類9階KdV方程的有理解

韓 笑，魏光美

(北京航空航天大學 數學科學學院，北京 100191)

0 引言

隨著近代力學和物理學對非線性現象研究的逐步深入，不斷地涌現出大量具有非線性色散或耗散的非線性發(fā)展方程。關于非線性發(fā)展方程的求解方法有逆散射方法、B?cklund變換[1-2]、Hirota 雙線性方法[3-5]以及各種直接法如 Tanh 法[6-8]等。這些方法中，Hirota 雙線性方法是由著名的日本數學家、物理學家 Ryogo Hirota 提出，他定義了一種新的微分算子——Hirota 雙線性算子。在 Hirota 雙線性算子的基礎上，馬文秀教授提出了廣義雙線性微分算子[9-11]，廣泛應用于求解非線性方程有理解的過程中。

在非線性問題中，KdV 方程是一類重要的物理模型，經常用于模擬淺水波、分層內部波和離子聲波等。在過去幾十年里，人們投入大量工作來研究 3 階和 5 階 KdV 方程[12-13]，而7 階的 KdV 方程和9階KdV方程則相對較少。文獻[14]利用廣義雙線性算子的定義，將7階KdV方程基于素數p=3,5,7,擴展成3個不同的類7階KdV方程，并利用符號計算求出了雙線性方程的多項式解，進而求出了類7階KdV方程的有理解。文獻[15]通過tanh-coth方法和Hirota方法分別求出了9階KdV方程的單孤子解和其他形式解。本文引入廣義雙線性微分算子,并基于素數p=2,3,5,7的4種廣義雙線性算子得到了4個類9階KdV方程，改變了f(x)的設法，并通過Mathematica符號計算，得到了4個廣義雙線性微分方程f關于空間變量x的10次以內的全部多項式解?；谪悹柖囗検嚼碚摚玫搅?個類9階KdV方程的21種有理解并對這些解進行了歸類。

1 9 階KdV 方程

9 階 KdV 方程[15]的表達式為

ut+45uxu6x+45uu7x+210u3xu4x+

1260uuxu4x+630u2u5x+9450u2uxu2x+

3150u3u3x+4725u4ux+u9x=0

(1)

式中u為關于時間變量t和空間變量x的實函數；uix(i=1,2,…,9) 為函數u關于變量x的i階偏導數。

通過變換

u=2(lnf)xx

(2)

可得到方程 (1) 的雙線性形式[3]為

(3)

其中D為 Hirota 雙線性算子，定義如下[4]：

(4)

2 類9階KdV方程

基于素數p，將雙線性算子擴展成如下廣義雙線性算子[9]：

(5)

式中：

分別令p=2,p=3,p=5和p=7,將雙線性方程 (3) 擴展成如下廣義雙線性微分方程：

(6)

(7)

(8)

(9)

將方程(6)，方程(7)，方程(8)和方程(9)分別轉化成如下非線性發(fā)展方程：

2fxtf-2fxft+2f10xf-20f9xfx+90f8xf2x-

240f3xf7x+420f6xf4x-252(f5x)2=0

(10)

2fxtf-2fxft+90f8xf2x+252(f5x)2=0

(11)

2fxtf-2fxft+2f10xf+252(f5x)2=0

(12)

2fxtf-2fxft+20f9xfx+420f4xf6x-

252(f5x)2=0

(13)

由貝爾多項式的一般理論，通過因變量變換

u=2(lnf)x

(14)

將非線性發(fā)展方程(10)，(11)，(12)和方程(13)轉化成如下4個類9階KdV非線性微分方程：

(15)

23 040u3u6x+46 080uuxu6x+5 760u2u7x+

11 520uxu7x=0

(16)

537 600u3uxxu3x+1 612 800uuxuxxu3x+

322 560u2u2xu4x+645 120uxuxxu4x+322 560uu3xu4x+

107 520uuxxu5x+53 760u3xu5x+7 680u3u6x+

46 080uuxu6x+30 720u2xu6x+5 760u2u7x+

11 520uxu7x+2 560uu8x+512u9x=0

(17)

268 800×u3u2xu3x+806 400uuxuxxu3x+

241 920u2u2xu4x-161 280uxu2xu4x+80 640uu3xu4x-

11 520u3u6x+23 040uuxu6x+5 760u2u7x+

1 280uu8x=0

(18)

因此f是方程 (6)～(9) 的解當且僅當u=2(lnf)x是方程 (15)～(18) 的解。

本文討論方程 (6)～(9) 的多項式解，進而生成類 9 階 KdV 方程 (15)～(18) 的有理解。

3 類9階KdV方程的有理解

3.1 p= 2時的有理解

這一節(jié)討論廣義雙線性微分方程 (6) 的多項式解進而求出方程 (15) 的有理解。利用符號計算工具軟件 Mathematica，可以得到方程 (6) 的x的10次以內的多項式解：

(19)

具體地可以得到方程 (6) 的如下5類多項式解：

f1=x+k0

(20)

f2=x2+k1x+k0

(21)

f3=x3+k2x2+k1x+k0

(22)

f4=x4+k3x3+k2x2+k1x+k0

(23)

(24)

式中k0,k1,k2,k3,k8為任意常數。

分析發(fā)現，若f(x,t)為雙線性方程的解，則g(x,t)=a(t)f(x,t)也滿足原雙線性方程，因此方程(6)的多項式解可擴展為：

f1=a(t)(x+k0)

(25)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(26)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(27)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(28)

(29)

式中：a(t)為關于t的任意函數；k0,k1,k2,k3,k8為任意常數。

通過變換u=2(lnf)x，上述多項式解生成了方程(15)以下5族有理解：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8為任意常數。

3.2 p= 3時的有理解

首先考慮方程(7)的多項式解，然后通過方程(7)的多項式解求出方程(16)的有理解。

同理，可以找到方程(7)的如下6類多項式解：

f1=a(t)(x+k0)

(35)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(36)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(37)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(38)

(39)

(40)

通過變換u=2(lnf)x，上述多項式解生成了方程 (16) 以下6族有理解：

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8,k9為任意常數。

3.3 p= 5時的有理解

本節(jié)考慮方程 (8) 的多項式解進而求出方程 (17) 的有理解。同理，可得到方程 (8) 的5類多項式解：

f1=a(t)(x+k0)

(47)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(48)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(49)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(50)

(51)

上述5類多項式解通過變換u=2(lnf)x生成了方程 (17) 的以下5族有理解：

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8為任意常數。

3.4 p= 7時的有理解

同理求出方程 (9) 的如下5族多項式解：

f1=a(t)(x+k0)

(57)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(58)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(59)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(60)

(61)

上述5類多項式解通過變換u=2(lnf)x生成了方程 (18) 的以下5族有理解：

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8為任意常數。

4 結束語

本文通過符號計算，研究了類9階KdV方程的有理解。首先利用基于素數p=2,3,5,7的廣義雙線性微分算子得到了4個廣義雙線性微分方程，進而得到了4個相應的類9階KdV方程。利用符號計算工具軟件Mathematica，求得廣義雙線性方程(6)～(9)關于x的10次以內的全部多項式解，構造了類9階KdV方程(15)～(18)的21類有理解。發(fā)現基于素數p=2,3,5,7的有理解中分母x的次數小于等于4時的有理解是完全一樣的。本文改變了求解多項式解的設法，進而求出了雙線性方程10次以內的全部多項式解。通過本文的研究可以注意到，通過新設法求解多項式解會更簡單、更全面，因此對于高階KdV方程的有理解研究具有借鑒意義。我們將進一步研究更高階方程的有理解。