懸索橋吊索尾流致振非定常理論分析

李壽英，向琳琳，鄧羊晨

（風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（湖南大學(xué)），湖南 長(zhǎng)沙 410082）

大跨度懸索橋吊索一般由多個(gè)（2，4 或6）索股組成，吊索具有自重輕、柔度大、阻尼低的特點(diǎn)，極易發(fā)生各類風(fēng)致振動(dòng).國(guó)內(nèi)外已有多座懸索橋觀測(cè)到了吊索的大幅風(fēng)致振動(dòng)現(xiàn)象，例如，日本明石海峽大橋[1]、丹麥大海帶東橋[2]及中國(guó)舟山西堠門大橋[3].然而，上述3 座大橋吊索采用的減振措施不盡相同，這表明不同橋梁的吊索振動(dòng)機(jī)理可能不同.為此，部分學(xué)者開(kāi)展了相關(guān)研究，Li 等[4]和Chen 等[5]通過(guò)試驗(yàn)研究了懸索橋橋塔周邊吊索振動(dòng)特性，指出橋塔尾流是引起吊索振動(dòng)的原因；張志田等[6]對(duì)西堠門橋纜索系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析，指出主纜振動(dòng)引起的內(nèi)共振是吊索振動(dòng)的原因所在；李壽英等[7]在風(fēng)洞試驗(yàn)中重現(xiàn)了多索股吊索由于氣動(dòng)干擾所引發(fā)的尾流致振現(xiàn)象.本文作者曾在西堠門橋觀測(cè)到在風(fēng)速為8～10 m/s 情況下，同一吊點(diǎn)4 根吊索中，位于背風(fēng)側(cè)的3 根吊索發(fā)生劇烈振動(dòng)，而剩下的1 根位于迎風(fēng)側(cè)的吊索基本靜止不動(dòng)[8].這表明吊索多索股之間的尾流氣動(dòng)干擾可能是吊索振動(dòng)的關(guān)鍵所在.

目前，氣動(dòng)干擾研究主要集中在輸電線和海洋立管等方面.輸電線方面：Price[9]、Ko[10]以及Wardlaw等[11]通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)量了輸電線尾流導(dǎo)線的氣動(dòng)力系數(shù).Simpson[12]、Tusi 等[13]以及Price 等[14]通過(guò)建立理論分析模型，對(duì)輸電線的尾流致振進(jìn)行了理論研究.Hardy 等[15]建造了一條五跨、全長(zhǎng)1.5 km 的測(cè)試輸電線路，據(jù)此研究輸電線的尾流致振響應(yīng).在海洋立柱方面：Huse[16]、Brika 等[17]以及Sagatun 等[18]在水中進(jìn)行了一系列氣彈模型試驗(yàn).Bleivins[19]、Bokanian 等[20]通過(guò)理論分析對(duì)海洋立管流致失穩(wěn)進(jìn)行了分析.然而，無(wú)論是在自身結(jié)構(gòu)特性還是結(jié)構(gòu)布置上，懸索橋吊索與輸電線以及海洋立管均有很大的不同[21]，目前專門針對(duì)懸索橋多索股間氣動(dòng)干擾的研究非常有限，并且，絕大多數(shù)已有氣動(dòng)干擾研究是建立在準(zhǔn)定常理論假設(shè)基礎(chǔ)上的，即認(rèn)為作用在物體上的氣動(dòng)力不受自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響，在研究中忽略因自身運(yùn)動(dòng)引起的氣動(dòng)自激力.然而，李壽英等[22]對(duì)準(zhǔn)定常理論在風(fēng)雨振中的適用性研究表明，相比較于在準(zhǔn)定常理論假設(shè)基礎(chǔ)上得到的拉索和水線氣動(dòng)力，基于非定常理論得到的氣動(dòng)力更為精確，并且建議在精細(xì)化的風(fēng)雨振研究中應(yīng)采用非定常理論方法.對(duì)于懸索橋吊索間復(fù)雜的氣動(dòng)干擾問(wèn)題，同樣有必要建立非定常理論分析模型，以此對(duì)準(zhǔn)定常理論的適用性進(jìn)行研究.

本文進(jìn)行了一系列風(fēng)洞試驗(yàn)，測(cè)量得到尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間分布情況，建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用Runge-Kutta 數(shù)值法求解方程，得到尾流致振響應(yīng)，對(duì)尾流致振機(jī)理進(jìn)行了研究，其間，對(duì)比分析了基于非定常理論模型和準(zhǔn)定常理論模型的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果.

1 風(fēng)洞試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)概況

尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)采用強(qiáng)迫振動(dòng)方法識(shí)別，試驗(yàn)在湖南大學(xué)HD-2 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室的高速試驗(yàn)段進(jìn)行，該試驗(yàn)段長(zhǎng)17 m、寬3 m、高2.5 m，試驗(yàn)風(fēng)速在0～58 m/s 范圍內(nèi)連續(xù)可調(diào).采用湖南大學(xué)自主研制的強(qiáng)迫振動(dòng)裝置識(shí)別尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，該裝置內(nèi)置兩臺(tái)B51 型五分量桿式測(cè)力天平，可實(shí)現(xiàn)水平、豎直和扭轉(zhuǎn)3 個(gè)方向的耦合運(yùn)動(dòng).通過(guò)強(qiáng)迫振動(dòng)裝置驅(qū)動(dòng)尾流索股模型做特定頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，通過(guò)五分量天平測(cè)得作用在尾流索股上的氣動(dòng)力時(shí)程，位移時(shí)程采用激光位移計(jì)來(lái)測(cè)量.試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用DH5920 動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)采集，風(fēng)速測(cè)量采用澳大利亞TFI 公司的眼鏡蛇風(fēng)速儀.

采用兩根光圓柱來(lái)模擬懸索橋雙索股吊索，索股模型由不銹鋼軸和輕質(zhì)泡沫制作，模型直徑0.088 m、長(zhǎng)1.33 m，尾流吊索模型端板直徑0.25 m，試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1（a）所示.迎風(fēng)索股模型安裝在數(shù)控移測(cè)架上，通過(guò)移動(dòng)移測(cè)架來(lái)調(diào)節(jié)兩索股模型的相對(duì)間距，尾流索股模型通過(guò)不銹鋼軸固定在強(qiáng)迫振動(dòng)裝置的天平上.為保證流場(chǎng)的均勻性，對(duì)風(fēng)洞內(nèi)的強(qiáng)迫振動(dòng)裝置安設(shè)了整流罩，試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮陲L(fēng)洞中的整體安裝情況如圖1（b）所示.

圖1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ图帮L(fēng)洞試驗(yàn)照片F(xiàn)ig.1 Photos of test model and wind tunnel test

雙索股的空間位置定義如圖2 所示，建立坐標(biāo)系xoy，其中坐標(biāo)原點(diǎn)o 在迎風(fēng)索股中心，x 軸與來(lái)流方向平行，y 軸與來(lái)流方向垂直，定義無(wú)量綱坐標(biāo)X和Y：

式中：D 為索股直徑.

圖2 雙索股相對(duì)位置定義示意圖Fig.2 Definition of the spatial position of the two cables

考慮到懸索橋吊索實(shí)際間距及試驗(yàn)安全性，選定無(wú)量綱坐標(biāo)X 和Y 的測(cè)試范圍分別為[4，8]和[0，4]，測(cè)量間距步長(zhǎng)為ΔX=ΔY=0.25，共包含289個(gè)相對(duì)位置.從西堠門大橋吊索的觀察情況來(lái)看，在來(lái)流風(fēng)速約為10 m/s 時(shí)吊索易發(fā)生大幅尾流干擾振動(dòng).因此，試驗(yàn)風(fēng)速統(tǒng)一選定為10 m/s，對(duì)應(yīng)雷諾數(shù)為6.14×104.詳細(xì)試驗(yàn)參數(shù)見(jiàn)表1.

1.2 氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別結(jié)果

參考橋梁主梁非定常氣動(dòng)自激力表達(dá)式，考慮尾流索股順、橫風(fēng)向2 個(gè)自由度.索股的非定常氣動(dòng)自激力（升力與阻力）可采用8 個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)確定：

式中：ρ 為空氣密度；U 為來(lái)流風(fēng)速；Ki=ωiD/U（i=u，v）為與各向運(yùn)動(dòng)自由度相關(guān)的折算頻率；u、v、u、v分別為尾流索股模型的水平向和豎向位移以及水平向和豎向速度；（i=1，4，5，6）、（i=1，4，5，6）為相關(guān)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，其具體識(shí)別方法參考文獻(xiàn)[23].

表1 風(fēng)洞試驗(yàn)參數(shù)Tab.1 Experimental parameters of wind tunnel tests

尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)（P1*、P4*、P5*、P6*、H1*、H4*、H5*和H6*）空間分布情況如圖3 所示.從圖3 中可看出，尾流索股的8 個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的分布沒(méi)有明顯的規(guī)律性.但從圖3（b）中可觀察到，與順風(fēng)位移相關(guān)的H4*，其正數(shù)值高達(dá)80.這表明與順風(fēng)位移有關(guān)的負(fù)氣動(dòng)剛度可能會(huì)引起吊索的振動(dòng).圖3 所示的試驗(yàn)數(shù)據(jù)將用來(lái)在第2 節(jié)中確定吊索的非定常自激氣動(dòng)力.

圖3 尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)空間分布圖Fig.3 Contours of the aerodynamic derivatives of the leeward cable

2 尾流索股運(yùn)動(dòng)方程

假定迎風(fēng)索股固定不動(dòng)，將尾流索股簡(jiǎn)化為兩自由度振子，分別為順風(fēng)向和橫風(fēng)向，如圖4 所示.建立坐標(biāo)軸xoy，原點(diǎn)位于迎風(fēng)索股中心，x 和y 軸方向分別為順風(fēng)向和橫風(fēng)向，尾流索股在x 和y 軸方向的位移分別為u（t）和v（t），尾流索股上的作用力包括彈性力（kxu 和kyv）、阻尼力（cx和cy）、慣性力（mx和my） 及氣動(dòng)力（Fx和F）y.

圖4 雙索股吊索尾流致振理論模型Fig.4 Theoretical model for the wake-induced vibration of the twin-cable hanger

在圖4 所示的力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，尾流索股的的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

基于非定常理論，體軸坐標(biāo)系下尾流索股的氣動(dòng)力Fx和Fy為：

式中：CD和CL分別為平均阻力和平均升力系數(shù)，采用文獻(xiàn)[19]中風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù).

采用Runge-Kutta 法數(shù)值求解方程（4）（5），得到尾流索股響應(yīng).

為了對(duì)比，給出了基于準(zhǔn)定常理論推導(dǎo)得到的尾流索股的氣動(dòng)力表達(dá)式，如公式（17）（18）所示[19].

3 數(shù)值算例

3.1 尾流索股振動(dòng)特性

吊索結(jié)構(gòu)參數(shù)選用西堠門懸索橋吊索實(shí)際參數(shù)，具體參數(shù)見(jiàn)表2.尾流索股的線密度mx=my=31 kg/m，索股直徑D=0.088 m，順風(fēng)向和橫風(fēng)向結(jié)構(gòu)頻率fx=fy=0.40 Hz，結(jié)構(gòu)阻尼比ξx=ξy=0.1%，來(lái)流風(fēng)速U=10 m/s，空氣密度ρ=1.225 kg/m3.

表2 吊索結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of the cables

考慮到第1 節(jié)中已識(shí)別的尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間范圍，在5≤X≤7、0≤Y≤4，間距ΔX=ΔY=0.1空間范圍內(nèi)進(jìn)行了數(shù)值模擬，共計(jì)861 個(gè)計(jì)算工況.同時(shí)，為評(píng)估非定常氣動(dòng)自激力的影響，分別采用非定常和準(zhǔn)定常模型對(duì)尾流索股的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.

圖5 給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型數(shù)值計(jì)算得到的尾流索股單邊最大振幅和振動(dòng)頻率空間分布情況.從圖5 中可看出在5.2≤X≤5.6、1.2≤Y≤2 區(qū)域兩種理論模型計(jì)算得到的尾流索股均發(fā)生了明顯振動(dòng)，其中，非定常理論模型計(jì)算得到的最大振幅約為1.35D，略大于準(zhǔn)定常理論模型得到的最大振幅1.03D.在振動(dòng)明顯的區(qū)域內(nèi)，兩種理論模型計(jì)算得到的索股的振動(dòng)頻率均略小于固有頻率，表明可能有氣動(dòng)負(fù)剛度存在.圖6 分別給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的X=5.4、Y=1.6 工況處尾流索股位移時(shí)程和運(yùn)動(dòng)軌跡.從圖6中可看出基于非定常理論模型計(jì)算得到的振幅要略大于準(zhǔn)定常理論模型計(jì)算結(jié)果，尾流索股運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓形、順時(shí)針?lè)较?

圖5 尾流索股振幅和頻率空間分布圖Fig.5 Space distribution of the amplitude and frequency of the leeward cable

圖6 X=5.4，Y=1.6 工況尾流索股位移時(shí)程與運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.6 Time histories of the displacements and stable trajectory of the leeward cable in the case of X=5.4，Y=1.6

3.2 尾流索股振動(dòng)機(jī)理

尾流索股發(fā)生尾流致振時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖7 所示.其中，點(diǎn)O1為尾流索股的初始位置，橢圓軌跡的中心點(diǎn)O2為尾流索股的動(dòng)平衡位置，點(diǎn)O3為尾流索股在運(yùn)動(dòng)軌跡上任意時(shí)刻的位置.

由于空氣密度與吊索密度相比很小，作用在索股上的氣動(dòng)質(zhì)量力可忽略不計(jì)，因此作用在尾流索股上的氣動(dòng)力包含三部分：與位移和速度均無(wú)關(guān)的定常氣動(dòng)力Fam、與位移相關(guān)的氣動(dòng)剛度力Fas和與速度相關(guān)的氣動(dòng)阻尼力Fad.其中，定常氣動(dòng)力Fam為尾流索股在某位置處?kù)o止時(shí)所受到的氣動(dòng)力，氣動(dòng)剛度力Fas和氣動(dòng)阻尼力Fad分別可由公式（19）（20）計(jì)算得到[21].

式中：Fam（O1）和Fam（O3）分別為尾流索股在點(diǎn)O1和O3位置處?kù)o止時(shí)所受到的定常氣動(dòng)力；F（aO3）為尾流索股在點(diǎn)O3運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的總氣動(dòng)力，可由公式（15）～（18）計(jì)算得到.

圖7 尾流索股運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖Fig.7 Sketch map of the trajectory of the leeward cable

圖8 和圖9 分別給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的典型工況的尾流索股氣動(dòng)剛度力和氣動(dòng)阻尼力時(shí)程.從圖8 和圖9 中可以看出，基于準(zhǔn)定常理論計(jì)算得到的氣動(dòng)剛度力和氣動(dòng)阻尼力比非定常理論計(jì)算結(jié)果偏小，特別是氣動(dòng)阻尼力.整體上，基于兩種理論模型計(jì)算得到的平均氣動(dòng)剛度力均比平均氣動(dòng)阻尼力大.

在將氣動(dòng)力各組成部分準(zhǔn)確分離的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)氣動(dòng)力各分量做功進(jìn)行分析，研究尾流索股的尾流致振機(jī)理.圖10 給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的典型工況尾流索股一個(gè)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的氣動(dòng)剛度力、氣動(dòng)阻尼力以及結(jié)構(gòu)阻尼力做功的功率時(shí)程.對(duì)于結(jié)構(gòu)阻尼力，基于兩種理論模型計(jì)算得到的功率始終為負(fù)，表明結(jié)構(gòu)阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)尾流索股做負(fù)功.對(duì)于氣動(dòng)剛度力，兩種理論模型計(jì)算得到的結(jié)果均表明在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)氣動(dòng)剛度力對(duì)尾流索股做正功.對(duì)于氣動(dòng)阻尼力，基于準(zhǔn)定常理論模型計(jì)算得到的功率始終為負(fù)，基于非定常理論模型計(jì)算得到的功率不僅出現(xiàn)正值而且出現(xiàn)負(fù)值，但是，從整體來(lái)看，做負(fù)功的總量仍然大于做正功的總量，表明氣動(dòng)阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)尾流索股做負(fù)功.綜合上述分析，基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的尾流致振機(jī)理是一致的，即尾流致振由氣動(dòng)負(fù)剛度驅(qū)動(dòng).

圖8 氣動(dòng)剛度力時(shí)程圖Fig.8 Time histories of the aerodynamic stiffness forces

圖9 氣動(dòng)阻尼力時(shí)程圖Fig.9 Time histories of the aerodynamic damping forces

圖10 氣動(dòng)剛度力、氣動(dòng)阻尼力及結(jié)構(gòu)阻尼力做功時(shí)程Fig.10 Energies per unit time of the structural damping，aerodynamic stiffness and damping forces

4 結(jié)論

進(jìn)行了一系列風(fēng)洞試驗(yàn)，測(cè)量得到尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間分布，在此基礎(chǔ)上建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用Runge-Kutta 數(shù)值法求解方程，得到尾流致振響應(yīng)，對(duì)尾流致振機(jī)理進(jìn)行了分析研究，并與準(zhǔn)定常理論對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，得到如下主要結(jié)論：

1）在5.2≤X≤5.6、1.1≤Y≤2.1 區(qū)域，尾流索股發(fā)生了較大振幅振動(dòng)，且在發(fā)生振動(dòng)的區(qū)域內(nèi)，振動(dòng)頻率小于固有頻率.

2）在一個(gè)穩(wěn)定振動(dòng)周期內(nèi)，氣動(dòng)剛度力做正功，表明氣動(dòng)剛度力是尾流索股尾流致振的關(guān)鍵因素，即尾流致振由氣動(dòng)剛度力驅(qū)動(dòng).

3）準(zhǔn)定常模型計(jì)算結(jié)果與非定常模型計(jì)算結(jié)果吻合較好，表明準(zhǔn)定常模型能較好地反映尾流致振主要特征.