鏈路統(tǒng)計分析中導(dǎo)出參數(shù)概率計算方法研究

李贊，樊敏

北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094

隨著中國對月球和深空探測的不斷深入，測控距離顯著提高，信號衰減急劇增大，通信鏈路變得越發(fā)緊張，同時對鏈路性能的可靠性和數(shù)據(jù)量要求也越來越高。如何充分發(fā)揮現(xiàn)有測控設(shè)備能力，合理確定天地鏈路參數(shù)、準(zhǔn)確預(yù)報和確定天地鏈路性能，對提高系統(tǒng)可靠性、最大限度獲取各類探測數(shù)據(jù)、有效節(jié)省系統(tǒng)資源和項目經(jīng)費(fèi)都具有重要意義。

在中國以往航天任務(wù)的測控鏈路設(shè)計中，為了確保上下行測控的絕對可靠，鏈路預(yù)算通常較為保守，即鏈路參數(shù)的取值均采用最惡劣的情況計算。在實際任務(wù)中，各參數(shù)并非同時在最惡劣的狀態(tài)下工作，同時各鏈路參數(shù)都具有統(tǒng)計特性，服從一定的概率分布。因此，為了適應(yīng)更遠(yuǎn)深空探測的任務(wù)需求，有必要充分考慮鏈路參數(shù)統(tǒng)計特性和使用場景，在確保滿足使用需求的情況下，對鏈路性能進(jìn)行合理、有效評估。

20世紀(jì)70年代，Yuen建立了統(tǒng)計鏈路分析框架，用于美國噴氣推進(jìn)實驗室深空任務(wù)的鏈路分析和設(shè)計[1-3]。通過各鏈路參數(shù)服從的概率密度函數(shù)、以及其設(shè)計值、有利容差(最優(yōu)值與設(shè)計值的差)和不利容差(最差值與設(shè)計值的差),計算得到具有一定置信度的鏈路余量。

此后，美國噴氣推進(jìn)實驗室及其深空網(wǎng)在各航天任務(wù)中持續(xù)對鏈路參數(shù)進(jìn)行測量和分析，研究其統(tǒng)計特性，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)用于鏈路性能的預(yù)測和評估，逐步提高鏈路預(yù)測精度[3]。隨著測量值的不斷豐富和鏈路參數(shù)服從概率密度函數(shù)的逐步完善，CCSDS在其藍(lán)皮書中，明確給出了航天任務(wù)鏈路預(yù)算過程，同時給出了各鏈路參數(shù)服從的概率密度函數(shù)和鏈路性能計算方法[4-5]。

當(dāng)鏈路參數(shù)不滿足Lyapunov條件時，導(dǎo)出參數(shù)就無法利用高斯型概率密度函數(shù)進(jìn)行計算，從而無法完成鏈路性能的統(tǒng)計分析。另外，Babuscia等給出的導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)均為高斯型[6]，但CCSDS 401.0-B-29給出的導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)與Babuscia給出的不完全相同，如：CCSDS 401.0-B-29給出的有效全向輻射功率(effecitve isotropic radiated power，EIRP)、上行接收載波功率、上行接收數(shù)據(jù)余量等導(dǎo)出參數(shù)服從三角分布，但下行接收數(shù)據(jù)余量、測距余量等服從高斯分布[4]。

針對上述問題，本文首先研究了統(tǒng)計鏈路分析的理論方法，分析了CCSDS建議中各鏈路參數(shù)采用不同概率密度函數(shù)的主要原因，進(jìn)而給出了鏈路參數(shù)不滿足Lyapunov條件時進(jìn)行統(tǒng)計分析的基本方法，最后舉例說明并比較了兩種不同情況下導(dǎo)出參數(shù)的計算過程。

1 統(tǒng)計鏈路計算的理論分析

鏈路性能分析使用的基本公式[5]如下：

(1)

將式(1)以分貝形式表示，如下：

(2)

圖1 常用鏈路參數(shù)的概率密度函數(shù)及相關(guān)特征參數(shù)Fig.1 Probability density functions of common link parameters and related characteristic parameters

(3)

Lyapunov條件的物理意義是：獨(dú)立隨機(jī)變量序列xi(i=1,…,n)中的每個隨機(jī)變量均具有有限均值和方差，且不存在xi，其方差遠(yuǎn)大于其他xj的方差。因此，若鏈路計算中與導(dǎo)出參數(shù)相關(guān)的各參數(shù)滿足Lyapunov條件，則導(dǎo)出參數(shù)近似服從高斯分布。

當(dāng)參與計算導(dǎo)出參數(shù)的各鏈路參數(shù)的設(shè)計值、有利容差、不利容差已知，且滿足Lyapunov條件時，近似認(rèn)為導(dǎo)出參數(shù)服從高斯分布，直接對相關(guān)鏈路參數(shù)的均值、方差求和得到導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差。

當(dāng)某一鏈路參數(shù)的方差遠(yuǎn)大于其他參數(shù)的方差，即不滿足Lyapunov條件時，采用文中給出的通過計算尾概率的方法計算導(dǎo)出參數(shù)取值的概率，進(jìn)而得到導(dǎo)出參數(shù)取值的概率。

2 統(tǒng)計鏈路特性分析

2.1 標(biāo)準(zhǔn)建議的3種概率密度函數(shù)特性分析

(4)

分析式(4)可知，在通常情況下(有利容差和不利容差相差不大時)，鏈路參數(shù)的概率密度函數(shù)為三角型時方差最大，為高斯型時方差最小。利用統(tǒng)計法分析鏈路性能時，若將概率密度函數(shù)取為三角型，統(tǒng)計分析結(jié)果比高斯型保守或者說可靠性高。CCSDS 401.0-B-29建議上行鏈路導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)多采用三角型，下行鏈路余量多采用高斯型，也正是從上行鏈路的可靠性要高于下行鏈路考慮得到的[4]。

2.2 滿足Lyapunov條件導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)

實際鏈路計算過程中，可以通過以下兩種方法計算導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差：

1)分別將各鏈路參數(shù)的設(shè)計值、有利容差、不利容差相加得到導(dǎo)出參數(shù)的設(shè)計值、有利容差、不利容差，進(jìn)而通過高斯概率密度函數(shù)，計算得到導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差。

2)分別將各鏈路參數(shù)的均值和方差直接相加得到導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差。

由上文可知，當(dāng)各鏈路參數(shù)滿足Lyapunov條件時，導(dǎo)出參數(shù)近似服從高斯分布，導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差近似等于各鏈路參數(shù)均值和方差的和。因此，需要采用上述方法2計算得到導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差，當(dāng)采用方法1時，將會產(chǎn)生較大偏差，后續(xù)將通過實例說明。

2.3 不滿足Lyapunov條件時導(dǎo)出參數(shù)概率密度分析

利用高斯函數(shù)近似作為導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)能夠大大簡化計算過程，但當(dāng)某些鏈路參數(shù)的方差明顯較大，即不滿足Lyapunov條件時，就不能使用高斯函數(shù)進(jìn)行近似計算，必須借助其他手段進(jìn)行分析。

直接通過對各鏈路參數(shù)的概率密度函數(shù)求卷積來計算導(dǎo)出參數(shù)概率密度函數(shù)的過程極其復(fù)雜，工程應(yīng)用中難以實現(xiàn)。本文介紹了一種使用鞍點(diǎn)逼近估計尾函數(shù)的方法，近似確定導(dǎo)出參數(shù)的概率，進(jìn)而得到導(dǎo)出參數(shù)的方差[9]。以下重點(diǎn)針對該方法的理論計算和實際分析過程進(jìn)行說明。

定義導(dǎo)出參數(shù)概率密度函數(shù)fy(y)的特征函數(shù)為：

(5)

根據(jù)卷積函數(shù)特性，導(dǎo)出參數(shù)的特征函數(shù)為各鏈路參數(shù)特征函數(shù)的乘積，但該方法的難點(diǎn)在于通過導(dǎo)出參數(shù)的特征函數(shù)反解導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)。為此，本文利用Helstrom提出的鞍點(diǎn)逼近估計尾函數(shù)的方法確定導(dǎo)出參數(shù)的概率[6]，該方法對概率密度函數(shù)極其復(fù)雜但非常適用于其特征函數(shù)已知時，如對距離均值1倍以上方差(1σ)位置的概率估計，尤其適用于鏈路性能預(yù)算中對2σ或3σ余量的估算。利用該方法，能夠根據(jù)概率值(1σ為68.3%,2σ為95.5%，3σ為99.7%)直接得到導(dǎo)出參數(shù)滿足1σ、2σ或3σ的參數(shù)值。

尾概率函數(shù)q+(α)[7]定義為：

(6)

(7)

對Ψ(s)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并取二階項，則尾概率函數(shù)q+(α)可近似表示為：

(8)

式中：Ψ″為Ψ(s)的二階導(dǎo)數(shù)。

通過求解上述方程，可以得到不同α值(即導(dǎo)出參數(shù)值)對應(yīng)的尾概率。在實際計算過程中，通常根據(jù)各鏈路參數(shù)的特征函數(shù)計算導(dǎo)出參數(shù)的特征函數(shù)，根據(jù)α的定義域，采用數(shù)值方法解式(7)，得到不同α值對應(yīng)的s，進(jìn)而根據(jù)式(8)計算α定義域內(nèi)的尾概率q+(α)，得到導(dǎo)出參數(shù)與其概率的關(guān)系曲線。

常用概率密度函數(shù)的特征函數(shù)[8]如表1所示。

表1 常用概率密度函數(shù)的特征函數(shù)

3 算例分析

通過兩個算例描述鏈路參數(shù)滿足和不滿足Lyapunov條件時，導(dǎo)出參數(shù)的概率分步分別利用高斯分布和鞍點(diǎn)逼近估計尾函數(shù)的方法進(jìn)行計算的過程，并與真實導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)進(jìn)行比較，驗證上文理論分析的正確性。

3.1 滿足Lyapunov條件

假設(shè)4個鏈路參數(shù)為獨(dú)立的隨機(jī)變量xi(i=1,2,3,4)，其中x1和x2服從均勻分布，x3服從三角分布，x4服從高斯分布，各鏈路參數(shù)的概率密度函數(shù)和相關(guān)特征參數(shù)如表2所示。

表2 算例1鏈路參數(shù)的概率密度函數(shù)及相關(guān)特征參數(shù)

導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)fz(z)是通過對表2中各參數(shù)概率密度函數(shù)求卷積得到，進(jìn)而計算得到導(dǎo)出參數(shù)z均值和方差的真值，分別為：

通過表2可以看出，各鏈路參數(shù)不存在某一參數(shù)的方差遠(yuǎn)大于其他參數(shù)，滿足Lyapunov條件，導(dǎo)出參數(shù)近似服從高斯分布，其均值和方差可通過對各鏈路參數(shù)的均值和方差求和得到，即：

高斯分布的概率密度函數(shù)為：

-∞

當(dāng)導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差利用其設(shè)計值、最大值、最小值及服從的概率密度函數(shù)計算得到時，可得：

其概率密度函數(shù)為：

-∞

圖2 算例1近似高斯和精確概率密度函數(shù)比較Fig.2 Comparison between Gaussian approximate probability density function and accurate probability density functions of example 1

3.2 不滿足Lyapunov條件

根據(jù)表3，假設(shè)導(dǎo)出參數(shù)符合高斯分布，且其均值和方差為各鏈路參數(shù)均值和方差的和，可得導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差為：

其概率密度函數(shù)為：

-∞

當(dāng)利用導(dǎo)出參數(shù)的設(shè)計值、最大值和最小值計算得到其方差時，可以得到以下結(jié)果：

相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

-∞

用鞍點(diǎn)逼近計算尾概率密度函數(shù)的方法計算這種情況下的概率。

表3 算例2參數(shù)的概率密度函數(shù)及相關(guān)特征參數(shù)

圖3 算例2近似高斯和準(zhǔn)確概率密度函數(shù)比較Fig.3 Comparison between Gaussian approximate probability density function and accurate probability density functions in example 2

由表1和表3可得，導(dǎo)出參數(shù)概率密度函數(shù)的特征函數(shù)為：

(e7s-6e9/2s+5e4s)

由此可以得到函數(shù)Ψ(s)為：

求解Ψ(s)的一階導(dǎo)數(shù)Ψ′(s)和二階導(dǎo)數(shù)Ψ″(s)。

根據(jù)各鏈路參數(shù)的定義域可得導(dǎo)出參數(shù)α的定義域為[6,14]，在此定義域內(nèi)，利用式(7)和式(8)計算得到α取不同數(shù)值時對應(yīng)的Ψ(s0)和Ψ″(s0)，由此可以求出相應(yīng)的尾概率q+(α)，其中q+(α)=0.317、0.045、0.003分別對應(yīng)α值為偏離1倍、2倍和3倍方差的導(dǎo)出參數(shù)值。

圖4給出了導(dǎo)出參數(shù)的尾概率密度函數(shù)q+(α)與準(zhǔn)確概率函數(shù)q(α)的關(guān)系。表4分別給出了偏離1σ、2σ和3σ時對應(yīng)的α值。由圖4可知，采用鞍點(diǎn)逼近計算尾函數(shù)的方法可以很好地估計導(dǎo)出參數(shù)的概率分布，尤其在偏離2σ和3σ時，基本與準(zhǔn)確概率相同。

圖4算例2導(dǎo)出參數(shù)尾概率與準(zhǔn)確概率對比曲線Fig.4 Comparison curves between tail probability and exact probability of derived parameters in example 2

表4 實例2導(dǎo)出參數(shù)的概率值

從以上例子可以得出：當(dāng)鏈路參數(shù)不滿足Lyapunov條件時，不能用高斯概率密度函數(shù)近似對導(dǎo)出參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析;而用尾概率的方法能夠?qū)嚯x均值1倍以上方差(1σ)位置的概率進(jìn)行較好的估計，1倍以下方差難以真實反映導(dǎo)出參數(shù)的概率統(tǒng)計特性；用尾概率函數(shù)能夠直接得到滿足1倍(1σ)、2倍(2σ)和3倍(3σ)標(biāo)準(zhǔn)方差的導(dǎo)出參數(shù)值，進(jìn)而可直接用于鏈路估算。

在實際鏈路計算過程中，應(yīng)首先確定鏈路參數(shù)是否滿足Lyapunov條件，若不滿足，則導(dǎo)出參數(shù)可利用計算尾概率密度函數(shù)的方法計算導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差，但導(dǎo)出參數(shù)的設(shè)計值、最小值和最大值仍利用各鏈路參數(shù)的設(shè)計值、最小值和最大值求和得到。

4 結(jié)束語

通過本文的理論推導(dǎo)和分析，可以得到以下結(jié)論：

1)利用統(tǒng)計法分析鏈路性能時，若將概率密度函數(shù)取為三角型，統(tǒng)計分析結(jié)果比高斯型要保守或者說可靠性要高；

2)當(dāng)與導(dǎo)出參數(shù)相關(guān)的鏈路參數(shù)滿足Lyapunov條件時，導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)采用高斯分布能夠達(dá)到很好的近似效果，且大大簡化了計算復(fù)雜度；

3)當(dāng)利用高斯函數(shù)對導(dǎo)出參數(shù)的概率密度函數(shù)近似時，導(dǎo)出參數(shù)的均值和方差應(yīng)通過對各鏈路參數(shù)的均值和方差求和得到；

4)當(dāng)鏈路參數(shù)不滿足Lyapunov條件時，利用鞍點(diǎn)逼近估計尾概率密度函數(shù)的方法能夠較準(zhǔn)確地確定導(dǎo)出參數(shù)的概率。