嚴 卿
(江蘇省南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué),江蘇南通 226001)
作為數(shù)學(xué)思考的力量源泉,數(shù)學(xué)思想方法是促進學(xué)生自主知識建構(gòu)、完成概念轉(zhuǎn)換的紐帶[1]。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,抽象與模型、歸納與演繹、數(shù)與形結(jié)合、方程與函數(shù)、集合與對應(yīng)等思想方法對提高概念轉(zhuǎn)換的效果,發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)具有積極的促進作用。教師借助適當?shù)臄?shù)學(xué)情境,可以有效滲透數(shù)學(xué)思想方法,從而幫助學(xué)生實現(xiàn)概念轉(zhuǎn)換。
數(shù)學(xué)知識依托現(xiàn)實世界而客觀存在,數(shù)學(xué)知識也為學(xué)生認識世界、改造世界提供了思維的力量[2]。教師通過生活中的熟悉現(xiàn)象,模擬真實的生活情境,有利于學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度觀察和思考生活中的實際問題,捕捉數(shù)學(xué)信息,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,使學(xué)生在對相應(yīng)數(shù)學(xué)模型的研究中生成解決問題的策略和智慧。在這樣的情境中進行抽象和創(chuàng)造,可以幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型思想在數(shù)量關(guān)系的概括與表達中的作用,積累數(shù)學(xué)分析和思維活動的經(jīng)驗。
在研究行程問題時,為了引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握物體運動的方向、時間、速度和路程等要素之間的內(nèi)在聯(lián)系,教師讓家與學(xué)校在同一條路上但方向相反的兩位學(xué)生描述上學(xué)路線,再請他們表演從各自的家中同時出發(fā),相向而行,在學(xué)校門口相遇的情境。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表演者的行進方向、速度、時間和運動結(jié)果,畫線段示意圖表示其中的數(shù)學(xué)信息,并思考怎樣計算兩家相距的路程。有的學(xué)生根據(jù)“速度×?xí)r間=路程”的等量關(guān)系,分別求出兩人的路程,再根據(jù)“甲的路程+乙的路程=兩家相距的路程”解決問題;還有的學(xué)生根據(jù)兩人行走的時間相同,先求出他們的速度和,再根據(jù)“速度和×?xí)r間=總路程”求出兩家相距的路程。學(xué)生發(fā)現(xiàn),這兩種方法對應(yīng)的等量關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)換,即合并成“甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間=速度和×相遇時間”的等量關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考,如果把這個等量關(guān)系看作是一個數(shù)學(xué)模型,還可以解決哪些問題。學(xué)生聯(lián)想到,如果兩人同時從學(xué)校出發(fā)放學(xué)回家,相背而行,求經(jīng)過幾分鐘后兩人相距多少路程,也可以用這樣的等量關(guān)系計算。還有的學(xué)生通過觀察上述等量關(guān)系式的結(jié)構(gòu)和特點,結(jié)合字母表示數(shù)的知識,將等量關(guān)系式簡化成(a+b)×c=a×c+b×c,與乘法分配律不謀而合。學(xué)生進而聯(lián)想到這個數(shù)學(xué)模型還可以放到兩人從操場同一地點出發(fā),相反方向跑步的生活情境中,計算相遇的時間;或者放到兩人共同加工一批零件的工作情境中,已知工作時間和其中一個人的工作效率,計算另一個人的工作效率。
教師還要鼓勵學(xué)生站在思維的制高點上,用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中的現(xiàn)象和規(guī)律,理性地分析和把握各種生活情境中諸多數(shù)學(xué)元素之間的聯(lián)系,敏銳地抽象出蘊藏其中的等量關(guān)系,構(gòu)建與解決問題相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[3]。教師還應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生進行反思,相同的數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用在哪些不同的生活情境中,從整體上把握適用這類數(shù)學(xué)模型的情境的特點,進一步感悟模型思想在概括數(shù)量關(guān)系、選擇解題策略中的重要作用,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維觀察世界。
教師將數(shù)學(xué)思想方法滲透在游戲情境中,能夠為數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”披上“五彩的外衣”,讓學(xué)生獲得富有挑戰(zhàn)性和探索性的學(xué)習(xí)經(jīng)歷[4]。巧用游戲情境,可以有效提升學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性,在游戲情境中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力,使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法的真正價值,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感,同時逐漸提升思維水平。
學(xué)習(xí)了方程的相關(guān)知識之后,教師和學(xué)生一起進行猜數(shù)游戲。教師請學(xué)生從54 張撲克牌中隨機抽取一張,并將這張牌的點數(shù)乘5,再加上6,把所得的數(shù)乘以2,再減去22。教師每次都能根據(jù)學(xué)生報出的結(jié)果很快說出他們抽到的牌的點數(shù),并在黑板上寫出對應(yīng)的兩行板書:
學(xué)生百思不得其解,很好奇教師通過什么方法算得又對又快。此時,教師神秘地告訴大家:將所報的結(jié)果除以10 再加1 就是學(xué)生手中牌的點數(shù)。這是為什么呢?學(xué)生想到了用列方程的方法研究這個游戲中的數(shù)學(xué)問題,他們以結(jié)果是60為例,在不確定牌的點數(shù)時可以設(shè)點數(shù)是x,于是列出方程:(5x+ 6)×2-22 =60,方程的解是x=7。此時,學(xué)生豁然開朗,發(fā)現(xiàn)方程的解恰好就是手中牌的點數(shù)。有的學(xué)生將(5x+ 6)×2-22 化簡得10x-10,結(jié)合解方程的過程得出牌的點數(shù)等于所報結(jié)果加上10 再除以10,并進一步化簡推算出所報結(jié)果除以10 再加上1 就是牌的點數(shù),總結(jié)出了推算點數(shù)的計算公式“牌的點數(shù)=所報結(jié)果÷10 +1”。 學(xué)生修改數(shù)據(jù),檢驗游戲策略的適用性,并利用這一技巧和同伴繼續(xù)開展猜數(shù)游戲,如一人將抽到牌的點數(shù)乘2,加上 7,再乘5 ,最后減去45,只要將結(jié)果說出,另一人就能立即推算出牌的點數(shù)。學(xué)生對用這樣的方法巧妙地“猜”出牌的點數(shù)贊不絕口,也對數(shù)學(xué)思想方法的魅力嘆為觀止。
學(xué)生在上述游戲情境中提高了觀察、歸納、推理能力,感悟了方程與函數(shù)的基本思想方法。在類似的游戲情境中,教師應(yīng)組織學(xué)生進行進一步討論,生活中哪些實際問題在解答時順著題意思考,并直接列算式解答比較簡便,而列算式解答時需要逆向思考、順著題意列方程解答比較簡便的實際問題又有什么特征等。學(xué)生的思考范圍從游戲情境引申到問題情境,逐步完成了從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡,不斷觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì),體會方程與函數(shù)思想的優(yōu)越性,實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深度思考和方法轉(zhuǎn)換。
數(shù)學(xué)是發(fā)展思維與鍛煉智慧的體操,是以提高學(xué)生的思維水平和思考能力為目的的基礎(chǔ)科學(xué)[5]。數(shù)學(xué)思想方法的感悟和數(shù)學(xué)思維水平的提高不是互相孤立的,而是緊密聯(lián)系、相輔相成的。教師精心創(chuàng)設(shè)蘊含較高思維水平的操作情境,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次、富有個性地思考問題,是滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑。
學(xué)習(xí)乘法的變化規(guī)律時,為了引導(dǎo)學(xué)生把握兩個自然數(shù)的大小與它們的和、積之間的關(guān)系,探究“和定積最大,積定和最小”的規(guī)律,教師請學(xué)生思考這樣一個問題:兩個自然數(shù)的和是101,當它們分別等于多少時乘積最大。學(xué)生反復(fù)演算,百思不得其解。這時,教師拿出22 根同樣長度的小棒,神秘地告訴大家,奧秘就藏在小棒中。教師讓學(xué)生把每根小棒的長度都看成1 米,只要用這22 根小棒圍成長方形,就能找到解決難題的方法。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,用22 根小棒按照一定的順序圍成了一些長方形,并分別記錄下它們的長、寬、周長和面積,之后發(fā)現(xiàn)周長都是22 米,長與寬的和是11 米。長依次變小,寬依次變大,它們越來越接近,面積也越來越大。當長和寬分別是6 米和5 米時,面積最大。學(xué)生根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)大膽猜想并驗證,當和一定時,兩個自然數(shù)最接近時,乘積就最大。依此推理,學(xué)生把101 分成50 和51,得出的乘積最大。教師又請學(xué)生思考,兩個自然數(shù)的乘積是120,它們分別等于多少時和最小呢?此時,教師又為學(xué)生提供了24 個大小一樣的正方形。學(xué)生把每個正方形的面積看成1 平方分米,按照一定的順序拼成各種長方形,發(fā)現(xiàn)長與寬越接近,周長越小,但面積不變。當長方形的長是6 分米,寬是4 分米時,長與寬的和最小。學(xué)生依此推理并進一步驗證,乘積一定時,兩個自然數(shù)相差最小時,和也最小。當這兩個自然數(shù)分別是10 和12 時,它們的和最小。
學(xué)生融入教師精心創(chuàng)設(shè)的操作情境動手實踐、動腦思考,在數(shù)形結(jié)合的思想方法指引下發(fā)現(xiàn)和探究規(guī)律,積累活動經(jīng)驗,發(fā)展思維品質(zhì)[6]。教師要善于在高階思維水平的操作情境中引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)量的精準刻畫與圖形的直觀形象,使其感受知識的運動和遷移,體會數(shù)與形的聯(lián)系變化與和諧統(tǒng)一,實現(xiàn)知識經(jīng)驗的自主建構(gòu)[7]。這樣能夠在循序漸進的思維發(fā)展中,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和概念轉(zhuǎn)換水平。
綜上所述,掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生科學(xué)分析、解決問題的基礎(chǔ),是學(xué)生勇于實踐和創(chuàng)新的前提。教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理特點和認知規(guī)律,用優(yōu)化的數(shù)學(xué)情境為學(xué)生感悟和運用數(shù)學(xué)思想方法、靈活選擇解決問題的策略拓寬思維的路徑,促進學(xué)生實現(xiàn)概念的轉(zhuǎn)換和知識的建構(gòu),從而有效提升學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。