例析跨滑輪連接體的疊加問題

安徽 董廷燦

一、跨滑輪連接物體間繩長不變

1.含有定滑輪

【例1】如圖1所示，木板質(zhì)量為M、長度為L，可看作質(zhì)點的小木塊質(zhì)量為m，水平地面光滑，一根不計質(zhì)量的輕繩跨過定滑輪分別與木板和小木塊連接，小木塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，開始時小木塊靜止在木板最右端，現(xiàn)用水平向右的力F拉木板直到小木塊運動到木板最左端，則拉力做功至少為

圖1

( )

A.μmgLB.2μmgL

【點評】本題考查拉力做功問題，解決好本題的關(guān)鍵在于理解并掌握以下三點：

1.“拉力至少做多少功”對應(yīng)的臨界條件是小物塊緩慢運動，即受力平衡；

2.繩子跨過滑輪拉力大小處處相等，因為繩長不變，所以與繩子直接相連的兩個物體在沿著繩的方向上具有相同的速率；

3.板塊相對地面的位移大小均為相對位移即板長的一半。

【變式1】如圖2所示，A、B、C三個物塊質(zhì)量分別為mA=1 kg、mB=2 kg、mC=3 kg，三個物塊間及C與地面間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.1，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，輕繩與滑輪間的摩擦可忽略不計，輕繩兩端跨過定滑輪分別與A、C兩物塊相連接。(取g=10 m/s2)

圖2

(1)若要用力將物塊C拉動，則作用在物塊C上水平向左的拉力F最小值為多少？

(2)若要用力將物塊C從物塊B下面拉出，則作用在物塊C上水平向左的拉力F最小值為多少？

【解析】(1)由于A和C用輕繩相連，故AC有相同的速率；而物塊B分別受到A和C的摩擦力，B、C之間的滑動摩擦力為FfBC=μ(mA+mB)g=3 N，A、B之間的滑動摩擦力為FfAB=μmAg=1 N，因為FfBC>FfAB，所以，B相對C靜止，簡化模型如圖3所示。

圖3

要將物塊C拉動，則B、C整體與A相對滑動，對B、C整體分析可知其受到A施加的水平向右的滑動摩擦力為FfAB=μmAg=1 N，由相互作用條件可知BC整體對A施加的水平向左的滑動摩擦力FfBA=1 N，地面對B、C整體施加的水平向右的滑動摩擦力為Ff地=μ(mA+mB+mC)g=6 N，要使拉力F最小，則物塊緩慢滑動，即平衡狀態(tài)，由平衡條件得輕繩拉力為FT=FfBA=1 N，作用在物塊C上水平向左的拉力最小值為F=FT+FfAB+Ff地=8 N。

對B分析，根據(jù)牛頓第二定律得FfCB-FfAB=mBaB

即μ(mA+mB)g-μmAg=mBaB

解得aB=1 m/s2

對A受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得

對C分析，根據(jù)牛頓第二定律得

聯(lián)立解得F′=14 N

【點評】變式1與例1相比，研究對象更多，綜合性更強，難度更大。第(1)問的難點在于分析“用力將物塊C拉動”時，物塊B是隨物塊C一起向左運動，還是隨物塊A一起向右運動，還是仍然處于靜止?fàn)顟B(tài)。遇到此類問題通常采用假設(shè)法，即假設(shè)A、B相對靜止，B、C之間相對滑動；也可以假設(shè)B、C相對靜止，A、B之間相對滑動。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)A、B相對滑動時，B、C之間的摩擦力小于最大靜摩擦力，如果B、C之間相對滑動，B、C之間的摩擦力為3 N(達(dá)到最大摩擦力，或者說是滑動摩擦力)，那么A、B之間的靜摩擦力為至少3 N，不符合題意，綜上所述，B、C相對靜止。合理地利用簡化模型圖，并與例1類比處理可以達(dá)到事半功倍的效果。第(2)問與第(1)問相比，對應(yīng)的臨界條件有所不同，應(yīng)特別注意前者對應(yīng)的臨界條件是C的加速度比B的大，后者對應(yīng)的臨界條件是B相對于C靜止并隨C一起向左緩慢運動。

【變式2】如圖4所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過定滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行。A與B間、B與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為

圖4

( )

【解析】當(dāng)木板與水平面間的夾角為45°時，兩物塊剛好要滑動，由題意可知，A相對B向上運動，對A受力分析如圖5，沿斜面方向A、B之間的滑動摩擦力Ff1=μFN1=μmgcos45°

圖5

由平衡條件得FT=mgsin45°+Ff1

隔離B受力分析如圖6，沿斜面方向B與木板之間的滑動摩擦力Ff2=μFN2=3μmgcos45°

圖6

由平衡條件得2mgsin45°=FT+Ff1+Ff2

聯(lián)立得2mgsin45°=mgsin45°+5μmgcos45°

【點評】變式2與例1相比，沒有已知拉力F，而用重力沿斜面向下的分力充當(dāng)拉力，作為2020年山東高考題，本題的難點在于臨界條件下靜摩擦力方向的判定，即對“相對運動趨勢”的判定，所謂“相對運動趨勢”是一種想動而沒有動的狀態(tài)，表面上是靜止的，內(nèi)心卻是運動的。對“相對運動趨勢”的判定，常采用假設(shè)法，假設(shè)接觸面光滑，則B相對于A沿斜面向下運動，從而作出如圖5、圖6所示受力分析圖，再結(jié)合平衡條件進行求解。

2.含有動滑輪

【例2】如圖7所示，物體A、B的質(zhì)量分別為mA=6 kg、mB=4 kg，A與B、B與地面之間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.3，在水平外力F作用下，A和B一起勻速運動，求A對B和地面對B的摩擦力的大小和方向(取g=10 m/s2)。

圖7

【解析】對A和B組成的系統(tǒng)受力分析，可得水平地面對B的摩擦力為

Ff地=μ(mA+mB)g=30 N，方向水平向左，所以F=Ff地=30 N

解得FfBA=15 N，方向水平向左；

由牛頓第三定律可知，A對B的摩擦力大小為FfAB=FfBA=15 N，方向向右。

【變式】如圖8所示，A為放在水平光滑桌面上的木板，質(zhì)量為1 kg。木塊B、C質(zhì)量分別為3 kg和1 kg。接觸面間動摩擦因數(shù)均為0.1，不計細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2。欲使物體A的加速度為2 m/s2，則水平拉力F為多大？

圖8

【點評】例2雖然涉及動滑輪，但因為A、B相對靜止，可以采用整體法分析；變式后與繩子兩端相連的兩木塊B、C因為相對滑動，加速度并不相等，與定滑輪相比，問題變得更加復(fù)雜，需結(jié)合動滑輪的特點——輕繩的拉力等于水平拉力F的一半，再分別對A、B和C進行隔離法分析。

3.同時含有動滑輪和定滑輪

【例3】如圖9所示，水平桌面上的木板B和物塊A(可視為質(zhì)點)用細(xì)繩通過光滑動滑輪和光滑定滑輪與鉤碼C連接，木板B長L=1 m，動滑輪兩側(cè)細(xì)繩保持水平且足夠長。已知A與B的動摩擦因數(shù)μ1=0.4，B與水平桌面間的動摩擦因數(shù)μ2=0.1，物塊A、木板B的質(zhì)量分別為mA=1 kg、mB=2 kg，不計細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2。開始時A在B的中間位置且A、B、C均靜止。

圖9

(1)求鉤碼的質(zhì)量至少為多大才能使A、B發(fā)生相對滑動；

【解析】“A、B恰好發(fā)生相對滑動”對應(yīng)的臨界條件是A、B的加速度相等且兩者之間的摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力，相對運動前A、B、C三個物體加速度大小相同。

(1)設(shè)細(xì)繩對鉤碼C的拉力為FT，鉤碼的質(zhì)量至少為mC0，分別對A、B、C受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得

mC0g-FT=mC0a

解得a=5.0 m/s2，mC0=3.6 kg

即鉤碼的質(zhì)量至少為3.6 kg，才能使A、B發(fā)生相對滑動。

根據(jù)位移關(guān)系可得aA+aB=2aC

【點評】本題同時含有動滑輪和定滑輪，是例2及其變式的進一步拓展，難度加大。第(1)問中三個物體是相對靜止的，加速度相等，可以用整體法分析；第(2)問中三個物體是相對滑動的，加速度不相等，必須用隔離法分析。適時地選擇整體法和隔離法，并結(jié)合A、B、C三個物體的運動狀態(tài)、位移關(guān)系和繩長關(guān)系確定三個物體的加速度關(guān)系，是解決好此類問題的關(guān)鍵。

二、跨滑輪連接物體間繩長改變

【例4】如圖10所示，質(zhì)量為m的人手握輕繩的一端站在質(zhì)量為M的木板上，輕繩的另一端繞過定滑輪拴住木板，木板放在光滑固定的水平臺面上。當(dāng)人用力F拉繩時，人和板共同加速前進，如果人與木板的質(zhì)量關(guān)系為m>M，則板對人的摩擦力Ff=________F，對人做________功；如果是m

圖10

【變式1】如圖11所示，聰明愛玩的小明將一個滑輪固定在豎直墻上，另一端固定在自己的滑板車上，將兩個滑輪用繩子組裝成滑輪組。小明站在滑板車上拉動手中的繩子，他用10 N的拉力在3 s內(nèi)使自己和滑板車一起沿水平地面勻速向墻運動了1.2 m?；喼亍⑤S摩擦和繩重均忽略不計。求：

圖11

(1)滑板車受到地面的摩擦力；

(2)在3 s內(nèi)小明的拉力做功；

(3)動滑輪對滑板車?yán)Φ墓β省?/p>

【解析】(1)把小明、滑板車和動滑輪看作一個整體，由圖11可知，滑板車受到的摩擦力由三段繩子承擔(dān)，每一段的拉力也等于小明作用在繩子自由端的拉力，當(dāng)系統(tǒng)勻速運動時，由平衡條件得：Ff=3F=30 N。

(2)在3 s內(nèi)繩子自由端移動的距離s=3x=3.6 m，則拉力所做的功為W=Fs=36 J。

【變式2】如圖12所示，木板質(zhì)量M=4 kg、長度L=1 m，可看作質(zhì)點的小木塊質(zhì)量m=2 kg，水平地面光滑。一根不計質(zhì)量的輕繩跨過定滑輪分別與木板和彈簧連接，剛開始彈簧處于原長，其勁度系數(shù)為k=10 N/m，且右端與小木塊相連；小木塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ=0.3，開始時小木塊靜止在木板右端，不計細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2?，F(xiàn)用水平向右的力F拉木板直到小木塊運動到木板左端，則拉力至少做多少功？

圖12

圖13

【點評】例4及其變式1中雖然繩長是變化的，但人板相對靜止，采用整體法處理后，問題簡化。例4的難點在于摩擦力方向的判定，變式1的難點在于力的作用點的位移與物體位移之間的關(guān)系，變式2中雖然繩長不變，但是因為一端與輕彈簧相連，可以看作彈性繩模型，第一個過程因板塊是相對靜止的，可以采用整體法處理，第二個過程可以看作繩長不變模型，類比例1，采用隔離法處理。