像Fig.5 Solitary wave solution images of in equation (1) when λ1=i, λ2=-i, γ1=2, γ2=3, α=1, β=-1

圖6 當(dāng)λ1=-1, λ2=1, γ1=2, γ2=3, α=1, β=-1時(shí), 方程(1)中和的孤波解圖像Fig.6 Solitary wave solution images of in equation (1) when λ1=-1, λ2=1, γ1=2, γ2=3, α=1, β=-1

綜上所述, 本文用Darboux變換方法得到了方程(1)的精確解, 通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù), 得到了方程(1)的1-鐘型孤子解、 1-扭結(jié)型孤子解、 2-反鐘型孤子解和周期解以及孤波解. 進(jìn)一步, 給出了這些解的圖像, 并通過圖像分析了這些孤子解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì). 結(jié)果表明, 在方程(1)中同時(shí)存在彈性與非彈性碰撞.