正負偏差變量在數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中的應(yīng)用研究

摘? 要：數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)思想和方法解決實際問題的一種方式，線性規(guī)劃問題是數(shù)學(xué)建模的一項重要模型。本文從案例的實際出發(fā)，在探討線性規(guī)劃模型解決問題過程中，創(chuàng)造性地引入正負偏離變量，將約束條件加以放寬，并靈活應(yīng)用序慣算法，使一個線性規(guī)劃的疑難問題得以圓滿的解決。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃;正負偏離變量;序慣算法

中圖分類號：021? ? 文獻標(biāo)識碼：A

一、問題的引出

線性規(guī)劃模型是數(shù)學(xué)建模的基本模型，在一定的條件下，對這一模型的優(yōu)化，可使目標(biāo)達到最優(yōu)的決策，全國大學(xué)生競賽題許多與有優(yōu)化有關(guān)，并用軟件加以解決。本文將從一個案例入手，利用數(shù)學(xué)模型探討問題最優(yōu)解法。

案例：某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品分別需要在設(shè)備A、B上加工，需要消耗材料C、D，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工及所需要的資源如表一所示.已知在計劃期內(nèi)設(shè)備的加工能力各為200臺時，可供應(yīng)材料分別為360、300千克，每生產(chǎn)一件甲、乙、丙三種產(chǎn)品，企業(yè)可獲得利潤分別為40、30、50元.決策者根據(jù)企業(yè)的實際情況和市場需求，制定了幾個經(jīng)營目標(biāo)，這些目標(biāo)的優(yōu)先順序是：

（1）利潤不少于3200元.

（2）產(chǎn)品甲與產(chǎn)品乙的產(chǎn)量比例盡量不超過1.5.

（3）提高產(chǎn)品丙的產(chǎn)量使之達到30件.

（4）設(shè)備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班.

（5）受到資金的限制，只能使用現(xiàn)有材料，不能再購進.

假定市場需求無限制，企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使總利潤最大.

1、模型假設(shè)

假設(shè)表中的數(shù)據(jù)保持不變。

即：工藝不變;材料供應(yīng)有保障;市場價格穩(wěn)定。

2、建立模型

設(shè)： 分別為產(chǎn)品甲乙丙的產(chǎn)量（件）。

設(shè)備A的約束：

設(shè)備B的約束：

材料C的約束：

材料D的約束：

第一目標(biāo)約束：

第二目標(biāo)約束：

第三目標(biāo)約束：

匯總為：

3、模型求解

使用lingo軟件編程，進行求解。結(jié)果表明是無解。因此，線性規(guī)劃模型利用傳統(tǒng)的方法，無法尋求最優(yōu)解。作為問題本身應(yīng)該有優(yōu)化解。

二、模型的分析與改進

考慮到案例中5個目標(biāo)順序中的前4個目標(biāo)可考慮放松，第5個目標(biāo)明確規(guī)定不能改變。

因此可將目標(biāo)放寬為：

（1）利潤為3200元左右;

（2）產(chǎn)品甲與產(chǎn)品乙的產(chǎn)量比例在1.5左右;

（3）提高產(chǎn)品丙的產(chǎn)量使之達到30件左右;

（4）設(shè)備加工能力不足可以加班解決，設(shè)備A和B可以考慮加班在200臺時左右，但加班數(shù)最小。

為了解決這一問題，我們考慮引進正負偏差變量來進行處理：

假定

是兩個偏差變量，且滿足以下條件：

體現(xiàn)在模型中，就是將（2）、（3）、（6）、（7）（8）可以考慮放寬條件，結(jié)合題意，考慮引進目標(biāo)函數(shù)，得到以下修改模型：

這樣，原來的線性規(guī)劃模型就轉(zhuǎn)化成目標(biāo)規(guī)劃模型了。

三、使用序慣算法。

在處理正負偏差變量過程中，考慮到指數(shù)位置的正負號在lingo程序中不易表達，我們不妨規(guī)定：分別用s1，s2替代

具體來說，就是用s11，s12，s21，s22，s31，s32，s41，s42，s51，s52替代

因此，在lingo軟件中，編程得到以下程序：

在運行這個程序時，把前面4個目標(biāo)函數(shù)

按次序與約束函數(shù)逐一運行計算，得出結(jié)果代入下一程序進入計算，最終計算出所需結(jié)果，該運算法，稱之為程序的序慣算法。具體過程操作如下：

運行l(wèi)ingo程序得到的結(jié)果如下：

結(jié)果顯示s11=0，將其代入下一步程序中，在軟件lingo中運行第二目標(biāo)程序。

結(jié)果顯示，s11=0，s22=0，將結(jié)果代入程序，再在linguo程序中運行第三目標(biāo)程序命令。結(jié)果顯示，s11=0，s22=0，s31=0，s32=0.將此結(jié)果代入程序，運行最后一個目標(biāo)程序。

其顯示的結(jié)果，用數(shù)學(xué)式表達如下：

四、模型的檢驗

將這些結(jié)果導(dǎo)入修改后模型中，

發(fā)現(xiàn)：設(shè)備B加班16臺時，其余目標(biāo)全部滿足，其利潤達到3220元，比我們原先計劃3200元還多20元，這個結(jié)果正是我們所希望的！

五、結(jié)束語

利用lingo解決線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃問題，是比較方便的方法。但是如果出現(xiàn)無解的情況，就需要考慮將約束條件進行適當(dāng)?shù)姆艑?。也就是在原條件得基礎(chǔ)上引進正負偏差因素，并將正負偏差控制在最小的范圍內(nèi)，以便使約束條件不至于偏離原條件太遠。在此過程中，必然需要引進目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)，從而在新的條件下達到最優(yōu)解。

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作者簡介：熊慶如（1964—），男，江西宜豐人，浙江東方職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師，碩士學(xué)位，副教授。研究方向：數(shù)學(xué)教育。

基金項目：本文為浙江東方職業(yè)技術(shù)學(xué)院2018—2019年度院級課題：“雙創(chuàng)”背景下高職產(chǎn)業(yè)學(xué)院的組織機制與培養(yǎng)模式的研究”（DF2018YB15）研究成果