二維聲全息的δ函數(shù)約束型射線波疊加法

張陽 向宇 石梓玉

摘? 要：利用波疊加法進(jìn)行聲場重建是一個(gè)病態(tài)逆問題，極小的測(cè)量噪聲就可能導(dǎo)致重建結(jié)果完全失真.傳統(tǒng)方法是在重建過程中結(jié)合正則化手段以提高穩(wěn)定性，但當(dāng)系統(tǒng)矩陣由于全息模型配置不當(dāng)而嚴(yán)重病態(tài)時(shí)，即便采用正則化手段也難以獲得令人滿意的結(jié)果.利用強(qiáng)指向性的狄拉克δ函數(shù)對(duì)二維Helmholtz方程的解集進(jìn)行形狀約束，使得約束后的解集成為具有δ函數(shù)指向特性的射線波函數(shù).利用該射線波函數(shù)替換傳統(tǒng)波函數(shù)后可使系統(tǒng)矩陣趨于主對(duì)角占優(yōu)的良態(tài)形式，從而提高重構(gòu)穩(wěn)定性.通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該射線波函數(shù)在二維聲場重建中的正確性及穩(wěn)定性，同時(shí)給出了射線波函數(shù)疊加項(xiàng)數(shù)的一種選擇方法.結(jié)果表明：利用該射線波函數(shù)不僅可以有效地計(jì)算二維聲全息問題，而且降低了系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)，提高了聲場重建穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞：波疊加法;近場聲全息;狄拉克δ函數(shù);重建穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：TB52? ? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.04.003

0? ? 引言

近場聲全息技術(shù)[1]（Near-field acoustic holography，NAH）是一種噪聲源識(shí)別、定位及聲場可視化的強(qiáng)有力工具.近幾十年來，眾多學(xué)者通過對(duì)近場聲全息進(jìn)行深入研究后相繼提出了空間Fourier變換算法[2-3] （Spatial fourier transform，SFT）、邊界元算法[4-5]（Boundary element method，BEM）、波疊加法[6]（Wave superposition method，WSM）等全息算法，均取得了較好的效果.但是，這些方法也存在著相應(yīng)的不足，例如：空間Fourier變換算法要求聲源面與全息采樣面必須具有規(guī)則的形狀，且在利用快速傅里葉變換算法（Fast fourier transform，F(xiàn)FT）進(jìn)行重建計(jì)算時(shí)無法避免窗效應(yīng)與卷繞誤差[7-8];邊界元法雖適用于任意形狀的聲源面及全息面，但在計(jì)算時(shí)存在復(fù)雜的奇異積分處理及特征波數(shù)處解的非唯一性問題[9]，嚴(yán)重影響了計(jì)算精度和效率.波疊加法由于將源強(qiáng)點(diǎn)布置在聲源面內(nèi)部的一個(gè)虛擬邊界上，因此，不會(huì)出現(xiàn)邊界元法中的奇異積分處理，但仍存在著不足——即特征波數(shù)處聲場解的非唯一性及重建病態(tài)問題.針對(duì)非唯一性問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了大量研究，并相繼提出了復(fù)數(shù)形式的Burton-Miller型組合層勢(shì)法[10]、復(fù)數(shù)矢徑波疊加法[11]、附加源波疊加法[12]等，均取得了很好的效果.而對(duì)于重建病態(tài)問題，目前的方法一般是在求解過程中應(yīng)用正則化以得到穩(wěn)定的近似解[13-15].但常規(guī)的正則化方法僅是通過數(shù)學(xué)手段對(duì)病態(tài)方程組進(jìn)行后期的數(shù)值處理，并沒有改善物理模型本身的不適定性，因此，若當(dāng)模型配置不當(dāng)而導(dǎo)致問題本身嚴(yán)重病態(tài)時(shí)，即使再結(jié)合正則化也難以得到令人滿意的近似解.針對(duì)該問題，參考文獻(xiàn)[16]從改善波疊加法物理模型本身的不適定性出發(fā)，提出了一種無需正則化就能穩(wěn)定重建聲場的射線等效源法[16]，為改善基于波疊加法的聲場重構(gòu)病態(tài)問題拓展了一條全新的思路.該射線等效源法是利用格林函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)替換傳統(tǒng)波疊加法積分核函數(shù)，以使積分方程在離散后得到的系統(tǒng)矩陣呈現(xiàn)主對(duì)角占優(yōu)的良態(tài)形式，從而改善重構(gòu)病態(tài)問題.但是格林函數(shù)在求導(dǎo)階數(shù)較高的情況下表達(dá)式將變得非常復(fù)雜，難以計(jì)算，且在二維情況下，格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不具備單一方向的指向性，因此，需另尋一種構(gòu)造射線波函數(shù)的方法.

本文利用強(qiáng)指向性的狄拉克δ函數(shù)對(duì)二維Helmholtz方程的解集進(jìn)行形狀約束，使得約束后的解集成為具有δ函數(shù)指向特性的射線波函數(shù).由于無需對(duì)格林函數(shù)求導(dǎo)，因此，極大地提高了計(jì)算效率和穩(wěn)定性.文中給出了該射線波函數(shù)的詳細(xì)推導(dǎo)過程和疊加項(xiàng)數(shù)的選擇方法，并利用二維脈動(dòng)圓環(huán)和隨機(jī)點(diǎn)聲源對(duì)本文方法的正確性及穩(wěn)定性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1? ? 基于波疊加法的聲場重建算法[6]

波疊加的基本思想為：振動(dòng)體向外輻射的聲場可由置于其內(nèi)部的所有虛擬等效源所產(chǎn)生的聲場疊加代替，而這些虛擬等效源強(qiáng)度可通過匹配聲源面或全息面的相關(guān)信息得到.如圖1所示，考慮一任意形狀的二維振動(dòng)體，其中[S]為振動(dòng)體邊界，[E+]為振動(dòng)體外部輻射域.假設(shè)在振動(dòng)體內(nèi)部的虛擬邊界[SE]上布置等效源，則外域[E+]中任意場點(diǎn)[r]處聲壓可表示為：

以上就是基于波疊加法的聲場重建算法.由于系統(tǒng)矩陣[GHE]通常是病態(tài)矩陣，因此，利用式（6）求解源強(qiáng)是一個(gè)病態(tài)逆問題.文獻(xiàn)[16]中對(duì)系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性進(jìn)行詳細(xì)分析后指出：由于傳統(tǒng)波疊加法采用的是球面形式的格林函數(shù)作為波函數(shù)，因此，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)矩陣由于列線性相關(guān)性過強(qiáng)而病態(tài).為解決該問題，文獻(xiàn)[16]通過對(duì)三維Helmholtz方程的基本解（即自由場格林函數(shù)）求方向?qū)?shù)的方式構(gòu)造了一種具有強(qiáng)指向性的射線波函數(shù).利用該射線波函數(shù)替換傳統(tǒng)波疊加法的球面波函數(shù)后改善了系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性，提高了重建穩(wěn)定性.但在二維情況下，Helmholtz方程基本解的方向?qū)?shù)并不具備三維情況下的單一方向指向性，而是呈發(fā)散狀，如圖2所示，圖中求導(dǎo)方向?yàn)閇1， 1].因此，需另行探索一種可適用于二維平面的射線波函數(shù)構(gòu)造方法.

2? ? δ函數(shù)約束型射線波函數(shù)的構(gòu)造

顯然，式（8）的解可作為波疊加法波函數(shù)，且通過匹配不同的展開項(xiàng)系數(shù)[An]，可使其具有任意形狀的波函數(shù).換言之，若能夠匹配出適當(dāng)?shù)恼归_項(xiàng)系數(shù)[An]，就可以使式（8）成為具有單一方向指向性的射線波函數(shù).本文的方法是利用具有指向性的狄拉克δ函數(shù)作為約束函數(shù)對(duì)式（8）進(jìn)行形狀約束，由此匹配出相應(yīng)的系數(shù)[An]，使得約束后的式（8）具備與輔助函數(shù)相同的指向性質(zhì).

狄拉克函數(shù)[δx-x0]是一個(gè)具有脈沖性質(zhì)的廣義函數(shù)，它在[x=x0]點(diǎn)處具有無窮集中的指向性，而該指向性可以由其逼近序列[δnx-x0]體現(xiàn)，如圖3所示，圖中給出了狄拉克[δx-x0]函數(shù)的其中一個(gè)逼近序列：[πn11+n2（x-x0）2].

可以看到，隨著[n]的增大，逼近序列[δnx-x0]在[x=x0]點(diǎn)處越來越“尖”，即指向性越來越強(qiáng)，符合射線波函數(shù)的指向性要求.因此，可以考慮將[δx-x0]作為約束函數(shù)對(duì)式（8）進(jìn)行形狀約束.

如圖4所示，假設(shè)第[i]個(gè)等效源點(diǎn)[rEi]與其對(duì)應(yīng)主測(cè)點(diǎn)[rHi]的位置已確定，以該等效源的位置為原點(diǎn)設(shè)置一個(gè)與絕對(duì)坐標(biāo)系平行的局部坐標(biāo)系[（xi， yi）]，此時(shí)該等效源點(diǎn)[rEi]與其對(duì)應(yīng)主測(cè)點(diǎn)[rHi]之間的距離為[rHi， Ei=rHi-rEi]，主測(cè)點(diǎn)[rHi]與局部坐標(biāo)[xi]軸的夾角為[φxi， Hi].顯然，若該等效源[rEi]所輻射的是射線波，那么該射線波的主指向與局部坐標(biāo)[xi]軸的夾角也必然是[φxi， Hi].假設(shè)使用δ函數(shù)對(duì)該波函數(shù)進(jìn)行約束，那么該δ函數(shù)的形式為[δφ-φxi， Hi].這里[φ∈0， 2π]，表示將δ函數(shù)在該等效源（局部坐標(biāo)原點(diǎn)）處沿周向展開，且在主指向角[φxi， Hi]處具有脈沖指向性.

假設(shè)δ函數(shù)[δφ]在圖4的局部坐標(biāo)系[（xi， yi）]下可由式（8）的無窮疊加項(xiàng)展開，那么有：

由于波函數(shù)的指向特性只與角度有關(guān)，因此，在式（9）中已將式（8）中的變量[r]寫為常量[rHi， Ei]，表示在以等效源點(diǎn)[rEi]為原點(diǎn)，[rHi， Ei]為半徑的圓上計(jì)算聲壓幅值;[Ani]表示局部坐標(biāo)系[（xi， yi）]下的展開項(xiàng)系數(shù).值得注意的是，由于δ函數(shù)是沒有具體數(shù)學(xué)表達(dá)式的廣義函數(shù)，因此，式（9）表示當(dāng)展開項(xiàng)系數(shù)為[Ani]時(shí)，式（9）右邊的無窮項(xiàng)疊加將成為與δ函數(shù)一樣的脈沖指向函數(shù).由此容易推知，若取有限疊加項(xiàng)，式（9）的右邊就成為δ函數(shù)的一個(gè)逼近序列，并且該逼近序列滿足Helmholtz方程.

由圖5可以看到，隨著疊加項(xiàng)數(shù)[m]的增大，波函數(shù)在主指向角方向的指向性越來越強(qiáng).若采用上述射線波函數(shù)替換傳統(tǒng)波疊加法中的球面波函數(shù)[Gr， rEi]，各等效源點(diǎn)所輻射的聲場如圖6所示.

由圖6可以看到，此時(shí)各等效源所輻射的聲場在其對(duì)應(yīng)主測(cè)點(diǎn)處最大，而在其他非主測(cè)點(diǎn)處迅速衰減.因此，等效源與全息面間系統(tǒng)矩陣的主對(duì)角元素將比非主對(duì)角線元素大得多，系統(tǒng)矩陣呈現(xiàn)主對(duì)角占優(yōu)的形式.等效源點(diǎn)與全息采樣點(diǎn)之間的系統(tǒng)矩陣[KHE]為（為便于計(jì)算，不妨令等效源點(diǎn)與全息采樣點(diǎn)數(shù)目一致）：

[KHE=KrH1， E1， φx1， H1， φx1， H1， rH1， E1KrH1， E2， φx2， H1， φx2， H2， rH2， E2…KrH1， EN， φxN， H1， φxN， HN， rHN， ENKrH2， E1， φx1， H2， φx1， H1， rH1， E1KrH2， E2， φx2， H2， φx2， H2， rH2， E2…KrH2， EN， φxN， H2， φxN， HN， rHN， EN??KrHN， E1， φx1， HN， φx1， H1， rH1， E1KrHN， E2， φx2， HN， φx2， H2， rH2， E2…KrHN， EN， φxN， HN， φxN， HN， rHN， EN]

其中：系統(tǒng)矩陣[KHE]的第[i]行、第[j]列的元素為：

[KHEij=KrHi， Ej， φxj， Hi， φxj， Hj， rHj， Ej=2π2πn=-m+mH2nkrHi， EjH2nkrHj， Ejein（φxj， Hi-φxj， Hj）]，[rHi， Ej=rHi-rEj]，[rHj， Ej=rHj-rEj]，[φxj， Hi]表示[rHi]與局部坐標(biāo)[（xj， yj）]橫軸[xj]的夾角，[φxj， Hj]表示等效源[rEj]對(duì)應(yīng)的主指向角，各變量見圖6.同理可得等效源與任意場點(diǎn)間的系統(tǒng)矩陣[KRE].

當(dāng)利用系統(tǒng)矩陣[KHE]和[KRE]進(jìn)行聲場重建時(shí)，式（5）—式（7）可寫為：

[PH=KHEQHE]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

[QHE=K+HEPH]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

[P=KREK+HEPH]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

式（15）—式（17）即為基于本文提出的射線波函數(shù)的聲場重建公式.

3? ? 數(shù)值算例仿真與討論

3.1? ?二維脈動(dòng)圓環(huán)聲場重建驗(yàn)證

利用二維脈動(dòng)圓環(huán)作為聲源驗(yàn)證運(yùn)用本文方法進(jìn)行聲場重建的正確性.已知半徑為[rS]，周邊產(chǎn)生均勻徑向振速幅值為[v0]的脈動(dòng)圓環(huán)在距離圓心[r]處所輻射聲壓的解析解為[20]：

為驗(yàn)證本文方法在聲場重建計(jì)算中的正確性，在不添加噪聲的情況下進(jìn)行聲場計(jì)算.選取射線波函數(shù)的疊加項(xiàng)數(shù)[m]分別為2、4、5、8、10、15，其余參數(shù)設(shè)置如下：聲源面半徑[rS=]1 m，等效源面半徑? ? [rE=]0.2 m，全息采樣面半徑[rH=]1.1 m.采用不同疊加項(xiàng)數(shù)計(jì)算得脈動(dòng)圓環(huán)表面聲壓如圖7所示.

由圖7可以看到，利用本文方法計(jì)算所得的表面聲壓無論是實(shí)部還是虛部都能與解析聲壓相吻合，說明本文方法能夠正確地反演聲場.

為進(jìn)一步探究聲場重建效果與疊加項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，取疊加項(xiàng)數(shù)[m=0?30]，頻率[f=350 Hz]，并在不加噪聲與加噪聲（[SNR=30 dB]）的兩種情況下分別進(jìn)行計(jì)算.為更加直觀地體現(xiàn)系統(tǒng)矩陣性態(tài)對(duì)于重建穩(wěn)定性的影響，本文所有數(shù)值仿真均不使用任何正則化手段，直接使用Matlab中的“inv”函數(shù)對(duì)矩陣求逆.定義聲壓相對(duì)誤差[δsp]：

將疊加項(xiàng)數(shù)[m]的取值區(qū)間分為0～3、4～26、27～30三種情況分別討論圖8的結(jié)果.

1）當(dāng)疊加項(xiàng)數(shù)為0～3時(shí)，無噪聲情況下的聲壓重建誤差均在[5%]以內(nèi)，說明此時(shí)能夠正確地進(jìn)行聲場重建計(jì)算.但在加噪聲的情況下，并不能很好地重建聲場.這是因?yàn)榇藭r(shí)的射線波函數(shù)指向性不足、系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性并未得到足夠的改善，放大了測(cè)量噪聲.

2）當(dāng)疊加項(xiàng)數(shù)[m=4～26]時(shí)，無噪聲情況下的重建誤差都小于[5%]，加噪聲情況下的重建誤差也都控制在5%～10%之間.這說明在此區(qū)間內(nèi)，原本病態(tài)的系統(tǒng)矩陣得到了改善，因此能夠穩(wěn)定地進(jìn)行聲場重建.

3）當(dāng)疊加項(xiàng)數(shù)m=27～30時(shí)，隨著疊加項(xiàng)數(shù)的增大，其聲壓誤差也隨之變大.這是由于過大的疊加項(xiàng)數(shù)導(dǎo)致射線波函數(shù)的指向性過強(qiáng)，進(jìn)而各虛擬等效源所輻射的能量在其主指向處過于集中，而在非主指向處衰減過快，由此導(dǎo)致了部分系統(tǒng)信息的缺失，因而無法很好地重建聲場.同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，加噪聲與不加噪聲的兩條誤差曲線在27項(xiàng)后幾乎重合，這說明此時(shí)雖然已經(jīng)不能很好地重建聲場，但噪聲并未對(duì)重建結(jié)果產(chǎn)生明顯影響.這意味著此時(shí)系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性已經(jīng)得到了改善，有效地抑制了噪聲對(duì)于重建結(jié)果的干擾.

由以上分析可知，射線波函數(shù)的疊加項(xiàng)數(shù)[m]須在合理的范圍內(nèi)進(jìn)行選擇.

3.2? ?輔助面法

可采用輔助面法[21]確定疊加項(xiàng)數(shù)[m].輔助面法的基本思想是：在全息采樣面與聲源面之間選取一輔助面[Γ]，通過比較輔助面上測(cè)量聲壓與重建聲壓相對(duì)誤差的最小值來確定合適的疊加項(xiàng)數(shù).該問題可描述為：

3.3? ?隨機(jī)點(diǎn)聲源聲場重建驗(yàn)證

由于實(shí)際結(jié)構(gòu)聲源并無解析解可循，所以難以進(jìn)行聲場重建驗(yàn)證.但由惠更斯疊加原理可知，任意聲源皆可看作無數(shù)點(diǎn)源的集合.因此，可用隨機(jī)布置的一系列不同強(qiáng)度的點(diǎn)聲源考察本文方法在實(shí)際復(fù)雜聲場重建中的正確性及穩(wěn)定性.

已知數(shù)量為[n]的點(diǎn)源在二維平面所輻射的聲場為：

式中：[σi]為第[i]個(gè)點(diǎn)源的強(qiáng)度系數(shù);[gr， ri]為二維Green函數(shù).在仿真計(jì)算中，取點(diǎn)源數(shù)量? ? ? [n=30]，并隨機(jī)分布于中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為[1]的圓域內(nèi)，點(diǎn)源強(qiáng)度隨機(jī)從[0?1]中選取.

該算例參數(shù)如下：節(jié)點(diǎn)數(shù)[N=70]，頻率? ? [f=]800 Hz，信噪比[SNR=40 dB]，等效源半徑[rE=]0.4 m，全息面半徑[rH=]1.1 m.輔助測(cè)量面為半徑[rΓ=]1.05 m的圓環(huán).其中，疊加項(xiàng)數(shù)取值范圍[m=0?25]，重建觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量為[50]，均勻分布在[-2， 1]到[2， 1]的線段上.

首先利用輔助面法計(jì)算不同疊加項(xiàng)數(shù)下的聲壓誤差，如圖9所示.由圖9可以看到，輔助面上的聲壓相對(duì)誤差在疊加項(xiàng)數(shù)[m=6～20]時(shí)大致相同，因此，為了提高計(jì)算效率，選取疊加項(xiàng)數(shù)[m=6].利用選出的疊加項(xiàng)數(shù)進(jìn)行聲場重建計(jì)算，結(jié)果如圖10所示.可以看到，在傳統(tǒng)方法已無法得到穩(wěn)定重建結(jié)果的情況下，本文方法仍可得到令人滿意的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果.表1給出了傳遞矩陣[ΚHE]的條件數(shù)，可以看到，本文方法有效地降低了系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)，明顯改善了系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性.

4? ? 結(jié)論

基于將傳統(tǒng)球面波函數(shù)替換為強(qiáng)指向性射線波函數(shù)以改善系統(tǒng)矩陣病態(tài)性的思想，提出了一種構(gòu)造射線波函數(shù)的新方法.該方法利用狄拉克δ函數(shù)對(duì)二維Helmholtz方程的解集進(jìn)行形狀約束，得到了一系列具有δ函數(shù)指向特性的射線波函數(shù).通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該射線波函數(shù)在二維聲場重建中的正確性及穩(wěn)定性，同時(shí)給出了射線波函數(shù)疊加項(xiàng)數(shù)的一種選擇方法.計(jì)算結(jié)果表明：本文方法不僅可以有效地計(jì)算二維聲全息問題，而且降低了系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)，提高了聲場重建的穩(wěn)定性.本文雖僅對(duì)二維情況進(jìn)行了推導(dǎo)與探究，但其基本理論和方法可以方便地推廣到三維情況，因此，仍具有一定的研究價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? ?WILLIAMS G E，MAYNARD J D. Holographic imaging without the wavelength resolution limit[J]. Physical Review? ? ? ?Letters，1980，45（7）：554-557.

[2]? ? ?WILLIAMS E G，MAYNARD J D，SKUDRZYK E. Sound source reconstructions using a microphone array[J].Journal of the Acoustical Society of America，1980，68（1）：340-344.

[3]? ? ?VERONESI W A，MAYNARD J D. Nearfield acoustic holography （NAH）-II-holographic reconstruction algorithms and computer implementation[J].Journal of the Acoustical Society of America，1987，81（5）： 1307-1322.

[4]? ? ?MAYNARD J D，WILLIAMS E G，LEE Y. Nearfield acoustic holography：I. Theory of generalized holography and the? development of NAH[J].Journal of the Acoustical Society of America，1985，78（4）： 1395-1413.

[5]? ? ?CUNEFARE K A，KOOPMANN G H，BROD K. A boundary element method for acoustic radiation valid for all wavenumbers[J].Journal of the Acoustical Society of America，1989，85（1）：39-48.

[6]? ? ?KOOPMANN G H，SONG L M，F(xiàn)AHNLINE J B. A method for computing acoustic fields based on the principle of wave superposition[J].Journal of the Acoustical Society of America，1989，86（6）：2433-2438.

[7]? ? ?FLEISCHER H，AXELRAD V. Restoring an acoustic source from pressure data using wiener filtering[J]. Acta Acustica? ? United with Acustica，1986，60（2）：172-175.

[8]? ? ?KWON H S，KIM Y H. Minimization of bias error due to windows in planar acoustic holography using a minimum error? ?window[J].Journal of the Acoustical Society of America，1995，98（4）：2104-2111.

[9]? ? ?CHAPPELL D J，HARRIS P J. A Burton–Miller inverse boundary element method for near-field acoustic holography[J].Journal of the Acoustical Society of America，2009，126（1）：149-157.

[10]? ?BENTHIEN W，SCHENCK A. Nonexistance and nonuniquness problems associated with integral equation methods in? ?acoustics[J]. Computers and Structures，1997，65（3）：295-305.

[11]? ?向宇，黃玉盈. 基于復(fù)數(shù)矢徑的波疊加法解聲輻射問題[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25（1）：35-41.

[12]? ?夏雪寶，向陽. 基于附加源波疊加法的聲輻射計(jì)算研究[J].振動(dòng)與沖擊，2015，34（1）：104-109，144.

[13]? ?TIKHONOV A N，ARSENIN Y V. Methods for solving ill-posed problems[M].Moscow：Nauka，1979.

[14]? ?WILLIAMS E G. Regularization methods for near-field acoustical holography[J].Journal of the Acoustical Society of America，2001，110（4）：1976-1988.

[15]? ?CHARDON G，DAUDET L，PEILLOT A，et al. Nearfield acoustic holography using sparsity and compressive sampling principles[J].Journal of the Acoustical Society of America，2012，132（3）： 1521-1534.

[16]? ?石梓玉，向宇，陸靜，等. 一種提高聲場重構(gòu)穩(wěn)定性的射線等效源法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2019，30（3）：1-7，21.

[17]? ?陳心昭，畢傳興.近場聲全息技術(shù)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[18]? ?許伯熹. Helmholtz方程解的唯一延拓及逆源問題[D].上海：復(fù)旦大學(xué)，2014.

[19]? ?JEFFREYS H，JEFFREYS B. Methods of mathematical physics[M]. 3rd. Cambridge：Cambridge University Press，1999.

[20]? ?WU W T，OCHMANN M. Boundary element acoustics fundamentals and computer codes[J].Journal of the Acoustical? ? ? ? Society of America，2002，111（4）：1507-1508.

[21]? ?畢傳興.基于分布源邊界點(diǎn)法的近場聲全息理論與實(shí)驗(yàn)研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2004.