“MPCK”：圖形與幾何教學(xué)研究的全新視角

侯正奎

[摘要]“MPCK”就是數(shù)學(xué)（Maths）學(xué)科知識(shí)與教學(xué)法知識(shí)的結(jié)合體?；凇癕PCK”視角，教師要用“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)圖形與幾何知識(shí)，要從“學(xué)生立場(chǎng)”來(lái)觀照學(xué)生的圖形與幾何學(xué)習(xí)，要從教學(xué)法知識(shí)視角來(lái)審視圖形與幾何教學(xué)?！癕PCK”知識(shí)為教師的圖形與幾何教學(xué)提供了全新的研究視角。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；“MPCK”視角；圖形與幾何；教學(xué)研究

20世紀(jì)80年代，美國(guó)著名學(xué)者舒爾曼提出了“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”（Pedagogical Content Knowledge，簡(jiǎn)稱PCK）概念。通過(guò)這一概念，人們認(rèn)識(shí)到教師教學(xué)工作的專業(yè)性、獨(dú)特性，認(rèn)識(shí)到教師在教學(xué)中不僅需要學(xué)科的本體性知識(shí)，更需要教育學(xué)、心理學(xué)等方面的教學(xué)法知識(shí)。而且，從某種意義上說(shuō)，教師的教學(xué)法知識(shí)比本體性知識(shí)更為重要。而“MPCK”就是數(shù)學(xué)（Maths）學(xué)科知識(shí)與教學(xué)法知識(shí)的結(jié)合體，“MPCK”知識(shí)為教師的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了全新的研究視角。本文以小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何知識(shí)板塊教學(xué)為例，介紹“MPCK”視角下的教學(xué)實(shí)踐操作。

一、基于“MK”視角，用“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)知識(shí)

“MPCK”知識(shí)可以初步分為數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、關(guān)于學(xué)生的知識(shí)（CK）等。對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，首要的問(wèn)題就是“學(xué)什么”的問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)課程本體的問(wèn)題，也是最為核心的問(wèn)題。著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生認(rèn)為，“學(xué)什么”永遠(yuǎn)比“怎樣學(xué)”更為重要。因?yàn)椤皩W(xué)什么”牽涉的是教學(xué)的方向問(wèn)題，而“怎樣學(xué)”牽涉的是教學(xué)的方法問(wèn)題、策略問(wèn)題、路徑問(wèn)題?；凇癕K”視角，教師要引導(dǎo)學(xué)生從“高觀點(diǎn)”視角來(lái)統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)知識(shí)不僅包括顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且包括隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，如數(shù)學(xué)思想方法、核心觀念等。就圖形與幾何知識(shí)而言，其外在的特征、面積公式、體積公式等就是顯性知識(shí)，而推導(dǎo)過(guò)程所蘊(yùn)含的思想、方法、策略等就是隱性知識(shí)。對(duì)于圖形與幾何知識(shí)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，更要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，要從高觀點(diǎn)、大思想的視角認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)。比如，教學(xué)“多邊形的面積”時(shí)，從“MK”視角看，不僅包括長(zhǎng)方形知識(shí)、正方形知識(shí)、平行四邊形知識(shí)、三角形知識(shí)和梯形知識(shí)，而且包括長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積的推導(dǎo)過(guò)程。換言之，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)不僅包括結(jié)果性知識(shí)，而且包括過(guò)程性知識(shí)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生形成圖形面積推導(dǎo)的轉(zhuǎn)化思想，形成剪拼、平移、旋轉(zhuǎn)、分割等的圖形面積的推導(dǎo)策略。不僅如此，教師可以從知識(shí)視角對(duì)多邊形的面積進(jìn)行統(tǒng)整。比如，動(dòng)態(tài)地展示長(zhǎng)方形的面積、正方形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積，就能通過(guò)梯形的面積公式將其他圖形的面積公式進(jìn)行有效整合。如“三角形的面積可以看成是上底為0的梯形面積公式”“平行四邊形的面積可以看成是上底和下底相等的梯形面積公式”“長(zhǎng)方形的面積可以看成是上底和下底相等、高與寬相等的梯形的面積公式”，等等。這樣的一種高觀點(diǎn)，有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。

基于“MK”視角的數(shù)學(xué)知識(shí)，表征了教師對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的基本看法，包括數(shù)學(xué)的核心概念、思想方法等，教師要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)攬、組織。教學(xué)中，尤其要把握數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的靈魂，是最具活力的數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠發(fā)揮遷移、統(tǒng)領(lǐng)、概括等作用。

二、基于“CK”視角，用“學(xué)生立場(chǎng)”觀照數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能，不僅取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的解讀，更取決于對(duì)學(xué)生具體學(xué)情的把握。基于“CK”視角，教師要努力站到“學(xué)生立場(chǎng)”上去，從“學(xué)生立場(chǎng)”“學(xué)生視角”去觀照數(shù)學(xué)知識(shí)。只有從“學(xué)生立場(chǎng)”來(lái)觀照數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)才能取得應(yīng)有的實(shí)效。因而，教師不僅要了解學(xué)生普遍性的年齡特征、心理規(guī)律等，更要把握每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知特質(zhì)、認(rèn)知傾向，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、相異構(gòu)想等。

對(duì)于圖形與幾何這一部分內(nèi)容，不同的學(xué)生會(huì)做出不同的解讀、探索。有學(xué)生喜歡對(duì)圖形與幾何進(jìn)行動(dòng)手操作，有學(xué)生習(xí)慣于對(duì)圖形與幾何直觀認(rèn)知，有學(xué)生能夠?qū)D形與幾何進(jìn)行有效推理，等等。因此，在圖形與幾何這部分內(nèi)容的教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生擅長(zhǎng)于圖形的變換，另一部分學(xué)生擅長(zhǎng)于公式推導(dǎo)等。學(xué)生對(duì)不同的圖形與幾何板塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)適應(yīng)性是不同的。比如，教學(xué)蘇教版四年級(jí)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，有學(xué)生進(jìn)行撕角法的直觀操作，讓三角形的3個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角；也有學(xué)生過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)出對(duì)邊的平行線，根據(jù)直覺(jué)判斷相等關(guān)系的角（同位角、內(nèi)錯(cuò)角等），從而洞察三角形內(nèi)角和是180°；還有學(xué)生通過(guò)畫(huà)三角形的高，將銳角三角形、鈍角三角形分割成兩個(gè)直角三角形進(jìn)行推理等。不同的學(xué)生顯示出認(rèn)知的差異，在教學(xué)中教師只有把握好學(xué)生的認(rèn)知差異，才能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)能力，才能提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效能。

基于“CK”視角，教師要把握學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把握學(xué)生的可能認(rèn)知路徑，把握學(xué)生理解的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的優(yōu)勢(shì)、障礙等。只有這樣，才能讓圖形與幾何教學(xué)切入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，才能讓學(xué)生以積極的態(tài)度融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中來(lái)。

三、基于“PK”視角，從“教學(xué)法”來(lái)審視教學(xué)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往著眼于學(xué)生是否掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，這種掌握主要是對(duì)結(jié)果性知識(shí)的掌握?；凇癙K”視角，從“教學(xué)法”來(lái)審視教學(xué)，我們不僅要考量學(xué)生對(duì)結(jié)果性知識(shí)的掌握，更要考量學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的合理性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征，注重學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決策略的選擇。

因而，如何將“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化成“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，如何有效選擇和組織教學(xué)內(nèi)容、確定教學(xué)方法，如何盤(pán)活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果等，就成為“PK”視角下教師教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重的問(wèn)題。由于教學(xué)法知識(shí)的差異，同一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，不同教師會(huì)做出不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，有的教師課堂教學(xué)平平淡淡，而有的教師課堂教學(xué)則風(fēng)生水起。比如，教學(xué)蘇教版六年級(jí)“圓錐的體積”時(shí)，有的教師會(huì)將這部分內(nèi)容研發(fā)成“探究性教學(xué)”，有的教師將這部分內(nèi)容研發(fā)成“驗(yàn)證性教學(xué)”，不同的教學(xué)有著不同的旨趣。一般來(lái)說(shuō)，“經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)”適合于“探究性教學(xué)”，而“超經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)”適合于“驗(yàn)證性教學(xué)”?！疤骄啃越虒W(xué)”注重的是讓學(xué)生進(jìn)行思考、探究，注重的是讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)。而“驗(yàn)證性教學(xué)”注重的是讓學(xué)生大膽地猜想、小心地求證。以“驗(yàn)證性教學(xué)”為例，首先讓學(xué)生提出猜想，有的學(xué)生猜想圓錐的體積應(yīng)當(dāng)是等底等高圓柱體積的一半，因?yàn)榈鹊椎雀叩闹苯侨切蚊娣e是長(zhǎng)方形面積的一半，而直角三角形沿著直角邊旋轉(zhuǎn)形成圓錐，長(zhǎng)方形沿著長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)形成圓柱。但通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后，學(xué)生很快就否定了自己的猜想，進(jìn)而形成新的猜想：圓錐的體積是等底等高圓柱體積的三分之一。在通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證之后，學(xué)生獲得的猜想并不一定正確，必須進(jìn)行有效的驗(yàn)證。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，從“MK”視角分析，教師對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)有清晰的認(rèn)知；從“CK”的視角分析，教師要盡可能深入了解學(xué)生，掌握學(xué)生具體學(xué)情，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)差異；從“PK”視角分析，教師結(jié)合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行教學(xué)。通過(guò)不斷的學(xué)習(xí)研究，教師不斷完善自身的“MPCK”，逐步建構(gòu)最佳的“MPCK”結(jié)構(gòu)，進(jìn)而促進(jìn)自身的專業(yè)發(fā)展。

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