基于I＆I 理論的可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)自適應(yīng)分散控制①

劉 樂(lè)， 丁素艷， 高 杰， 方一鳴

（1.燕山大學(xué) 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島066004； 2.智能控制系統(tǒng)與智能裝備教育部工程研究中心，河北 秦皇島066004）

可逆冷帶軋機(jī)是生產(chǎn)特種鋼、普通碳鋼等帶鋼產(chǎn)品的專(zhuān)用設(shè)備［1］，在軋制生產(chǎn)中，其左卷取機(jī)、主軋機(jī)和右卷取機(jī)通過(guò)帶鋼撓性連接在一起，三者構(gòu)成了一個(gè)具有多變量、非線性、強(qiáng)耦合和不確定特征的復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)［2］。 國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題進(jìn)行了大量研究［3-6］，但這些控制器設(shè)計(jì)方法大部分需要構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，在某種程度上增加了系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。 Astolfi 和Ortega 提出的浸入與不變（immersion and invariance，I＆I）理論是一種較新穎的自適應(yīng)控制方法［7］，它無(wú)需構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，不僅能夠處理非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題，還能夠處理系統(tǒng)中不確定參數(shù)的自適應(yīng)問(wèn)題。 本文基于I＆I 理論提出了一種冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)自適應(yīng)分散控制方法，實(shí)現(xiàn)了冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)的分散跟蹤控制，并具有較好的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)性能。

1 可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)模型

可逆冷帶軋機(jī)主要由左卷取機(jī)、主軋機(jī)、右卷取機(jī)和導(dǎo)向輥等組成，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、投資少、運(yùn)行成本低等優(yōu)點(diǎn)，適用于不同產(chǎn)品規(guī)格的小批量生產(chǎn)。 可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型［1］為：

式中sys1，sys3分別為左、右卷取機(jī)張力子系統(tǒng)，sys2為主軋機(jī)速度子系統(tǒng)；Bui為摩擦系數(shù)，kg·m2／s；ηi為減速比；Vi為線速度，m／s；Ki為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)，N·m／A；Ji為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；ui，Ksi分別為可控硅整流裝置的控制電壓（V）和放大倍數(shù)；Ii，ri和li分別為電樞回路的電流（A）、電阻（Ω）和電感（H）；E為楊氏彈性模量，N／m2；R1，R3分別為左、右卷取機(jī)鋼卷的半徑，m；R2為主軋機(jī)工作輥的半徑，m；F1，F(xiàn)3分別為主軋機(jī)兩側(cè)的帶鋼張力，N；A1，A2分別為主軋機(jī)兩側(cè)的帶鋼截面積，m2；δ0，χ0分別為無(wú)張力時(shí)的前、后滑系數(shù)；Kδ，Kχ分別為張力對(duì)前、后滑的影響系數(shù)；B，ρ分別為帶鋼的寬度（m）和密度（kg／m3）；H，h分別為主軋機(jī)兩側(cè)的帶鋼厚度，m；L為主軋機(jī)與左、右卷取機(jī)間的距離，m；Mz為主軋機(jī)的軋制力矩，N·m；Δ2＝ΔBu2V2／J2＋ΔMzR2／（J2η22），為系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)ΔBu2和負(fù)載擾動(dòng)ΔMz引起的非匹配不確定項(xiàng)，m／s2。

為方便起見(jiàn)，文中下腳標(biāo)i＝1，2，3 分別表示sys1，sys2和sys3的相關(guān)參數(shù)。

2 非匹配不確定項(xiàng)的SMO 設(shè)計(jì)

考慮到SMO 方法構(gòu)造簡(jiǎn)單且觀測(cè)精度高［8］，因此，為了削弱Δ2對(duì)系統(tǒng)性能的影響，本文采用SMO 方法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)觀測(cè)。 假設(shè)Δ2的變化率滿(mǎn)足其中μ2＞0。 SMO 的具體構(gòu)造形式如下：

式中λ1為V2的觀測(cè)值；λ2為非匹配不確定項(xiàng)Δ2的觀測(cè)值；σ1為λ1對(duì)V2的觀測(cè)誤差；k1，k2均為觀測(cè)器的調(diào)節(jié)參數(shù)，并且滿(mǎn)足k1＞0，k2＞μ2。

結(jié)合文獻(xiàn)［9］和［10］可知，式（2）所構(gòu)造的SMO是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

3 基于I＆I 理論的攝動(dòng)參數(shù)估計(jì)器設(shè)計(jì)

假設(shè)相對(duì)于參數(shù)估計(jì)器的動(dòng)態(tài)特性，摩擦系數(shù)Bu1，Bu3是慢時(shí)變的，即?Bu1＝?Bu3≈0。

首先，定義參數(shù)估計(jì)誤差：

式中＾Bu1＋δ1（V1），＾Bu3＋δ3（V3） 分別為Bu1，Bu3的估計(jì)值；δ1（V1）和δ3（V3）均為待設(shè)計(jì)的調(diào)節(jié)函數(shù)。

將參數(shù)估計(jì)誤差ε1，ε3所對(duì)應(yīng)的流形面定義為：

結(jié)合式（1），將摩擦系數(shù)Bu1，Bu3的自適應(yīng)律分別設(shè)計(jì)為：

將調(diào)節(jié)函數(shù)δ1（V1），δ3（V3）分別取為：

由式（8）可知，參數(shù)估計(jì)誤差ε1，ε3是漸近穩(wěn)定的，且能夠以指數(shù)規(guī)律單調(diào)收斂至原點(diǎn)，即：

在I＆I 自適應(yīng)方法中，系統(tǒng)的攝動(dòng)參數(shù)Bu1，Bu3分別用＾Bu1＋δ1（V1），＾Bu3＋δ3（V3）來(lái)估計(jì)，其中調(diào)節(jié)函數(shù)δ1（V1），δ3（V3）的引入使得參數(shù)自適應(yīng)律由單一的積分作用轉(zhuǎn)變?yōu)楸壤e分作用，突破了傳統(tǒng)自適應(yīng)方法所遵循的確定等價(jià)原則，增加了參數(shù)估計(jì)器設(shè)計(jì)的靈活性。 且在I＆I 自適應(yīng)方法中，將攝動(dòng)參數(shù)的估計(jì)值和真實(shí)值之間的差值作為不變流形M1，M3，通過(guò)保持該流形的不變與吸引性，可以保證參數(shù)估計(jì)誤差收斂至原點(diǎn)。

4 基于I＆I 理論的分散控制器設(shè)計(jì)

4.1 系統(tǒng)模型變換

考慮到基于I＆I 理論的非線性控制器設(shè)計(jì)方法需采用系統(tǒng)模型的誤差形式，故對(duì)于系統(tǒng)模型（式（1））定義誤差變量：

則可將系統(tǒng)模型（式（1））變換為如下誤差形式：

4.2 基于I＆I 理論的左卷取機(jī)張力子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

基于I＆I 理論［7］的左卷取機(jī)張力子系統(tǒng)控制器u1的設(shè)計(jì)步驟具體如下：

步驟1（目標(biāo)系統(tǒng)）：選取一個(gè)比sys1′（式（11））維數(shù)低且穩(wěn)定的目標(biāo)系統(tǒng)。 這里定義一個(gè)二階目標(biāo)系統(tǒng)：

步驟2（浸入條件）：考慮系統(tǒng)的控制目標(biāo)及目標(biāo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，將映射Π1（ξ1）選擇為：

式中π13（ξ1）為待設(shè)計(jì)函數(shù)。

由式（14）的第一行可以進(jìn)一步得出：

步驟3（隱式流形）：流形M11的隱式描述為：

其中φ1（e1）＝e13-π13（e11，e12，e13）＝e13＋e11＋p1e12＋n1e11。

步驟4（流形吸引性和軌跡有界性）：定義偏流形坐標(biāo)z1＝φ1（e1），并求其時(shí)間導(dǎo)數(shù)：

則由式（17）和式（18）可以求得：

即基于I＆I 理論的左卷取機(jī)張力子系統(tǒng)控制器u1可設(shè)計(jì)為：

4.3 基于I＆I 理論的主軋機(jī)速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

參照基于I＆I 理論的左卷取機(jī)張力子系統(tǒng)控制器u1的設(shè)計(jì)步驟，可將主軋機(jī)速度子系統(tǒng)sys2′的一階目標(biāo)系統(tǒng)、能量函數(shù)V21（ξ21）、映射Π2（ξ2）、流形M22和控制器u2分別選?。O(shè)計(jì)為：

式中p2＞0，為阻尼系數(shù)；γ2＞0，為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

4.4 基于I＆I 理論的右卷取機(jī)張力子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

同理，參照基于I＆I 理論的左卷取機(jī)張力子系統(tǒng)控制器u1的設(shè)計(jì)步驟，可將右卷取機(jī)張力子系統(tǒng)sys3′的二階目標(biāo)系統(tǒng)、能量函數(shù)V31（ξ31）、映射Π3（ξ3）、流形M33和控制器u3分別選?。O(shè)計(jì)為：

式中p3，n3＞0，為阻尼系數(shù)；γ3＞0，為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

I＆I 控制器設(shè)計(jì)方法與目前大多數(shù)控制器設(shè)計(jì)方法有所不同，原則上它不需要構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，比較適用于能夠?qū)惦A系統(tǒng)設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制器的情形。 此外，I＆I 控制器設(shè)計(jì)方法將被控系統(tǒng)完全浸入到降階的目標(biāo)系統(tǒng)中，并利用流形的不變性來(lái)保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

基于I＆I 理論的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法包括參數(shù)估計(jì)器和控制器兩個(gè)模塊，二者彼此相互獨(dú)立，可以分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，便于系統(tǒng)控制參數(shù)的調(diào)整。

5 仿真研究

基于某1 422 mm 可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)的實(shí)際數(shù)據(jù)，將本文所提方法與I＆I 控制方法和反步動(dòng)態(tài)面控制方法進(jìn)行了仿真對(duì)比研究。

選用某一軋制規(guī)程的實(shí)際軋制參數(shù)為：R1＝0.89 m，R2＝0.206 35 m，R3＝0.255 m；J1＝3 347 kg·m2，J2＝1 274.5 kg·m2，J3＝406.7 kg·m2；Mz＝25 kN·m；E＝2.508×109N／m2；L＝3 m；H＝2.06×10-3m，h＝1.582×10-3m；B＝1.25 m；Bu2＝0.569 9 kg·m2／s，Bu1＝Bu3＝0.301 4 kg·m2／s；r1＝r3＝0.021 Ω，r2＝0.015 9 Ω；l1＝l3＝1.38×10-3H，l2＝1.28×10-3H；η1＝η3＝1.807，η2＝1；Ks1＝Ks3＝108，Ks2＝135.1；δ0＝0.065，χ0＝0.182，Kχ＝6.511×10-8，K1＝K3＝23.674 9 N·m／A，K2＝32.608 9 N·m／A；Kδ＝5×10-8。

為便于仿真研究，假定可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)（式（1））中的摩擦系數(shù)Bui在t＝9 s 時(shí)刻發(fā)生攝動(dòng)變?yōu)?.2Bui，負(fù)載擾動(dòng)ΔMz＝2 500 sin（t）N·m（在系統(tǒng)負(fù)載±10%的范圍內(nèi)變化）。

本文所提方法的主要參數(shù)取為：k1＝5，k2＝8 000，k3＝1 000；β1＝550，β2＝80；γ1＝2 000，γ2＝2 000，γ3＝2 000；p1＝p3＝200，p2＝300；n1＝n3＝1 500。

模擬可逆冷帶軋機(jī)某一道次的軋制工序：首先在0～2.5 s 時(shí)間內(nèi)分別將左卷取機(jī)張力升至100 kN，右卷取機(jī)張力升至120 kN，以建立主軋機(jī)兩側(cè)的帶鋼張力；然后在2.5～5 s 時(shí)間內(nèi)將主軋機(jī)速度升至3.5 m／s后開(kāi)始正常的軋制生產(chǎn)工藝；在t＝10 s 時(shí)刻，將主軋機(jī)速度降至0 m／s，左、右卷取機(jī)張力保持不變，該道次軋制完成。 此外，為了防止主軋機(jī)軋制速度變化過(guò)快對(duì)軋機(jī)設(shè)備產(chǎn)生沖擊，本文對(duì)主軋機(jī)速度的給定斜率進(jìn)行了限制：amax，min＝±3 m／s2。

可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)跟蹤控制曲線如圖1所示。

從圖1（a）～（c）可以看出： ①在反步動(dòng)態(tài)面控制方法的作用下，F(xiàn)1，V2和F3這3 個(gè)輸出變量實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)給定值F1?，V2?和F3?的跟蹤控制，然而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度較差，抗干擾能力較弱； ②在本文所提控制方法的作用下，F(xiàn)1，V2和F3這3 個(gè)輸出變量不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)給定值F1?，V2?和F3?的跟蹤控制，而且系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度較高，抗干擾能力較強(qiáng)。

從圖1（b）、（d）和（e）可以看出： ①在正常軋制階段，主軋機(jī)的軋制速度高于左卷取機(jī)速度而低于右卷取機(jī)速度，使得主軋機(jī)兩側(cè)產(chǎn)生帶鋼張力，便于軋制過(guò)程的順利進(jìn)行； ②在本文所提控制方法的作用下，左、右卷取機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速，運(yùn)行相對(duì)平穩(wěn)。

圖2 為摩擦系數(shù)Bu1，Bu3的估計(jì)值曲線。 由圖2可以看出：所設(shè)計(jì)的I＆I 參數(shù)估計(jì)器對(duì)摩擦系數(shù)Bu1，Bu3實(shí)現(xiàn)了有效地估計(jì)，進(jìn)而可將估計(jì)值引入所設(shè)計(jì)的I＆I 分散控制器中進(jìn)行補(bǔ)償，以使系統(tǒng)能夠根據(jù)攝動(dòng)參數(shù)的變化自行調(diào)整。

圖3 為SMO 的觀測(cè)值曲線。 由圖3 可以看出：所構(gòu)造的SMO 對(duì)系統(tǒng)的非匹配不確定項(xiàng)Δ2進(jìn)行了有效地動(dòng)態(tài)觀測(cè)，進(jìn)而可將觀測(cè)值引入到所設(shè)計(jì)的I＆I分散控制器中進(jìn)行補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)的跟蹤控制精度。

圖3 SMO 的觀測(cè)值曲線

6 結(jié) 論

1） 通過(guò)構(gòu)造SMO 對(duì)系統(tǒng)的非匹配不確定項(xiàng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)觀測(cè)，有效地提高了系統(tǒng)的控制精度； 通過(guò)設(shè)計(jì)I＆I 參數(shù)估計(jì)器對(duì)系統(tǒng)的攝動(dòng)參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，突破了傳統(tǒng)自適應(yīng)方法遵循的確定等價(jià)原則，且其參數(shù)估計(jì)誤差能以指數(shù)規(guī)律的形式單調(diào)收斂至原點(diǎn)。

2） I＆I 控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)潔，可調(diào)參數(shù)少，且無(wú)需構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)的分散控制。

3） 基于某1 422 mm 可逆冷帶軋機(jī)實(shí)際數(shù)據(jù)的仿真對(duì)比結(jié)果表明： 可逆冷帶軋機(jī)速度張力系統(tǒng)在本文所提控制方法的作用下具有較好的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)性能，以及較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性能。