例析利用切線放縮法巧解函數(shù)不等式問題

廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) (516007) 潘敬貞山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué) (256200) 韓景崗廣東省汕頭市澄海中學(xué) (515800) 陳煥濤

評(píng)注：本題的第(2)問利用切線放縮法進(jìn)行放縮，問題的解答過程簡潔，思路清晰、自然.但在函數(shù)y=ex-1的x=1處取切點(diǎn)，然后得切線方程y=x，從而可得不等式ex-1≥x成為本題利用切線放縮法解決問題的關(guān)鍵.

評(píng)注：本題的第(2)問的求解其關(guān)鍵是在函數(shù)y=ex+1的x=-1處取切點(diǎn)，然后得切線方程y=x+2，從而得不等式ex+1≥x+2，后面問題的解決就相對(duì)比較順利.

評(píng)注：當(dāng)題目同時(shí)出現(xiàn)ex與lnx時(shí)，我們可以根據(jù)題意對(duì)ex或lnx進(jìn)行切線放縮，本題的第(2)問就如此，既可以對(duì)ex進(jìn)行切線放縮也可以對(duì)lnx進(jìn)行切線放縮，都可以順利解決問題.

評(píng)注：本題的求解過程較為復(fù)雜，難度較大，但切線放縮法在簡化解答過程，化解思維痛點(diǎn)等起到了很重要的作用.

評(píng)注：本題的第(2)問利用切線放縮法可得到一個(gè)新的常規(guī)函數(shù)，然后再對(duì)其求最小值即可解決問題，但需要注意兩次等號(hào)不能同時(shí)取到才保證了最后的等號(hào)取不到.

雖然說切線放縮法并不是萬能，但是在解有關(guān)函數(shù)不等式問題時(shí)，當(dāng)題目中的函數(shù)解析式含有ex或lnx的四則運(yùn)算時(shí)，就可以考慮利用切線放縮法對(duì)問題進(jìn)行處理、求解.利用切線放縮法解有關(guān)函數(shù)不等式問題可以有效突破解題智慧點(diǎn)，化解思維痛點(diǎn)，簡化解題過程，提高解題效率.在利用切線放縮法對(duì)問題進(jìn)行求解的過程中，其最關(guān)鍵是根據(jù)題意尋找到合適的切點(diǎn)，從而得出合適的切線，然后利用切線放縮法有效的將問題轉(zhuǎn)化為較為常規(guī)、簡單的問題進(jìn)行解答，最后巧妙的將問題解決.因此，在日常學(xué)習(xí)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，多動(dòng)手實(shí)踐，提升數(shù)學(xué)思維水平，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平大有裨益.