一種RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直接自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制設(shè)計(jì)

王文娟，李 俊

（江西應(yīng)用科技學(xué)院人工智能學(xué)院，江西 南昌 330100）

1 引言

軌跡跟蹤問(wèn)題一直是飛行器制導(dǎo)控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合不同的問(wèn)題背景，應(yīng)用不同的控制方法，可以形成不同形式的軌跡跟蹤控制律[1]。針對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的非線性和高度耦合特性，對(duì)此問(wèn)題的處理思路大致可分為兩類(lèi)，一類(lèi)是基于小擾動(dòng)線性化[2]或鄰域最優(yōu)控制理論[3]對(duì)模型進(jìn)行近似線性化，然后采用線性控制方法設(shè)計(jì)控制律。該類(lèi)方法設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)便，工程上易于實(shí)現(xiàn)。但當(dāng)干擾與模型不確定性造成的實(shí)際彈道與標(biāo)稱(chēng)軌跡偏差較大時(shí)，其跟蹤精度較差。

另一類(lèi)思路是直接采用非線性方法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)[4－5]，該類(lèi)方法的設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜，控制律的實(shí)現(xiàn)需用信息多，工程應(yīng)用較困難。針對(duì)上述問(wèn)題，采用滑模變結(jié)構(gòu)的策略設(shè)計(jì)控制律，該方法與其它非線性方法相比無(wú)須在線系統(tǒng)辨識(shí)，物理實(shí)現(xiàn)較簡(jiǎn)單，且其對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和干擾不靈敏，良好的魯棒性利于工程應(yīng)用[6]。但是滑?？刂破鲀?nèi)在不連續(xù)的開(kāi)關(guān)特性會(huì)造成抖振現(xiàn)象，對(duì)抖振的削弱一直是滑模控制理論的研究熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)此問(wèn)題提出了不同的解決方法，如設(shè)計(jì)邊界層[7]、濾波方法[8]、干擾觀測(cè)器方法[9]等。這些方法從不同的角度提出了解決思路，每一種都有其相應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)與局限性。將徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，通過(guò)RBF 網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)逼近來(lái)降低切換增益，削弱抖振。且其能以任意精度逼近任何非線性函數(shù)，具有唯一最佳逼近特性。另一方面，RBF 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)簡(jiǎn)單，收斂速度很快，非常適合在線的實(shí)時(shí)控制[10]。

2 飛行器運(yùn)動(dòng)模型

以戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈中制導(dǎo)段的運(yùn)動(dòng)模型為研究對(duì)象，因其朝向預(yù)測(cè)命中點(diǎn)飛行，在實(shí)際飛行的過(guò)程中，由隨機(jī)干擾產(chǎn)生的側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化量都是小量，其飛行彈道與縱向平面內(nèi)的彈道差別不大，因此可以將縱向運(yùn)動(dòng)和側(cè)向運(yùn)動(dòng)分開(kāi)來(lái)研究。主要考慮縱向平面軌跡跟蹤系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，其質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型為：

式中：v—導(dǎo)彈速度；θ—彈道傾角；x—橫程；h—縱程；α—攻角作為控制量；P，Cx，Cy，q，S 等參數(shù)的表達(dá)式均參考文獻(xiàn)[2]。

在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)階段，一般先進(jìn)行速度特性設(shè)計(jì)，從而確定發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)，所以導(dǎo)彈速度近似認(rèn)為是不可控量。另一方面，設(shè)計(jì)中制導(dǎo)律的目的是引導(dǎo)導(dǎo)彈沿基準(zhǔn)彈道飛向預(yù)測(cè)命中點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)彈的速度大小沒(méi)有必要進(jìn)行精確跟蹤。對(duì)于剩余三個(gè)狀態(tài)變量，只要能對(duì)θ，h 穩(wěn)定跟蹤，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)基準(zhǔn)彈道的穩(wěn)定跟蹤，所以取θ，h 為系統(tǒng)狀態(tài)變量。此外，由于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈主動(dòng)段發(fā)動(dòng)機(jī)造成的誤差較大，通常不對(duì)彈道進(jìn)行精確跟蹤，而是采用方案飛行，對(duì)于無(wú)動(dòng)力段即中制導(dǎo)段，可以對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行如下簡(jiǎn)化，系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為：

根據(jù)式（5），對(duì)高度求二階導(dǎo)，并令x1=h，可以將上述模型可以轉(zhuǎn)換為如下的一個(gè)非線性二階系統(tǒng)：

3 滑模跟蹤控制律

考慮上節(jié)得到的二階非線性系統(tǒng)式（6），只要實(shí)現(xiàn)對(duì)x1，x2的精確跟蹤即可實(shí)現(xiàn)對(duì)彈道的精確跟蹤。選擇如下的滑模面：

式中：hr—標(biāo)稱(chēng)彈道的飛行高度，c=［c 1］滿(mǎn)足赫爾維茲條件。

對(duì)式（8）進(jìn)行求導(dǎo)：

滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)通常由兩種思路，一種思路是設(shè)計(jì)趨近律，通過(guò)趨近律與所選擇的滑模面聯(lián)立推導(dǎo)得到控制律；另一種思路如下：

定理1 對(duì)于式（6）所示的非線性系統(tǒng)和式（9）所選擇的滑模面，滿(mǎn)足（fx），g（x）為光滑函數(shù)設(shè)計(jì)如下的理想滑?？刂破鳎?/p>

證明：導(dǎo)彈沿標(biāo)稱(chēng)彈道飛行，其實(shí)際軌跡應(yīng)在標(biāo)稱(chēng)軌跡的鄰域內(nèi)，此時(shí)顯然f（x），g（x）是光滑函數(shù)，g（x）有界；在無(wú)動(dòng)力段，彈道傾角的變化范圍屬于且不接近 0，不會(huì)產(chǎn)生奇異現(xiàn)象。

取Lyapunov 函數(shù)為：

對(duì)式（11）求導(dǎo)，可得：

將式（9）代入式（11），可得：

將式（10）設(shè)計(jì)的滑模控制器代入式（13），可得：

綜上，采用式（10）設(shè)計(jì)的滑?？刂破?，彈道跟蹤系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接自適應(yīng)控制

在實(shí)際飛行中，參數(shù)攝動(dòng)及各種隨機(jī)干擾造成f（x），g（x）難以精確獲得，采用滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)跟蹤控制律時(shí)，這種建模的不確定性會(huì)產(chǎn)生較大的切換增益，進(jìn)而造成較大的抖振。針對(duì)此問(wèn)題，本節(jié)采用自適應(yīng)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近第二節(jié)所設(shè)計(jì)的滑?？刂破?。

4.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)參律

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種局部逼近的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其基函數(shù)通常選取為如下的高斯基函數(shù)：

式中：下標(biāo) j—第 j 個(gè)基函數(shù)；cj—基函數(shù)中心點(diǎn)；σj—基寬參數(shù)；φj—徑向?qū)ΨQ(chēng)函數(shù)。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)由輸入層和輸出層兩層組成，輸入層實(shí)現(xiàn)輸入信號(hào)到隱含層節(jié)點(diǎn)的非線性映射，輸出層實(shí)現(xiàn)隱含層節(jié)點(diǎn)到輸出信號(hào)的線性映射。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)滑?？刂破鱱 的逼近，選擇如下的網(wǎng)絡(luò)輸入：

將控制器作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，其映射關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，如圖1 所示。圖中隱含層節(jié)點(diǎn)向量為H=［h1，h2，…h(huán)9］T，相應(yīng)的中心點(diǎn)向量和基寬參數(shù)向量分別為：C=［c1，c2，…c9］T，σ=［σ1，σ2，…σ9］T。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig.1 Structure of Neural Networks

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的表達(dá)式為：

RBF 網(wǎng)絡(luò)具體的學(xué)習(xí)過(guò)程可以分為兩個(gè)階段。第一個(gè)階段是無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)，其作用是根據(jù)輸入的樣本確定隱含層的高斯基函數(shù)的中心點(diǎn)向量cj與基寬參數(shù)σj。采用K-均值聚類(lèi)算法實(shí)現(xiàn)中心向量的調(diào)整，具體步驟如下：

（1）首先初始化隱含層各個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心向量值cj（0）（j=1，2，…，9），學(xué)習(xí)步長(zhǎng) β（0），（0＜β（0）＜1）及誤差閾值 δ。

（2）根據(jù)輸入樣本X（k），計(jì)算歐氏距離，確定與樣本距離最小的隱含節(jié)點(diǎn)。計(jì)算公式如下：

式中：k—輸入樣本的序號(hào)；r—與樣本距離最小的隱含節(jié)點(diǎn)序號(hào)。

（3）進(jìn)行中心調(diào)整。

由式（22）可知，隨著輸入樣本的增多，學(xué)習(xí)步長(zhǎng)逐漸減小，最后趨于0。

（4）對(duì)于所有的輸入樣本重復(fù)進(jìn)行步驟（2）和（3），直至樣本總誤差小于所設(shè)定的誤差閾值。

基寬參數(shù)由所選取的中心向量的最大距離確定，具體算法如下：

式中：D—中心向量之間的最大距離。

第二個(gè)階段是有監(jiān)督學(xué)習(xí)，該階段訓(xùn)練隱含層到輸出層之間的權(quán)值。由于隱含層到輸出層為線性映射，所以訓(xùn)練連接權(quán)值W 是一個(gè)線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，其解是唯一的，不存在局部極小值。連接權(quán)值的學(xué)習(xí)算法設(shè)計(jì)為：

式中：η—學(xué)習(xí)效率，為了保證學(xué)習(xí)算法的收斂性，通常取0＜η＜1；ud，u（l）—網(wǎng)絡(luò)的期望輸出與實(shí)際輸出。

當(dāng)樣本離中心向量較遠(yuǎn)時(shí)，hj非常小，可以當(dāng)作0 處理。只有當(dāng)hj大于某一數(shù)值（如0.05）時(shí)才會(huì)對(duì)權(quán)值進(jìn)行相應(yīng)修改。因此隱含層節(jié)點(diǎn)向量H 中只有個(gè)別元素為1，其余為0，每次訓(xùn)練時(shí)只有少數(shù)幾個(gè)權(quán)值需要調(diào)整，從而保證了RBF 較快的學(xué)習(xí)速度。

4.2 控制器的設(shè)計(jì)與分析

對(duì)于圖1 所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其理想的輸出為：

式中：μl—逼近誤差，且 μl有界，即|μl|≤μ0。W*—理想的連接權(quán)值：

連接權(quán)值的魯棒更新算法設(shè)計(jì)如下：

式中：Γ=ΓT＞0—自適應(yīng)增益矩陣；σ—大于零的常值，當(dāng)存在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差及外界干擾時(shí)，σ—修正能夠提升自適應(yīng)控制器的魯棒性。

將式（28）代入式（9），可得：

將式（26）代入式（30），可得：

將式（10）代入式（31），可得：

在設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)時(shí)考慮包含滑模面與魯棒自適應(yīng)律，為了使自適應(yīng)律中不出現(xiàn)g（x）項(xiàng)，將Lyapunov 函數(shù)中的項(xiàng)用代替，具體表達(dá)式如下：

對(duì)式（32）求導(dǎo)，可得：

在式（34）中：

引理 1 對(duì)于半正定函數(shù) V 的不等式方程組V˙≤-αV+f，α 為任意常數(shù)，在任意的t≥t0≥0 上的解為：

微分方程的解為：

又因?yàn)閷?duì)任意的 t≥t0≥0，有 φ（τ）≤0，即：

綜上，引理得證。

對(duì)于式（37），令 t0=0，根據(jù)引理 1 可得：

定義如下的初始緊集：

因?yàn)槌跏紶顟B(tài)必須包含在緊集Ω0里，所以控制器是局部穩(wěn)定的。這樣定義是合理的，因?yàn)橹挥性谝粋€(gè)緊集內(nèi)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似才是有效的[10]。

對(duì)于所有的x（0）∈Ω0，設(shè)計(jì)參數(shù)值的大小由如下表達(dá)式?jīng)Q定：

為了保證x∈Ω，?t≥0，選取控制器參數(shù)時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足M≤M*，ε≤ε*

5 仿真驗(yàn)證

為了所設(shè)計(jì)控制律的有效性，仿真工況條件設(shè)置如下：分別給定三組初始誤差，加入等效攻角為（-1～1）deg 的隨機(jī)風(fēng)干擾，并對(duì)氣動(dòng)參數(shù)施加30%的攝動(dòng)，采用所設(shè)計(jì)的控制律驗(yàn)證能否有效消除跟蹤誤差，實(shí)現(xiàn)軌跡精確跟蹤。模型中各參數(shù)的取值參考文獻(xiàn)[2]，三種情景的具體參數(shù)，如表1 所示。

表1 仿真條件Tab.1 Simulation Conditions

圖2 情景1 跟蹤誤差Fig.2 Tracking Errors of Case 1

圖3 情景2 的跟蹤誤差Fig.3 Tracking Errors of Case 2

圖4 情景3 跟蹤誤差Fig.4 Tracking Errors of Case 3

由圖2～圖4 可知，當(dāng)存在隨機(jī)干擾和參數(shù)攝動(dòng)的情況下，無(wú)論是給彈道傾角和高度狀態(tài)量的其中之一施加初始誤差，還是給兩者同時(shí)施加初始誤差，其都能有效消除跟蹤誤差，實(shí)現(xiàn)軌跡的精確跟蹤。同時(shí)在三種情景下，誤差曲線都較為光滑，說(shuō)明了引入RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效削弱由滑?？刂撇贿B續(xù)的開(kāi)關(guān)特性造成的抖振現(xiàn)象。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制律對(duì)不同初始誤差的適應(yīng)性，分別將高度誤差設(shè)置為［-50，50］m 內(nèi)的隨機(jī)值，將彈道傾角誤差設(shè)置為［-0.3，0.3］deg 內(nèi)的隨機(jī)值，進(jìn)行20 次蒙特卡洛仿真，仿真結(jié)果，如圖5 所示。由圖可知，該控制律在不同初始誤差組合下，都能夠有效消除誤差，實(shí)現(xiàn)對(duì)軌跡的精確跟蹤。

圖5 跟蹤誤差的蒙特卡洛仿真Fig.5 Tracking Errors of Monte Carlo Simulation

6 結(jié)論

基于直接自適應(yīng)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑模控制理論研究了存在隨機(jī)干擾和參數(shù)攝動(dòng)情況下的魯棒軌跡跟蹤問(wèn)題。

（1）采用物理實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單的滑?？刂撇呗钥朔朔蔷€性控制方法結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問(wèn)題，通過(guò)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)逼近降低了切換增益。

（2）所設(shè)計(jì)的控制器具有較好的魯棒性，在隨機(jī)風(fēng)等效干擾攻角與參數(shù)攝動(dòng)的影響下，無(wú)論是給彈道傾角和高度狀態(tài)量的其中之一施加初始誤差，還是給兩者同時(shí)施加初始誤差，其都能有效消除跟蹤誤差，實(shí)現(xiàn)軌跡的精確跟蹤。