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    基于Laplace變換的潛水非穩(wěn)定流模型解的研究

    2020-11-23 02:11:16
    中國(guó)農(nóng)村水利水電 2020年11期
    關(guān)鍵詞:概化河渠配線

    劉 能 勝

    (湖北水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,武漢 430070)

    0 引 言

    河渠水位的變化是影響兩岸地下水動(dòng)態(tài)的重要因素,對(duì)河渠間潛水的非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究,對(duì)區(qū)域地下水資源評(píng)價(jià)、灌排渠系設(shè)計(jì)、地下水動(dòng)態(tài)預(yù)報(bào)都有著重要的意義[1-4]。其中,地表水體附近潛水非穩(wěn)定流與滲流規(guī)律研究[5-11]已在渠道附近地下水動(dòng)態(tài)過(guò)程研究[12-15]中得到廣泛應(yīng)用。

    在之前的研究中,假設(shè)河渠完全切割潛水含水層,將河渠視為第一類邊界的河渠—半無(wú)限潛水非穩(wěn)定流模型,大體分為兩類:①河渠水位變化瞬時(shí)完成并保持穩(wěn)定[1-4],對(duì)于這類簡(jiǎn)單的邊界條件函數(shù),可利用常用的積分變換方法,求出模型的理論解;②河渠水位持續(xù)變化[1,3,5,6],對(duì)于這類問(wèn)題多將水位的變化過(guò)程概化為一常規(guī)函數(shù),如線性變化,當(dāng)函數(shù)形式較為簡(jiǎn)單時(shí),也可以通過(guò)常用的積分變化方法進(jìn)行模型求解。對(duì)于上述兩類問(wèn)題現(xiàn)已有較為深入的研究,但實(shí)際情況中,河渠水位多難以一已知函數(shù)形式進(jìn)行概化,即便某些特定條件下可給出變化過(guò)程的具體函數(shù)形式,但當(dāng)函數(shù)過(guò)于復(fù)雜時(shí)[10],其常用的積分變換方法便難以進(jìn)行模型求解。

    后來(lái)的研究中為解決復(fù)雜函數(shù)邊界的河渠—半無(wú)限潛水非穩(wěn)定流模型問(wèn)題,吳丹[16]等利用傅里葉變換方法對(duì)所概化的復(fù)雜函數(shù)邊界進(jìn)行處理,并給出了該邊界條件下模型解,但其求解過(guò)程過(guò)于復(fù)雜,且并未驗(yàn)證解的正確性,而且在實(shí)際情況中,其河渠水位變化過(guò)程多為一未知函數(shù),故對(duì)未知邊界函數(shù)形式條件下的河渠—半無(wú)限潛水非穩(wěn)定流模型問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)研究具有實(shí)際意義。

    針對(duì)上述情況,本文采用不考慮邊界條件形式的Laplace變換方法求解,利用Laplace變換中的有關(guān)性質(zhì),給出模型的解,并與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證;同時(shí)為了進(jìn)一步討論該理論解在實(shí)際中的運(yùn)用,本文對(duì)河渠水位變化過(guò)程采用Lagrange插值進(jìn)行離散化處理,并借助文獻(xiàn)[16,17]中的算例數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)算,對(duì)其應(yīng)用展開介紹。

    1 經(jīng)典模型及其解

    為研究河渠附近潛水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng),對(duì)河渠及附近地段的水文地質(zhì)條件作如下假設(shè):①潛水含水層均質(zhì)各向同性,隔水底板水平、平面上無(wú)限延伸;②河渠順直且在剖面上完整切割含水層,河渠水位變動(dòng)過(guò)程為時(shí)變函數(shù)H(t);③潛水初始水位h(x,0)與河渠水位水平、潛水水流可視為一維流;④忽略上部入滲量,不考慮垂向交換作用。

    上述水文地質(zhì)概念模型,可寫成數(shù)學(xué)模型(Ⅰ)。

    圖1 河渠附近潛水的非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)Fig.1 Transient phreatic motion near rivers and canals

    式中:μ為潛水含水層給水度;H為潛水水位,m;K為含水層滲透系數(shù),m/d;H(t)為河渠水位隨時(shí)間變化函數(shù),m。

    在經(jīng)典模型中,H(t)=H0,H0為常數(shù),即“河流水位在迅速升高H0后,保持不變”。當(dāng)含水層厚度較大時(shí),水位變化h(x,t)-h(x,0)≤0.1hm(潛水流的平均厚度,即研究時(shí)段始、末潛水流厚度的算術(shù)平均值)時(shí),根據(jù)Boussinesq方程第一線性化方法,模型(Ⅰ)可改寫成(Ⅱ)。

    (Ⅱ)中:u(x,t)=h(x,t)-h(x,0),a=khm/μ,a,(m2/d)為潛水含水層的導(dǎo)壓系數(shù)。

    當(dāng)H(t)=H0,利用Laplace變換,可獲得上述模型的解:

    (9)

    2 理論模型

    2.1 理論模型的求解

    實(shí)際中的河渠水位變化過(guò)程H(t),雖在小范圍流域內(nèi)有一定的規(guī)律,但由于外界干擾因素過(guò)多,其變化過(guò)程更具隨機(jī)性,再加灌區(qū)人工干擾因素,基本無(wú)法對(duì)水位變化過(guò)程進(jìn)行統(tǒng)一的具體函數(shù)表達(dá),在此條件下,本文在不追求H(t)的具體函數(shù)形式基礎(chǔ)上,建立不依賴邊界函數(shù)的變換過(guò)程的Laplace變換方法,求解這類模型的理論解。

    對(duì)于模型(Ⅲ),當(dāng)式(11)過(guò)于復(fù)雜或未知時(shí),難以采用上述方法直接求解,對(duì)此,針對(duì)式(11),不直接求H(t)的象函數(shù),而只將其以算符的形式運(yùn)用于計(jì)算過(guò)程中,再利用變換的相關(guān)性質(zhì)和相應(yīng)的特征函數(shù),進(jìn)行求解。詳解過(guò)程如下。

    (Ⅲ)中(10)式的通解為:

    (13)

    式(13)中,λ1、λ2為待定常數(shù);由邊界條件(11)和(12),模型(Ⅲ)的特定解為:

    (14)

    (15)

    式中:*為卷積算符。

    參照常用Laplace變換中的函數(shù):

    對(duì)式(16),根據(jù)Laplace變換的“微分定理”,有:

    (17)

    其中:

    結(jié)合式(15)、(17),有:

    (18)

    對(duì)式(18),將卷積打開,注意h(x,t)和u(x,t)的關(guān)系可得:

    式(19)即為不考慮H(t)的具體函數(shù)形式下模型(Ⅱ)的解;在實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用中,還需將具體的H(t)代入到式中,進(jìn)一步換算,才能得到實(shí)際問(wèn)題的解。

    對(duì)于式(19),其河渠水位變化過(guò)程以H(t)進(jìn)行概化,而之前的研究中多以一已知常規(guī)函數(shù)進(jìn)行處理,但在實(shí)際中,河渠水位的變化多難以函數(shù)形式進(jìn)行概化,即便存在,也多為一些非常規(guī)函數(shù),給求解帶來(lái)了極大的困難,而本文通過(guò)對(duì)Laplace變換性質(zhì)的運(yùn)用,避免了邊界函數(shù)的變換過(guò)程的復(fù)雜性,進(jìn)一步推動(dòng)了經(jīng)典模型的解在實(shí)踐中的運(yùn)用。同時(shí)需要指出的是,上述求解過(guò)程中,邊界條件H(t)雖未進(jìn)行形式上的變換,但其實(shí)際參與了Laplace變換與逆變換的過(guò)程,所以,H(t)應(yīng)滿足Laplace變換要求,在實(shí)際中,河渠水位變化基本是可以滿足變化要求的。

    2.2 解析解與數(shù)值解的對(duì)比分析

    為了進(jìn)一步探討解析解的正確性以及與模型數(shù)值解的區(qū)別,本文以下述應(yīng)用中文獻(xiàn)[17]中的實(shí)例為背景,利用基于有限差分的GMS軟件[18]對(duì)河渠附近地下水進(jìn)行數(shù)值模擬,將河渠作為第一類邊界處理,垂向上為與解析解概化一致,只設(shè)置一層,并對(duì)潛水一維穩(wěn)定流的數(shù)值解與解析解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,計(jì)算模型概化中,河渠水位變化過(guò)程如表2所述,各參數(shù)取值為給水度μ=0.04,滲透系數(shù)k=4.26 m/d,計(jì)算不同時(shí)刻河渠附近地下水位情況。

    圖2為河渠水位變化24 h末的數(shù)值解和解析解的比較。

    圖2 24 h末河渠附近地下水位Fig.2 24 h-end Water Table Near Rivers and Canals

    從圖2可以看出,至24 h末,河渠附近地下水水位的數(shù)值解和解析解存在一定誤差,經(jīng)分析,解析解與數(shù)值解的偏差率為0.03%,平均相對(duì)誤差為0.4%,通過(guò)分析解析解求參運(yùn)用及與數(shù)值解的對(duì)比可得:

    (1)當(dāng)實(shí)際水文地質(zhì)條件較為簡(jiǎn)單時(shí),在合理概化的基礎(chǔ)之上可以直接采用解析法來(lái)求取水文地質(zhì)參數(shù)并預(yù)測(cè)地下水動(dòng)態(tài)。

    (2)解析解在野外實(shí)際運(yùn)用時(shí),可以提供一個(gè)簡(jiǎn)潔的估算方法,也可以利用其所得結(jié)果進(jìn)一步指導(dǎo)勘探和野外試驗(yàn)工作。

    (3)對(duì)本文所述的理論模型來(lái)說(shuō),解析解是精確解,可以用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)值解法的正確性和比較不同數(shù)值解法的精確性和有效性。

    同時(shí),解析法的局限性也非常明顯,它不能適用于含水層的各種復(fù)雜條件,因此將它利用于實(shí)際計(jì)算時(shí)不可能得到精確的結(jié)果,但作為一種進(jìn)行理論研究和初步估算的工具來(lái)說(shuō),具有重要的意義。

    3 運(yùn) 用

    3.1 Lagrange插值

    實(shí)際中,復(fù)雜的河渠水位變化過(guò)程H(t),顯然難以給出統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式;在之前的研究中,多將河渠水位變化過(guò)程多概化為階梯狀分段函數(shù),但在實(shí)際情況中河道水位的變化應(yīng)是連續(xù)的,階梯狀的河道水位變化過(guò)程難以出現(xiàn),因此,為使河道水位變化過(guò)程的概化的實(shí)際意義更加合理,本文采用Lagrange插值方法[16,19],對(duì)H(t)進(jìn)行離散化處理;

    對(duì)于時(shí)段Ti=ti-ti-1,有:

    (20)

    則有:

    (21)

    δ(t-ti-1)系Heaviside 函數(shù),具有如下性質(zhì):當(dāng)t

    3.2 求 參

    在吳丹、陶月贊[16,17]等有關(guān)河渠附近潛水非穩(wěn)定流的研究中,提出了“配線法”和“拐點(diǎn)法”的參數(shù)求解方法,推廣了解析解在實(shí)際中的運(yùn)用,本文將基于上述兩種方法,結(jié)合相關(guān)實(shí)例探討本文所求解析解在實(shí)際中的運(yùn)用。

    設(shè)潛水位變動(dòng)速度φ(x,t)=?h(x,t)/?t,注意u(x,t)=h(x,t)-h(x,0),結(jié)合卷積定理的微分特性,由(18)式:

    (22)

    結(jié)合式(21),注意,當(dāng)t=0時(shí),H(t)=H0及Heaviside 函數(shù)的性質(zhì),得:

    (23)

    3.2.1 配線法

    對(duì)于式(23),當(dāng)H0=0∩λ≠0時(shí):

    (24)

    需要注意的是,配線法在實(shí)際運(yùn)用時(shí),要求河渠初始水位基本保持穩(wěn)定,這樣從模型概化的角度出發(fā)即可認(rèn)為H0=0。

    3.2.2 拐點(diǎn)法

    對(duì)于式(22),當(dāng)H0=0∩λ≠0時(shí),對(duì)φ(x,t)關(guān)于t再進(jìn)行一次求導(dǎo),并令?φ(x,t)/?t=0,求出相應(yīng)拐點(diǎn);

    (25)

    令拐點(diǎn)處的時(shí)間為tk,有:

    (26)

    根據(jù)距邊界x處的地下水水位動(dòng)態(tài),繪出?φ(x,t)/?t~t曲線(此時(shí),x是一確定值);利用曲線的拐點(diǎn)tk,以及河渠水位實(shí)際變動(dòng)數(shù)據(jù)而獲得的H0、λ;由(26)式,可計(jì)算出含水層參數(shù)a,需要注意的是,拐點(diǎn)法應(yīng)用時(shí)要求河渠初始水位要有個(gè)迅速的變化過(guò)程,這樣從模型概化的角度出發(fā)即可認(rèn)為H0≠0。

    3.3 河渠與潛水之間交換量計(jì)算

    河渠與潛水之間的補(bǔ)排關(guān)系,由河渠水位與潛水水位關(guān)系所決定,這也表明,河渠附近潛水非穩(wěn)定滲流模型,可以用來(lái)計(jì)算河渠與潛水之間的水量交換;其中,河渠與潛水之間的交換量,可以用單位河渠長(zhǎng)度上的交換量表達(dá),即單寬流量q(t);t時(shí)刻的交換強(qiáng)度q(t),由達(dá)西定理:

    (27)

    如前文,在實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用中,還需將具體的H(t)帶入到式中,進(jìn)一步換算,才能得到河渠與潛水之間的水量交換計(jì)算公式。若H(t)采用Lagrange插值進(jìn)行離散化處理,根據(jù)式(27)可得:

    (28)

    式(28)即為河渠與潛水之間在t時(shí)刻的交換強(qiáng)度算式;q(t) >0,表示潛水接受河渠補(bǔ)給;q(t)<0,表示潛水排泄河渠。

    4 實(shí) 例

    本文以文獻(xiàn)[16,17]中算例數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)計(jì)算。根據(jù)文獻(xiàn)所述,安徽淮北平原中部的蒙城縣境內(nèi)茨淮新河灌區(qū)潛水含水層廣泛發(fā)育,厚度8 m左右,其下發(fā)育有不完全連續(xù)黏性土隔水層;潛水位埋深多較淺;且農(nóng)業(yè)區(qū)內(nèi)灌渠系統(tǒng)較完善,灌渠之間的間距多為2 km左右,干渠渠首大部分建設(shè)有節(jié)制閘;區(qū)內(nèi)有一口國(guó)家級(jí)地下水位自記觀測(cè)井,距離干渠距離約為60 m,觀測(cè)井附近地面標(biāo)高31.02 m。

    據(jù)文獻(xiàn)[16]表述,2014年7月下旬,由于未處于運(yùn)行期,干渠水位基本長(zhǎng)時(shí)間保持不變,符合“配線法”中要求的H0=0;且該時(shí)段為無(wú)雨期,計(jì)算中忽略垂向交換作用;可采用配線法進(jìn)行求參;數(shù)據(jù)摘錄如表1。

    據(jù)文獻(xiàn)[17]表述,2013年8月26日15時(shí)至27日15時(shí),干渠節(jié)制閘關(guān)閘蓄水;其水位變化過(guò)程可分為兩個(gè)過(guò)程,關(guān)閘15 min內(nèi),水位迅速上升2.00 m,隨后,水位上升速度減緩,至27日15時(shí)升幅為0.21 m。觀測(cè)孔水位摘錄如表2。該時(shí)段,H0=2.0 m、λ=0.21 m/d,滿足拐點(diǎn)法要求的求參條件,可采用拐點(diǎn)法求參數(shù)。

    由圖3可見,配線法中,實(shí)測(cè)散點(diǎn)數(shù)據(jù)基本處與a值為700~900 m2/d,因此a值可取800 m2/d;對(duì)于拐點(diǎn)法,其潛水位達(dá)到最大變動(dòng)速度時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間十分靠近18 h,故拐點(diǎn)取tk=17.2 h,按式(26)求得a=851 m2/d。

    表1 潛水水位動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)(2014.7.25-2014.7.30)與“配線法”計(jì)算過(guò)程Tab.1 The dynamic data of water table (2014.7.25-2014.7.30) and calculation process of “Curve Fitting Method”

    表2 潛水水位動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)(2013.8.26-2014.8.27)與“拐點(diǎn)法”計(jì)算過(guò)程Tab.2 The dynamic data of water table (2013.8.26-2014.8.27) and calculation process of “Inflection Point Method”

    圖3 配線法及拐點(diǎn)法求a(x=60 m)Fig.3 Calculate a(x=60 m) by means of curve fitting and inflection point methods

    根據(jù)文獻(xiàn)[16,17]的研究成果,采用配線法及拐點(diǎn)法求得參數(shù)a值分別為890 m2/d和860 m2/d,與本文所求結(jié)果基本一致,但仍存在一定差異,其主要原因?yàn)椋?/p>

    (1)上述兩方法在最后配線及拐點(diǎn)位置確定時(shí)均為人為估計(jì),難免會(huì)產(chǎn)生一定誤差;

    (2)本文進(jìn)行參數(shù)求解與上述文獻(xiàn)進(jìn)行參數(shù)求解時(shí)所依據(jù)的理論模型及解析解有所區(qū)別,具體表現(xiàn)在對(duì)河渠水位邊界形式概化上。

    5 結(jié) 論

    本文通過(guò)采用不考慮邊界條件形式的Laplace變換方法對(duì)未知函數(shù)邊界條件下的河渠—半無(wú)限潛水非穩(wěn)定流模型進(jìn)行求解,并與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,同時(shí)展開了相關(guān)應(yīng)用的探討,得出以下結(jié)論:

    (1)針對(duì)半無(wú)限域河渠附近潛水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)經(jīng)典模型中河渠水位邊界條件概化的局限性,本文采用不考慮邊界條件形式的Laplace變換方法求解,可得到形式較為簡(jiǎn)單的解析解,此外,Laplace變換在模型求解中可避免邊界條件函數(shù)變化所帶來(lái)的象函數(shù)求逆的困難,對(duì)于未知邊界函數(shù)的模型求解有著重要的意義。

    (2)河渠水位變化過(guò)程往往比較復(fù)雜時(shí),利用Lagrange插值的方法對(duì)河渠水位過(guò)程進(jìn)行離散化處理,同時(shí)利用配線法及拐點(diǎn)法進(jìn)行參數(shù)計(jì)算,參考相關(guān)文獻(xiàn),結(jié)果基本一致,方法可行,此外,插值函數(shù)的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了河渠與潛水之間交換量計(jì)算,可為實(shí)際問(wèn)題求解提供更簡(jiǎn)便的途徑。

    (3)對(duì)比數(shù)值解和解析解可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)實(shí)際水文地質(zhì)條件較為簡(jiǎn)單時(shí),在合理概化的基礎(chǔ)之上可以直接采用解析法來(lái)求取水文地質(zhì)參數(shù)并預(yù)測(cè)地下水動(dòng)態(tài),但需要注意的是解析法的局限性也非常明顯,它不能適用于含水層的各種復(fù)雜條件,此外模型是建立在一維概化的條件下,因此將它利用于實(shí)際計(jì)算時(shí)不可能得到精確的結(jié)果,但作為一種進(jìn)行理論研究和初步估算的工具來(lái)說(shuō),具有重要的意義。

    (4)為了計(jì)算的便捷性,本文對(duì)水位變化過(guò)程只進(jìn)行了簡(jiǎn)單的插值離散處理,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,可以對(duì)長(zhǎng)系列的水文數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合,考慮到水位變化在實(shí)際情況中還存在其他情形,需進(jìn)一步研究各情況下理論解的實(shí)際應(yīng)用。

    (5)在河渠—半無(wú)限潛水非穩(wěn)定流模型中,除河渠水位變換對(duì)附近潛水具有重要影響外,其垂向水量交換及含水層非均質(zhì)特性也是重要的影響因素,筆者認(rèn)為,在模型中可將垂向水量交換概化為源匯項(xiàng),假設(shè)其強(qiáng)度為一穩(wěn)定值;此外對(duì)于含水層非均質(zhì)特性問(wèn)題,可以先著眼于層狀非均質(zhì)模型的研究,受限于文章篇幅,這里不再作詳細(xì)展開,但應(yīng)作為后續(xù)研究的重點(diǎn)。

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