“氣缸模型”常見(jiàn)的呈現(xiàn)方式與解法分析

福建 姚龍楷

“氣缸模型”是熱學(xué)中最具實(shí)用價(jià)值的模型，由于外界條件的變化而引起氣缸內(nèi)氣體的狀態(tài)發(fā)生變化，往往涉及封閉氣體、氣缸和活塞等多個(gè)研究對(duì)象，通過(guò)“氣缸模型”既能考查學(xué)生對(duì)力學(xué)、熱學(xué)知識(shí)掌握的程度，又能考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和解決問(wèn)題的能力。近五年的高考試卷幾乎年年有此類(lèi)問(wèn)題，預(yù)計(jì)其仍會(huì)是今后高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。因而在復(fù)習(xí)中要高度重視對(duì)氣缸類(lèi)問(wèn)題的歸類(lèi)分析，從鉆研典型習(xí)題入手，達(dá)到分析和解決同類(lèi)問(wèn)題的目的，提高觸類(lèi)旁通的能力。

其解題的一般思路是：以封閉氣體為研究對(duì)象，列出理想氣體的狀態(tài)方程；以封閉氣體的物體(如活塞、桿等)為研究對(duì)象，列出力的平衡關(guān)系方程；再結(jié)合有關(guān)幾何關(guān)系，聯(lián)立求解待求的物理量。

一、單氣缸單氣體單過(guò)程問(wèn)題

【例1】一圓筒形氣缸靜置于地面上，如圖1所示。氣缸的質(zhì)量為M，活塞(連同手柄)的質(zhì)量為m，氣缸內(nèi)部的橫截面積為S，大氣壓強(qiáng)為p0，平衡時(shí)氣缸的容積為V，現(xiàn)用手握住活塞手柄緩慢向上提，設(shè)氣缸足夠長(zhǎng)，在整個(gè)上提過(guò)程中氣缸內(nèi)氣體溫度保持不變，并不計(jì)氣缸內(nèi)氣體的質(zhì)量及活塞與氣缸壁間的摩擦。求將氣缸剛提離地面時(shí)活塞上升的距離。

圖1

【解析】設(shè)氣缸內(nèi)氣體原來(lái)的壓強(qiáng)為p1，活塞處于平衡狀態(tài)，則有p1S=p0S+mg①

氣缸剛提離地面時(shí)，設(shè)氣缸內(nèi)氣體壓強(qiáng)為p2，地面對(duì)氣缸的支持力為零，氣缸處于平衡狀態(tài)，則

p0S=p2S+Mg②

對(duì)于氣缸內(nèi)氣體由玻意耳定律可知

p1V=p2(V+Sh) ③

其中h為活塞上升的距離。由①②③式可得

【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程解決實(shí)際問(wèn)題，要選擇一定質(zhì)量的理想氣體為研究對(duì)象，分析它們平衡時(shí)初狀態(tài)和末狀態(tài)的狀態(tài)參量是解題的關(guān)鍵。特別是題目給出滿足特定條件狀態(tài)下氣體壓強(qiáng)的分析尤為重要。

對(duì)本例題研究活塞的平衡初狀態(tài)，由①可求出p1；研究氣缸的臨界平衡末狀態(tài)(氣缸剛要離地時(shí)的平衡態(tài))，由②式求出p2。綜合上述兩個(gè)力學(xué)平衡方程和一個(gè)理想氣體狀態(tài)方程，就能找出解題的突破口。

二、單氣缸單氣體雙過(guò)程問(wèn)題

【例2】如圖2所示，一直立的氣缸由橫截面積不同的兩圓筒連接而成，活塞A、B用一長(zhǎng)為2l的不可伸長(zhǎng)的細(xì)線連接，它們可在筒內(nèi)無(wú)摩擦地上下滑動(dòng)。A、B的橫截面積分別為SA=20 cm2，SB=10 cm2。A、B之間有一定質(zhì)量的理想氣體。A的上方和B的下方都是大氣，大氣壓強(qiáng)始終保持為1.0×105Pa。

圖2

(1)當(dāng)氣缸內(nèi)氣體的溫度為600 K、壓強(qiáng)為1.2×105Pa時(shí)，活塞A、B的平衡位置如圖所示。已知活塞B的質(zhì)量mB=1 kg，求活塞A的質(zhì)量mA。(計(jì)算時(shí)重力加速度取g=10 m/s2)

(2)當(dāng)氣缸內(nèi)氣體溫度由600 K緩慢降低時(shí)，活塞A和B之間的距離保持不變，并一起向下移動(dòng)(可認(rèn)為兩活塞仍處在平衡狀態(tài))，直到活塞A移到兩圓筒的連接處。若此后氣體溫度繼續(xù)下降，直到活塞A和B之間的距離開(kāi)始小于2l為止。試分析在降溫的整個(gè)過(guò)程中，氣缸內(nèi)氣體壓強(qiáng)的變化情況，并求出氣體的最低溫度。

【解析】(1)活塞A受四個(gè)力作用，由平衡條件得

p0SA+mAg+F1-p1SA=0 ①

活塞B受四個(gè)力作用，由平衡條件得

p1SB+mBg-F1-p0SB=0 ②

其中F1為細(xì)線的拉力，p0=1.0×105Pa，p1為氣缸中氣體的壓強(qiáng)，p1=1.2×105Pa

將①②式聯(lián)立解得mA=1 kg

(2)氣缸內(nèi)溫度從600 K緩慢降低時(shí)，氣體先等壓壓縮，直到活塞A移到兩圓筒的連接處為止，然后再等容降溫，再到細(xì)線張力變?yōu)榱恪?/p>

當(dāng)活塞A和B之間的距離小于2l，細(xì)線張力變?yōu)榱?，活塞B靜止，作用于B的合力為零，即

p0SB-p3SB-mBg=0 ③

解得p3=9×104Pa

氣體經(jīng)歷的兩個(gè)過(guò)程三個(gè)狀態(tài)如下所示

p3=9×104Pa

V3=SB·2l

T3=?

由③④⑤式解得T3=300 K

【點(diǎn)評(píng)】解本題關(guān)鍵在于對(duì)每一個(gè)物理狀態(tài)、情景作深層次的具體分析，在第一問(wèn)中細(xì)線是處于張緊狀態(tài)的，所以，活塞A和B受四個(gè)力而不是三個(gè)力，分析出這一點(diǎn)后才能用平衡方程求解mA。

解答第二問(wèn)要弄清楚整個(gè)過(guò)程分兩個(gè)階段，第一階段由題中所給的狀態(tài)到活塞A落在兩筒的連接處，這一階段氣體的狀態(tài)變化屬于等壓過(guò)程，而兩個(gè)活塞仍處于平衡狀態(tài)，細(xì)線仍張緊；根據(jù)這個(gè)才能判斷氣體體積的變化，從而可求氣體的溫度T2。此后氣體溫度繼續(xù)下降進(jìn)入第二階段，題目指出“氣體溫度繼續(xù)下降，直到活塞A和B之間的距離開(kāi)始小于2l為止”，這就表明在A、B活塞間距等于2l的過(guò)程，氣體的狀態(tài)變化屬于等容變化。在A、B間距剛要小于2l時(shí)氣體的溫度就是第二問(wèn)要求的最低溫度T3。

由本例的解答過(guò)程給我們的啟示是：即使氣體變化含有多個(gè)過(guò)程，只要分析清楚各階段的變化特征，找出狀態(tài)參量的變化關(guān)系，就能應(yīng)用相應(yīng)的定律求解，難題也就不難了。

另外，對(duì)于多個(gè)研究對(duì)象和多過(guò)程的問(wèn)題，若能靈活應(yīng)用整體法與全過(guò)程法，往往能使解題簡(jiǎn)化。

對(duì)本例題，(1)對(duì)A、B兩活塞進(jìn)行整體分析受力，由平衡條件得p0(SA-SB)+(mA+mB)g=p1(SA-SB) ⑥

聯(lián)立③⑥⑦即可得T3=300 K。

三、單氣缸雙氣體單過(guò)程問(wèn)題

【例3】活塞把密閉氣缸分成左、右兩個(gè)氣室，每室各與U形管壓強(qiáng)計(jì)的一臂相連。壓強(qiáng)計(jì)的兩臂截面處處相同。U形管內(nèi)盛有密度為ρ=7.5×102kg/m3的液體。開(kāi)始時(shí)左、右兩氣室的體積都為V0=1.2×10-2m3，壓強(qiáng)都為p0=4.0×103Pa，且液體的液面處在同一高度，如圖3所示?，F(xiàn)緩緩向左推進(jìn)活塞，直到液體在U形管中的高度差h=40 cm。求此時(shí)左、右氣室的體積V1、V2。假定兩氣室的溫度保持不變。計(jì)算時(shí)可以不計(jì)U形管和連接管道中氣體的體積。取g=10 m/s2。

圖3

【解析】以p1、V1表示壓縮后左室氣體的壓強(qiáng)和體積，p2、V2表示這時(shí)右室氣體的壓強(qiáng)和體積。則有

p1V1=p0V0①

p2V2=p0V0②

V1+V2=2V0③

p1-p2=Δp=ρgh④

解以上四式得

解方程并選擇物理意義正確的解得到

代入數(shù)值得V1=8.0×10-3m3

V2=2V0-V1=1.6×10-2m3

【點(diǎn)評(píng)】1.本題破題要點(diǎn)：“緩慢向左推進(jìn)活塞，直到液體在U形管中的高度差h=40 cm”。隱含因左邊氣體的壓強(qiáng)大、右邊氣體的壓強(qiáng)小導(dǎo)致左、右兩邊液面出現(xiàn)高度差的信息，在達(dá)到h=40 cm后有平衡方程：p1=p2+pgh。

2.對(duì)有相互聯(lián)系的兩部分(或幾部分)氣體，我們簡(jiǎn)稱之為“關(guān)聯(lián)氣體”。研究該類(lèi)問(wèn)題時(shí)：(1)一般涉及兩類(lèi)研究對(duì)象：一是取質(zhì)量一定的封閉氣體為熱學(xué)研究對(duì)象；二是取封閉氣體的液柱或活塞為力學(xué)研究對(duì)象。(2)兩種研究對(duì)象的聯(lián)系：氣體的壓強(qiáng)、氣體的體積。(3)分析思路：熱學(xué)重在狀態(tài)參量的分析，力學(xué)重在通過(guò)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)利用牛頓第二定律或平衡條件確定氣體的壓強(qiáng)。

四、雙氣缸雙氣體單過(guò)程問(wèn)題

圖4

【解析】活塞平衡時(shí)，有

pASA+pBSB=p0(SA+SB)

已知SB=2SA

B中氣體初、末態(tài)溫度相等，設(shè)末態(tài)體積為VB，則有

五、雙氣缸雙氣體雙過(guò)程問(wèn)題

【例5】如圖5所示，A、B為兩個(gè)固定的、橫截面積相同的氣缸，各有一個(gè)由硬質(zhì)細(xì)桿連接的無(wú)摩擦活塞。兩個(gè)氣缸中分別充入理想氣體，當(dāng)A中氣體的體積為B中氣體體積的1.8倍時(shí)，活塞處于平衡狀態(tài)。若在A活塞上加一水平推力，A、B中氣體的體積相等。若將該推力水平向右加在B活塞上，那么A、B中氣體的體積比是多少?(設(shè)氣體溫度不變)

圖5

【解析】設(shè)B氣體的初態(tài)體積為VB=V，壓強(qiáng)為pB=p，根據(jù)題意A氣體的初態(tài)體積VA=1.8V及活塞連桿初態(tài)的平衡條件，可知A氣體初態(tài)的壓強(qiáng)也是p。

設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0，活塞橫截面積為S，水平推力為F。F向左作用于A活塞，平衡時(shí)的狀態(tài)為系統(tǒng)的中間狀態(tài)；F向右作用于B活塞，平衡時(shí)的狀態(tài)為系統(tǒng)的末狀態(tài)。由題意可知系統(tǒng)在中間狀態(tài)時(shí)VA1=VB1=1.4V，系統(tǒng)在末狀態(tài)時(shí)VA2與VB2之比待求。

由初態(tài)到中間態(tài)，由玻意耳定律

在中間狀態(tài)，F(xiàn)水平作用于A活塞，有平衡方程

pA1+p0S-F-pB1S-p0S=0 ③

又VA2+VB2=2.8V⑥

對(duì)B有pBVB=pB1VB1=pB2VB2

代入⑦式，注意到pB=p，VB=V

對(duì)活塞連桿有平衡方程

pA2S+p0S+F-pB2S-p0S=0

對(duì)A有pAVA=pA1VA1=pA2VA2

代入⑤⑦⑨，注意到pA=p，VA=1.8V

解方程并選擇物理意義正確的解，得K=3

【點(diǎn)評(píng)】A、B氣體的狀態(tài)變化屬等溫過(guò)程，遵循玻意耳定律。A、B中氣體的壓強(qiáng)關(guān)系，通過(guò)活塞連桿的平衡方程可得。本題A、B氣體分別涉及三個(gè)氣體狀態(tài)，各有兩個(gè)等溫過(guò)程。活塞連桿除初態(tài)外，有兩個(gè)平衡態(tài)，有兩個(gè)平衡方程。所以本題應(yīng)用玻意耳方程和活塞平衡方程聯(lián)立求解。

結(jié)束語(yǔ)