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    活用基本圖形,解題水到渠成

    2020-11-23 01:56:22侯燕香
    關(guān)鍵詞:基本圖形相似三角形復(fù)習(xí)課

    侯燕香

    【摘要】相似三角形是初中幾何中的重要的知識(shí)。在考試復(fù)習(xí)階段,往往由于教師對相似三角形中的基本圖形或以練代講,或以圖論題,或低估學(xué)生的解題能力,導(dǎo)致相似三角形這一知識(shí)點(diǎn)常常成為學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。相似三角形中基本圖形的復(fù)習(xí)課應(yīng)在系統(tǒng)羅列基本圖形的基礎(chǔ)上,把重點(diǎn)放在提高學(xué)生從復(fù)雜圖形中識(shí)別基本圖形和探索基本圖形之間聯(lián)系的能力上。教學(xué)實(shí)踐證明,快速識(shí)別與對應(yīng)相似三角形中基本圖形往往能有效突破難點(diǎn)。

    【關(guān)鍵詞】相似三角形;基本圖形;復(fù)習(xí)課

    《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在初中階段對能力培養(yǎng)與方法習(xí)得方面要求:“能夠從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系;能由基本圖形的性質(zhì)導(dǎo)出較復(fù)雜圖形的性質(zhì)”。當(dāng)我們遇到一個(gè)較復(fù)雜的幾何題時(shí),首先要認(rèn)真觀察、分析它的的圖形,并對圖形進(jìn)行分解,找出它由哪些基本圖形組合而成(有時(shí)需要添加輔助線,構(gòu)造基本圖形),然后運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)去推理或計(jì)算,從而使問題得以解決。

    一、試題回放

    二、學(xué)生反饋

    第(1)小問能完整解答,并能提供多種解法;但第(2)(3)小問卻無從下手,找不到思路和突破口。

    三、歸因分析

    本題考查相似三角的判定和性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)和切線長定理、三角形的中位線定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造相似三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題。學(xué)生在解答中無從下手,表明還沒有切實(shí)掌握“相似三角形”這個(gè)知識(shí)點(diǎn),尤其對其中的基本圖形很陌生,如雙垂直型下的“射影定理”。

    復(fù)雜的題目往往可以分解為若干個(gè)簡單的題目。教師在解題教學(xué)中,首先要不斷引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)一些基本圖形,吃透這些基本圖形的本質(zhì),然后讓學(xué)生在以后的解題過程中遇到復(fù)雜的圖形學(xué)會(huì)識(shí)別這些基本圖形,最后在熟練掌握這些基本圖形的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)構(gòu)造出這些基本圖形,以打開求解思路或獲得有效解法。

    四、師生磨題

    4.小結(jié)

    解法中涉及的知識(shí)點(diǎn):切線長定理,三角形全等,垂直平分線的判定定理,平行線分線段成比例定理等。思路方法總結(jié):該問證明的方向明確,方法也頗多,可從不同角、不同知識(shí)點(diǎn)出發(fā),但都是通過找相等的角去證明相等的邊,這是通性通法,師生必須通曉。

    (二) 第(2)小題,若DE·OB=40,求AD·BC的值。

    1.結(jié)論特征分析:由DE·OB,AD·BC兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到處理此類問題的一般方法就是利用三角形相似,得到對應(yīng)邊成比例,然后變?yōu)榉e的形式即可。因此,嘗試用分析法尋找問題的思路。

    2.分析法探求思路

    要求AD·BC的值,可證AD,BC邊所在的三角形相似,結(jié)合圖形容易發(fā)現(xiàn)“三垂直”型即基本圖形4,易證從而有,所以AD·BC=OC·OD=OC2,而由OC2易聯(lián)想到OC2=OB2-BC2勾股定理,或射影定理OC2=OK·OB,通過與已知OE·OB=40的比較,我們選擇射影定理,結(jié)合“雙垂直”型即基本圖形5,即再一次證明進(jìn)而得到即OC2=OB·OK而由基本圖形6得所以AD·BC=即AD·BC=20.

    主要涉及知識(shí):射影定理(三角形相似),中位線定理。

    涉及的基本圖形:

    3.綜合法+分析法探求思路

    由已知DE·BO=40結(jié)合基本圖形7,容易發(fā)現(xiàn)聯(lián)立兩式得即DE·DP=80結(jié)合圖形,認(rèn)真觀察,易發(fā)現(xiàn)基本圖形8,雙垂直模型。

    得到,從而有OE·OP=CD2所以CD2=80,則由切線長定理得AD·BC=AE·BE再次發(fā)現(xiàn)雙垂直模型即基本圖形9,證,得到,從而得到AE·BE=OE2=OC2=20.

    歸納總結(jié):該問由相似三角形的面積比容易求出對應(yīng)邊的比,然后再根據(jù)三角形面積公式去求對應(yīng)的底和高,解題方向還算明確,但由于計(jì)算比較巧妙,還是有難度的。

    五、教學(xué)啟示

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:應(yīng)當(dāng)注重和發(fā)展學(xué)生的模型思想。從某種意義上來說,數(shù)學(xué)就是一門研究模型的學(xué)科,數(shù)學(xué)離不開模型。廣義來說,每一個(gè)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。模型化是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用之心臟。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中,對學(xué)生進(jìn)行模型意識(shí)與模型思想的滲透與培植也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。

    由以上3個(gè)小問的解答可知,本題主要考查學(xué)生對以下相似三角形基本幾何圖形的掌握情況,尤其是雙垂直型下的相關(guān)結(jié)論。本題涉及到了絕大部分相似三角形的基本圖形,比較豐富,具體包括如下圖:

    要想順利解答此題,這就對學(xué)生處理基本幾何圖形的能力提出了較高的要求。日常教學(xué)中,教師要不斷給學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想,面對較為復(fù)雜的幾何問題時(shí),我們要認(rèn)真分析圖形,從中找出基本圖形,分析圖形之間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。其實(shí)復(fù)雜的幾何圖形往是由基本幾何圖形構(gòu)建與整合而成,突破難點(diǎn)的關(guān)鍵常常就是對復(fù)雜圖形的分解與組合,即會(huì)靈活地進(jìn)行圖形運(yùn)算。因此,教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)雜圖形進(jìn)行合理分解與組合,并從中分離出基本圖形(有時(shí)需要添加輔助線),從中獲得一些積極的解題心理暗示,找到解題的突破口和思路,使解題思路有水到渠成之感。教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和識(shí)別基本圖形,歸納解題模型,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、構(gòu)圖能力和分析推理能力。

    參考文獻(xiàn):

    [1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]李清強(qiáng).滲透數(shù)學(xué)文化 ?活用基本圖形[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2019(11):45-47.

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