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    例談含根式函數(shù)值域的求解方法

    2020-11-24 21:02:17葛云云
    關(guān)鍵詞:根式元法值域

    ■葛云云

    求函數(shù)值域是高考的重點(diǎn)及熱點(diǎn),很多問題最后都轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域得以解決。其中求含根式的函數(shù)值域是特殊的一個(gè)類型,平常大家碰到的頻率也較高,其求解思路多樣,方法多變,下面對這一類問題的幾種求解策略進(jìn)行舉例分析。

    一、函數(shù)單調(diào)法

    例1求函數(shù)的值域。

    解:函數(shù)的定義域?yàn)橛蓮?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的,所以函數(shù)y=在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,故其值域?yàn)椤?/p>

    啟示:利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)問題是最常用的方法,解題時(shí)可預(yù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,充分抓住函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

    二、換元法

    例2求函數(shù)y=x-的值域。

    解:該題與例1相差一個(gè)符號,若利用單調(diào)性求其值域,會發(fā)現(xiàn)在定義域內(nèi),為單調(diào)遞減,故函數(shù)整體的單調(diào)性不顯著。此時(shí),可采取換元法,令t=,且t≥0,則,所以y=。該函數(shù)為開口向上的拋物線一部分,最小值取在對稱軸t=1 處,故其值域?yàn)閇-1,+∞)。

    啟示:換元法可將含根式函數(shù)變?yōu)槌醯群瘮?shù),而初等函數(shù)值域的求解一般較為簡單,需要注意的是換元后的新函數(shù)定義域發(fā)生了變化。

    三、平方法

    例3求函數(shù)的值域。

    解:先找到函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1],將函數(shù)兩邊進(jìn)行平方,可得y2= 2 +,發(fā)現(xiàn)[0,1],因此y2∈[2,3],最后得到函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

    啟示:該種方法適用于兩個(gè)根式內(nèi)x項(xiàng)的系數(shù)恰好互為相反數(shù)的情況,因其平方后,平方項(xiàng)的和可變?yōu)槌?shù)。此外,變量x便集中在一個(gè)根式內(nèi),可有效降低分析難度,利于值域的順利求解。

    四、導(dǎo)數(shù)法

    例4求函數(shù)的值域。

    解:該題和例3也相差不大,為兩個(gè)根式相加,若采用平方法,變量x還是沒能全部集中于根號內(nèi),不利于求解值域。此外,其單調(diào)性也不直觀,可采用導(dǎo)數(shù)法。函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢瘮?shù)求導(dǎo)得,得,此時(shí)函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)遞減,同理可得函數(shù)在上遞增。故其值域?yàn)椤?/p>

    啟示:利用導(dǎo)數(shù)尋找函數(shù)的單調(diào)性,通過單調(diào)性得到值域。這種方法應(yīng)該是求函數(shù)值域時(shí)萬能的方法,一般用在函數(shù)較為復(fù)雜或者其單調(diào)性不顯著時(shí)。

    五、小結(jié)

    求解函數(shù)的值域是一個(gè)非常基礎(chǔ)且重要的知識點(diǎn),不同類型的函數(shù),在求解值域過程中所使用的方法不盡相同,這與函數(shù)本身的性質(zhì)密切相關(guān)。含根式的函數(shù)只是眾多函數(shù)中的一種外在表現(xiàn)類型,可以肯定的是,上述所提到的方法對其他類型的函數(shù)也有適用的地方。此外,同一函數(shù)也存在多種求解值域的方法。

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