不對(duì)中工況下的修形齒輪副嚙合特性分析

馬 輝，趙百順，皇甫一樊，韓晨怡

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819；2. 東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110819)

齒輪在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛.由于制造誤差、安裝不對(duì)中以及輪齒受載后產(chǎn)生的彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形等的影響會(huì)造成齒輪副嚙合不對(duì)中，齒輪沿齒寬方向接觸不均勻產(chǎn)生偏載現(xiàn)象[1-6].這對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)、噪聲和齒輪副的壽命等會(huì)產(chǎn)生很大的影響.對(duì)輪齒進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓南蛐扌慰梢杂行Ь徑恺X輪不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)的不利影響[7-10].

對(duì)于不對(duì)中齒輪副，Li等[1]分析了直齒輪角不對(duì)中對(duì)于輪齒微點(diǎn)狀裂紋形核接觸疲勞壽命的影響.Zhang等[2]分析了直齒不對(duì)中對(duì)于齒面磨損的影響，輪齒不對(duì)中會(huì)加劇載荷的分布狀態(tài)，加速表面的磨損.在此之后，Wang等[3]和Elsayed等[4]分析了不同形式的不對(duì)中對(duì)于斜齒輪副嚙合特性的影響，研究發(fā)現(xiàn)一個(gè)很小的不對(duì)中量變化可以導(dǎo)致接觸應(yīng)力的顯著變化.Pham等[5]對(duì)內(nèi)齒圈不對(duì)中進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究.輪齒不對(duì)中在設(shè)計(jì)初期是必須考慮的.為了有效緩解不對(duì)中的影響，Li[7]研究了齒廓修形、鼓向修形和傳遞轉(zhuǎn)矩對(duì)齒輪嚙合應(yīng)力、載荷分配和嚙合剛度的影響.其研究發(fā)現(xiàn)齒廓修形對(duì)輪齒的載荷分配和嚙合剛度有顯著的影響，鼓向修形可以有效緩解由于不對(duì)中造成的邊緣應(yīng)力集中.Yuan等[8]建立了考慮不對(duì)中以及鼓向修形的斜齒輪副嚙合模型，其研究發(fā)現(xiàn)鼓向修形可以有效緩解由于不對(duì)中所加劇的系統(tǒng)振動(dòng).袁冰等[9]基于齒面承載分析方法分析了斜齒輪修形對(duì)負(fù)載扭矩和嚙合錯(cuò)位的敏感性，并對(duì)修形參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，有效降低了系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速.賈超等[10]建立了內(nèi)嚙合人字齒輪不對(duì)中模型，通過遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行修形優(yōu)化來降低承載傳動(dòng)誤差幅值并避免邊緣接觸.

基于上述研究，本文基于MATLAB軟件自編建立了考慮修形的不對(duì)中齒輪副嚙合模型，分析了不同條件下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度及接觸狀態(tài)，并利用有限元方法驗(yàn)證了本文方法的有效性.同時(shí)本文對(duì)不同不對(duì)中量下的鼓向修形量進(jìn)行了優(yōu)化來消除不對(duì)中的不利影響，給出了最佳修形量與不對(duì)中角之間的關(guān)系.對(duì)不對(duì)中齒輪副修形優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義.

1 考慮不對(duì)中的嚙合特性分析模型

1.1 不對(duì)中模型

不對(duì)中分為角不對(duì)中和平行不對(duì)中.不對(duì)中的產(chǎn)生原因主要是安裝誤差，軸承與箱體在嚙合過程中發(fā)生變形.本文主要討論角不對(duì)中的情況.角不對(duì)中是指主動(dòng)輪和從動(dòng)輪發(fā)生一定的角度錯(cuò)動(dòng)(見圖1).

不對(duì)中會(huì)使齒輪由線接觸變?yōu)辄c(diǎn)接觸，引發(fā)齒輪邊緣的應(yīng)力集中，惡化接觸狀態(tài)(見圖2).在工程上，通常使用接觸斑點(diǎn)來判斷接觸狀態(tài).在本文的仿真中，以齒面接觸應(yīng)力的形式展現(xiàn)齒面的接觸狀態(tài).輪齒基本參數(shù)如表1所示.在本文中，鼓向修形量Cβ=10 μm(只修主動(dòng)輪)，不對(duì)中角度θ=0.028 6°.有限元模型圖如圖3所示.

1.2 解析-有限元方法

輪齒承載接觸分析方法的主要思想是利用有限元方法計(jì)算齒輪的剛體柔度，利用解析公式計(jì)算局部接觸柔度.基于MATLAB軟件對(duì)齒面上節(jié)點(diǎn)采用循環(huán)加載法施加單位力獲得嚙合齒面柔度矩陣，柔度矩陣形成過程如圖4所示.為了避免局部變形失真，提取施力點(diǎn)下方節(jié)點(diǎn)的變形存入柔度矩陣.

表1 齒輪副主要參數(shù)

單對(duì)齒彎曲剪切柔度矩陣為

(1)

(2)

(3)

(4)

齒輪副整體變形協(xié)調(diào)為

(5)

式中:F為接觸力載荷向量;ε為齒廓偏差向量,由于齒輪不對(duì)中以及輪齒修形造成的齒廓偏差作為初始齒廓偏差量引入齒廓偏差向量ε中；ste為靜態(tài)傳遞誤差；Q為齒輪嚙合力.

由于接觸柔度依賴于接觸力，求解得到接觸力矩陣F中小于零的位置為虛假接觸點(diǎn)，將虛假接觸點(diǎn)所在的行和列抹去，隨后進(jìn)行下一輪迭代求解.當(dāng)?shù)蠼獾慕佑|力矩陣F滿足收斂準(zhǔn)則‖F(xiàn)(k)-F(k-1)‖<εF(εF為收斂容差)后，迭代停止.齒輪副的嚙合剛度k可以表示為

(6)

式中,空載傳遞誤差nlste=min(ε).

2 修形對(duì)不對(duì)中齒輪副嚙合特性的影響

2.1 鼓向修形對(duì)不對(duì)中齒輪副的影響

圖5為理想接觸狀態(tài)下的齒輪副齒面接觸應(yīng)力，圖中向徑rk的定義見圖1.在此狀態(tài)下，載荷沿齒寬近似均勻分布，接觸區(qū)域遍布整個(gè)齒寬.同時(shí)由圖可以看出，由本文方法和有限元方法得到的接觸應(yīng)力吻合很好，這表明本文方法對(duì)于齒面接觸應(yīng)力的計(jì)算具有較高的計(jì)算精度.

圖6為鼓向修形齒輪副齒面接觸應(yīng)力.在此狀態(tài)下，齒面的兩側(cè)端面不承擔(dān)載荷，載荷主要由齒寬的中間位置承擔(dān).在不對(duì)中工況下，接觸應(yīng)力和接觸斑點(diǎn)如圖7所示.在此狀態(tài)下，齒輪呈現(xiàn)明顯的偏載，在右側(cè)端面出現(xiàn)很大的接觸應(yīng)力，使齒輪邊緣有明顯的應(yīng)力集中.在這種情況下，非常容易引發(fā)齒輪的點(diǎn)蝕，剝落以及崩角等故障.圖8為不對(duì)中工況下的鼓向修形齒輪副齒面接觸應(yīng)力.鼓向修形補(bǔ)償了一定的不對(duì)中量，使邊緣的集中載荷轉(zhuǎn)移到齒面的中間部位.通過與上例的對(duì)比可以清楚地看到，鼓向修形可以使不對(duì)中工況下的齒面接觸應(yīng)力分布更加均勻.

從圖6～圖8可以看出:對(duì)于處于理想嚙合狀態(tài)的齒輪副，鼓向修形反而會(huì)使應(yīng)力增大；但是對(duì)于含有不對(duì)中誤差的齒輪副，鼓向修形能對(duì)不對(duì)中起到明顯的補(bǔ)償作用.

圖9為不同接觸狀態(tài)下的齒輪副時(shí)變嚙合剛度.對(duì)于各種接觸狀態(tài)，本文方法和有限元方法所得的嚙合剛度均能很好地吻合，這進(jìn)一步說明了本文方法的有效性.不對(duì)中使嚙合剛度急劇下降，利用鼓向修形對(duì)不對(duì)中進(jìn)行補(bǔ)償，可以使其嚙合剛度與健康狀態(tài)相近.

2.2 修形量優(yōu)化

在工程中，鼓向修形的一個(gè)主要用途就是降低不對(duì)中工況下的齒面接觸應(yīng)力，但是不合適的鼓向修形量反而會(huì)增加齒面接觸應(yīng)力.以降低齒面接觸應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行最佳鼓向修形量的優(yōu)化.為了研究不同不對(duì)中角度下的最佳修形量，求取不同鼓向修形量和不對(duì)中量下的最大接觸應(yīng)力(見圖10a).不對(duì)中角度與最佳鼓向修形量之間近似為線性關(guān)系，其擬合曲線及近似關(guān)系式見圖10b.

優(yōu)化過程中需要大量地求解計(jì)算接觸應(yīng)力，如將鼓向修形量離散為30份，將不對(duì)中角度離散為20份，則一共需要600次接觸應(yīng)力計(jì)算.有限元方法計(jì)算一次(一個(gè)嚙合周期)接觸應(yīng)力的時(shí)間需要7 h，因此肯定無法勝任如此大規(guī)模的計(jì)算.本文方法計(jì)算1個(gè)嚙合周期需要60 s(57 s用于生成柔度矩陣，3 s用于求解載荷分配).對(duì)于同一齒輪副而言，修形和不對(duì)中只會(huì)改變齒廓偏差向量，柔度矩陣不會(huì)改變，因此在優(yōu)化過程中不需要重復(fù)計(jì)算柔度矩陣.本文方法只需30 min便可完成600次接觸應(yīng)力計(jì)算，相比有限元方法極大地提升了計(jì)算效率.

3 結(jié) 論

1) 通過與有限元方法的對(duì)比可知，本文方法與有限元方法有著相當(dāng)?shù)木?誤差在5%以內(nèi))，但計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于有限元方法.以計(jì)算一個(gè)嚙合周期為例，本文方法和有限元方法分別耗時(shí)4 s和2 h.

2) 對(duì)于處于理想嚙合狀態(tài)的齒輪副，鼓向修形反而會(huì)使齒面接觸應(yīng)力增大.在不對(duì)中的情況下，輪齒邊緣會(huì)出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中.鼓向修形可以有效地補(bǔ)償不對(duì)中量，改善偏載導(dǎo)致的應(yīng)力集中，使齒面接觸應(yīng)力分布更加均勻.

3) 鼓向修形常常被用來降低不對(duì)中工況下的齒面接觸應(yīng)力，但是不合適的鼓向修形量反而會(huì)增加齒面接觸應(yīng)力.以降低齒面接觸應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行最佳鼓向修形量的優(yōu)化.結(jié)果表明，最佳鼓向修形量與不對(duì)中角度之間近似為線性關(guān)系，可為不對(duì)中齒輪副的修形優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).