CFRP 重型機床傳動系的撓曲振動研究

文湘隆，方 圓，楊 沫，李文虎

（武漢理工大學(xué)機電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070）

1 引言

重型機床傳動軸由于跨距長、質(zhì)量大、轉(zhuǎn)速高，即使是很小的偏心距也會產(chǎn)生非常大的不平衡離心力，使軸系產(chǎn)生振動噪聲，嚴(yán)重降低機床加工精度。金屬材料自身的局限性限制了傳動軸動態(tài)性能的提升，采用CFRP 制備的傳動軸是解決重型機床傳動軸系振動問題的重要途徑之一[1]。

目前關(guān)于復(fù)合材料傳動軸的研究主要集中在鋪層設(shè)計參數(shù)對軸管的扭轉(zhuǎn)強度、屈曲扭矩、固有頻率和扭轉(zhuǎn)剛度的影響規(guī)律和實驗研究[2-4]。文獻[5]采用理論計算和有限元分析計算了CFRP傳動軸臨界轉(zhuǎn)速，證明了兩種方法的可行性并找出了兩者結(jié)果差異的原因。文獻[6]提出了復(fù)合材料傳動軸簡支條件下的動力學(xué)模型，對系統(tǒng)動力學(xué)方程進行近似求解，得到了復(fù)合材料軸系的一階模態(tài)和振型。文獻[7]采用Euler-Bernoulli 梁理論建立復(fù)合材料汽車傳動軸系的動力學(xué)方程，該動力學(xué)模型考慮了兩段式正交鋪層的復(fù)合材料傳動軸管以及傳動軸中間萬向節(jié)，分析得到兩段式復(fù)合材料汽車傳動軸的簡支模態(tài)。文獻[8-9]對復(fù)合材料軸的轉(zhuǎn)子動力學(xué)進行了相關(guān)研究，得到了復(fù)合材料軸的固有頻率主要受到鋪層角度和比例的影響。

所有這些相關(guān)的研究為復(fù)合材料傳動軸的固有頻率設(shè)計提供了相關(guān)理論方法，結(jié)合復(fù)合材料層合理論和軸系彎振的傳遞矩陣法，系統(tǒng)性的研究CFRP 傳動軸系的彎曲振動，并采用ABAQUS 對軸系進行了模態(tài)仿真，與理論預(yù)測模型進行了對比。

2 CFRP 軸系動力學(xué)模型

重型機床傳動軸系簡圖，如圖1 所示。軸系由滾動軸承、金屬軸段、剛性聯(lián)軸器、CFRP 軸管組成，左端連接的是變速器的輸出端，右端連接刀具主軸箱的輸入端。傳動軸系統(tǒng)的各段尺寸參數(shù)，如表1 所示。CFRP 傳動軸全長2300mm。整個軸系由滾動軸承支撐，支承剛度為1×109N/m。軸系全長為3115mm，最大扭轉(zhuǎn)力矩3000Nm。

圖1 重型機床CFRP 傳動軸系Fig.1 CFRP Driveline System of Heavy Duty Machine Tool

表1 CFRP 傳動系的截面參數(shù)Tab.1 Section Parameters of CFRP Driveline

2.1 CFRP 軸管設(shè)計

傳動軸管壁厚t=7.2mm，采用單向T700/YPH-308 碳纖維預(yù)浸料（性能參數(shù)如表2 所示）纏繞成型，單層厚度為0.2mm。文獻[10]已詳細闡述CFRP 傳動軸關(guān)于滿足強度剛度的設(shè)計和校核方法，本文不再贅述。通過各種方案扭轉(zhuǎn)強度比較，最終確定鋪層方案為［±45/（±15）3/±45/（±15）3/±45］S，這將為CFRP 軸系彎曲振動提供計算依據(jù)。

表2 T700/YPH-308 的材料屬性Tab.2 Material Properties of T700/YPH-308

2.2 CFRP 軸系傳遞矩陣

傳遞矩陣法是將質(zhì)量連續(xù)分布的彈性轉(zhuǎn)子離散為不同的盤軸單元。將圖1 中的CFRP 傳動系統(tǒng)簡化為n 個無厚度剛性薄圓盤和n-1 個無質(zhì)量彈性軸段的盤軸單元組成的鏈狀系統(tǒng)，如圖2所示。對于彎曲剛度各向同性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，僅分析垂直方向彎曲變形即可。設(shè) mi，li，yi和 θi分別表示第 i 個圓盤單元的質(zhì)量、長度、垂直方向位移和yoz 垂面內(nèi)角位移，Mi和Qi分別為第i 個單元截面上的彎矩和剪力，Jp和Jd為圓盤極轉(zhuǎn)動慣量和直徑轉(zhuǎn)動慣量。因此圓盤單元 i 的慣性力為 mω2yi，慣性力矩為（Jp-Jd）ω2θi。

圖2 剛性薄圓盤和彈性軸模型Fig.2 Rigid Thin Disk and Elastic Shaft Model

基于達朗伯原理，結(jié)合盤軸單元的受力，圓盤單元狀態(tài)變量從i 到i+1 的傳遞關(guān)系可表示為：

式中：［Ts］i—剛性薄圓盤的狀態(tài)傳遞矩陣

對于CFRP 軸段和金屬軸段，剛性薄圓盤的狀態(tài)傳遞矩陣均可使用式（3）。而對于彈性軸的傳遞矩陣，復(fù)合材料軸段和金屬軸段具有明顯差異，金屬軸段的彈性軸的狀態(tài)傳遞關(guān)系可表示如下：

基于復(fù)合材料層合理論和Layer-wise 理論，得到復(fù)合材料軸管的等效彎曲剛度為（5），式中分別表示第k 層復(fù)合材料外表面、內(nèi)表面處的半徑。

綜合剛性薄圓盤、金屬彈性軸段和CFRP 彈性軸段的傳遞關(guān)系，圖3 中的CFRP 軸系盤軸模型兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系可表示為：

由于軸系兩端由滾動軸承支撐，具有一定的支撐剛度，因此軸系兩個端面的垂直方向位移和yoz 垂面內(nèi)角位移的自由度沒有完全限制，而彎矩和剪力可以確定恒為0。因此軸系的邊界條件為：

擴展式（6）和利用式（8）的邊界條件可得：

方程組（9）存在非零解的條件需滿足下列條件：

滿足式（10）的ω 值即為軸系的臨界角速度。在求解軸系的彎曲振動頻率時，可以將ω 作為橫坐標(biāo)，剩余量Δ（ω）為縱坐標(biāo)，利用MATLAB 軟件進行試算，畫出角速度和剩余量的曲線，該曲線與Δ（ω）=0 的交點即為軸系的臨界角速度，然后利用公式f=ω/2π 即可求得軸系的彎曲振動頻率。

3 結(jié)果與討論

在這部分，軸系彎曲振動傳遞矩陣法、模態(tài)仿真和簡支梁模型三種方法計算的結(jié)果得到對比。有限元計算結(jié)果可用于驗證傳遞矩陣法計算CFRP 軸系振動的準(zhǔn)確性。

3.1 CFRP 傳動軸系傳遞矩陣計算結(jié)果

根據(jù)表1 的CFRP 傳動軸系的尺寸參數(shù)，結(jié)合CFRP 軸管的鋪層參數(shù)，劃分各軸段編號N，盤軸單元數(shù)目n 和各盤軸單元的參數(shù)，如表3 所示。

表3 重型機床CFRP 軸系的相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.3 Relevant Data of CFRP Shafting for Heavy Machine Tools

結(jié)合式（2）～式（5）和式（7）得到 CFRP 軸系的盤軸模型的整體傳遞矩陣，由邊界條件式（10）得到系統(tǒng)的剩余量Δ（ω），應(yīng)用MATLAB 軟件繪制角速度和剩余量的關(guān)系曲線，如圖3 所示。剩余量Δ（ω）＝0 與曲線的第一個交點對應(yīng)的角速度為264rad/s，因此CFRP 軸系的第一階彎曲振動頻率為42.02Hz，對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為2521r/min。

圖3 角速度與剩余量關(guān)系曲線圖Fig.3 Relation Graph of Angular Velocity vs. Δω

3.2 CFRP 傳動軸系有限元計算結(jié)果

在有限元軟件ABAQUS 中按照圖1 的尺寸建立軸系模型并裝配，賦予材料屬性并定義鋪層，劃分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。設(shè)置滾動軸承的支撐剛度，進入interaction 模塊，選擇Special-Springs/Dashpots，創(chuàng)建接地彈簧，剛度設(shè)置為1×109N/m，限制在一個自由度方向上。對CFRP 傳動軸系進行自由模態(tài)仿真分析。一階振型，如圖4 所示。CFRP 傳動軸系的一階固有頻率ω=42.05Hz，對應(yīng)轉(zhuǎn)速為2523.18r/min。

圖4 CFRP 傳動系一階彎曲振型Fig.4 First Order Bending Mode of CFRP Drive-Line

3.3 簡支梁模型計算結(jié)果

不考慮CFRP 傳動軸的金屬連接件，將復(fù)合材料傳動軸簡化為均質(zhì)簡支梁，其計算公式為：

帶入CFRP 傳動軸的參數(shù)，式中m 為單位長度質(zhì)量，L 取整個傳動軸系長度，計算得到一階彎曲固有頻率為：f=51.2Hz，對應(yīng)轉(zhuǎn)速為3072r/min。

綜合對比CFRP 傳動軸系的傳遞矩陣法、簡支梁模型和有限元仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)簡支梁模型在預(yù)測CFRP 傳動軸系時存在明顯的誤差，如表4 所示；而推導(dǎo)的傳遞矩陣法可以準(zhǔn)確的預(yù)測CFRP 傳動軸系的一階彎曲振動轉(zhuǎn)速，誤差僅為0.086%。這是由于簡化均質(zhì)簡支梁模型在計算軸系振動時沒有考慮金屬部件對軸系動態(tài)性能的影響。而傳遞矩陣法在計算軸系彎曲振動時，既考慮了CFRP 軸管的各向異性，又考慮了軸系金屬部件的影響，因此能夠較為準(zhǔn)確的預(yù)測復(fù)合材料傳動軸系的振動性能。

表4 各方法得到的CFRP 軸系一階彎曲振動轉(zhuǎn)速Tab.4 First-Order Bending Vibration Speed of CFRP Shaft Obtained by Each Method

4 結(jié)論

基于復(fù)合材料層合理論，運用并改進了傳遞矩陣法，建立CFRP 傳動軸系的動力學(xué)模型。對比有限元仿真、改進傳遞矩陣法和簡支梁模型的結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：

（1）在研究復(fù)合材料傳動軸系的動態(tài)性能時，僅考慮復(fù)合材料軸管是無法準(zhǔn)確預(yù)測軸系的振動情況；（2）推導(dǎo)的復(fù)合材料軸系傳遞矩陣法能夠準(zhǔn)確的預(yù)測CFRP 軸系的彎曲振動固有頻率，為復(fù)合材料軸系的動力分析提供理論依據(jù)。