源自例題 現(xiàn)于真題 探究“新題”*

福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) (364000) 謝盛富

教材中的例習(xí)題凝聚著專(zhuān)家和編者們的智慧結(jié)晶，它們具有典型性、代表性和示范性，隱藏了解題思路、方法、背景和結(jié)論等.因此，對(duì)教材的開(kāi)發(fā)與利用顯得極其重要，通過(guò)拓展延伸，能豐富教師的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者以文[1]第92頁(yè)例2(Ⅰ)為例，進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”出一系列變式探究.

例題已知O為原點(diǎn)，直線(xiàn)y=x-2與拋物線(xiàn)y2=2x相交于點(diǎn)A，B.(Ⅰ)求證：OA⊥OB；(Ⅱ)求|AB|的長(zhǎng).

思考1：本小題簡(jiǎn)單、通俗易懂，似乎沒(méi)有特別之處，然想想，本題可逆嗎？換言之，能由“OA⊥OB”得到“直線(xiàn)方程為y=x-2”嗎？直線(xiàn)唯一嗎？

探究1 已知O為原點(diǎn)，一直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x相交于點(diǎn)A，B.探究：若OA⊥OB，試求直線(xiàn)l的方程.

結(jié)論1O為原點(diǎn)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn).若OA⊥OB，則直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0).反之亦成立.

思考2：直角頂點(diǎn)一定在原點(diǎn)O處嗎？拋物線(xiàn)上有無(wú)其它點(diǎn)C滿(mǎn)足“CA⊥CB”？

探究2 直線(xiàn)y=x-2與拋物線(xiàn)y2=2x相交于點(diǎn)A，B.試探究：在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)C(異于原點(diǎn)O)，滿(mǎn)足CA⊥CB？請(qǐng)說(shuō)明理由.

結(jié)論2 直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，則滿(mǎn)足CA⊥CB的點(diǎn)C有4個(gè).

思考3：直角頂點(diǎn)能在拋物線(xiàn)外的某點(diǎn)M嗎？即仍然有MA⊥MB嗎？

探究3 過(guò)拋物線(xiàn)y2=2x外一點(diǎn)M作兩條互相垂直的直線(xiàn)，且均與拋物線(xiàn)C相切，切點(diǎn)分別為A，B，求證點(diǎn)M必在某條定直線(xiàn)上，并求此定直線(xiàn)方程.

一些問(wèn)題直指關(guān)鍵。北京市人大內(nèi)務(wù)司法委員會(huì)主任委員陳永提問(wèn),目前醫(yī)養(yǎng)銜接還存在部門(mén)各自為政現(xiàn)象,如何加強(qiáng)統(tǒng)籌有效推進(jìn)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合?北京市衛(wèi)生健康委主任雷海潮則坦誠(chéng)回應(yīng)：北京市級(jí)層面已建立市老齡委員會(huì),成員單位已達(dá)到55家,為更好履行老齡委員會(huì)辦公室的有關(guān)職責(zé),我們還建議設(shè)立相應(yīng)的內(nèi)設(shè)機(jī)構(gòu)。

思考4：探究3中的直線(xiàn)AB過(guò)某一定點(diǎn)嗎？2019年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷理21、文21恰好考查了，背景是阿基米德三角形，這正是反映了高考題來(lái)源于教材例習(xí)題.事實(shí)上，教材例習(xí)題、往年高考題和一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)名題都可能成為某年的高考題，回歸課本，研磨真題，一題多變，多題歸一，值得師生們重視.

結(jié)論3 過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)M作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，若兩條切線(xiàn)互相垂直，則點(diǎn)M必在準(zhǔn)線(xiàn)上.反之也成立.

探究5 已知拋物線(xiàn)x2=2y，過(guò)直線(xiàn)y=-1上的動(dòng)點(diǎn)D作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是A，B.

(Ⅰ)證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；(Ⅱ)記兩條切線(xiàn)DA，DB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

解析：設(shè)點(diǎn)D(t,-1)，仿探究4的證明可得直線(xiàn)AB的方程為tx-y+1=0，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(0,1)，k1k2=-2(定值).

結(jié)論4 已知拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)，過(guò)直線(xiàn)y=m(m<0)上一點(diǎn)M作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，則切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(0,-m)，且兩切線(xiàn)的斜率之積為定值2pm.

思考6：探究1的條件“垂直”改成角度為定值，直線(xiàn)l是否還會(huì)恒過(guò)定點(diǎn)？

為什么會(huì)出現(xiàn)t=3和t=-1兩種情況呢？它們各代表什么含義？結(jié)合圖形分析可知，當(dāng)t=3時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)在x軸兩側(cè)；當(dāng)t=-1時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)在x軸同側(cè).因此，要使直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，必須在題中增加條件“A，B在x軸兩側(cè)”或“A，B在x軸同側(cè)”，此時(shí)直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)恒過(guò)定點(diǎn)(3,0)和(-1,0).

可見(jiàn)，緊扣教材，立足學(xué)情，充分發(fā)揮例習(xí)題的功能，抓住時(shí)機(jī)有針對(duì)性的啟發(fā)，讓學(xué)生盡可能提出不同的想法，激活他們參與變式探究的樂(lè)趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力而不是冰冷，提升思維的廣度和深度，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，抓住問(wèn)題變化的核心，經(jīng)歷問(wèn)題的層層遞進(jìn)，深度探究，能全面提高學(xué)生在各方面的綜合能力，解決問(wèn)題應(yīng)做到更好、更簡(jiǎn)、更巧，達(dá)到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.