精準(zhǔn)建構(gòu)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識

劉正松

摘 ? ?要 ?學(xué)科知識是教育教學(xué)活動的載體，承載著培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重任。教學(xué)中應(yīng)重視起點(diǎn)型核心知識的教學(xué)，以“圖形的放大與縮小”為例，從學(xué)生練習(xí)中一道高錯誤率的習(xí)題入手，剖析背后的原因，并在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出課標(biāo)要求明確細(xì)化、教材編排適度拓展、教師教學(xué)把握本質(zhì)等建議，引領(lǐng)學(xué)生精準(zhǔn)建構(gòu)起點(diǎn)型核心知識，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞?核心知識 小學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)研究

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是教育教學(xué)活動的載體，承載著培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重任。然而，不同領(lǐng)域的知識縱橫交錯地分布在各年級教材中，教師唯有扣準(zhǔn)核心知識，特別是那些處于某個知識領(lǐng)域、知識板塊、知識序列起始位置的核心知識[1]，設(shè)計必要的數(shù)學(xué)活動，精準(zhǔn)建構(gòu)，才能促使學(xué)生形成對知識的深度理解，彰顯知識背后獨(dú)特的育人價值。

一、問題

“圖形的運(yùn)動”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，主要包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影。其中，“圖形的相似”是第三學(xué)段該領(lǐng)域的核心知識之一，往前追溯，第二學(xué)段中“圖形的放大與縮小”是這一核心知識的起點(diǎn)，作為典型的起點(diǎn)型核心知識，它與前后教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系如圖1所示：

從圖1中我們可以充分感受到數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)。為了解學(xué)生對“圖形的放大與縮小”這一知識的掌握情況，筆者將一道習(xí)題（見圖2）編排在練習(xí)卷中，組織學(xué)生隨堂練習(xí)，結(jié)果顯示：被測試學(xué)校六年級8個班369名學(xué)生中，“按3：1的比畫出三角形放大后的圖形”這一問題的正確率為97.8%，而“按1：2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形”這一問題的正確率僅為10.8%。學(xué)生的錯誤畫法如圖3所示：

兩道同一類型的題目，正確率差異如此之大，出乎筆者意料。驚訝之余，筆者就“按1：2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形”這一問題對部分師生進(jìn)行了訪談。當(dāng)問及學(xué)生“做這題你是怎么想的？”時，大多數(shù)學(xué)生的第一反應(yīng)是自己做錯了，然后迅速回看題目與解答，并反問：“難道不對嗎？”當(dāng)我們明確回復(fù)“不對”時，他們說出了自己的想法：“題目要求按1：2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形，這里的1：2是畫出的平行四邊形與原來平行四邊形對應(yīng)邊長的比，原來平行四邊形的底是4，高是4，所以縮小后畫出的平行四邊形的底應(yīng)該是2，高也應(yīng)該是2。”從學(xué)生的回答中不難看出，學(xué)生的思路是很“清晰”的，這也便于我們找出問題的癥結(jié)所在。

更令筆者驚訝的是，在統(tǒng)計學(xué)生答題情況時發(fā)現(xiàn)有幾位教師竟將圖3中的答案判為正確。當(dāng)我們將標(biāo)準(zhǔn)答案呈現(xiàn)在他們面前時，批改錯誤的教師立刻意識到自己錯了，并表示“當(dāng)時批改得比較快，沒有仔細(xì)看”，也有個別教師追問筆者：“教材中的例題和習(xí)題都是將長方形、正方形或直角三角形按一定的比例放大或縮小，像平行四邊形的放大或縮小這樣的問題要教嗎？”顯然，這類問題教與不教也是困擾部分教師的問題之一。

二、歸因

學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題與教師的教學(xué)密不可分，而教師教學(xué)中出現(xiàn)的問題其根源更加復(fù)雜，剖析問題背后的原因，將有助于我們更好地實(shí)施教學(xué)。

1.課標(biāo)界定不清

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第三部分“課程內(nèi)容”中對“圖形的放大與縮小”是這樣要求的：“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。”[2]這里明確規(guī)定了 “圖形的放大與縮小”需借助方格紙進(jìn)行，但對于“圖形”的界定有些模糊，所謂“簡單圖形”到底是哪些圖形？平行四邊形、三角形（指一般三角形，下同）、梯形（指一般梯形，下同）和圓是簡單圖形還是復(fù)雜圖形？課程標(biāo)準(zhǔn)并未明確?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》一書對這一知識點(diǎn)的解讀如下：這里的“放大或縮小”不是嚴(yán)格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小不同。這將為第三學(xué)段研究圖形的相似運(yùn)動和位似運(yùn)動奠定基礎(chǔ)[3]。在這段解讀中，同樣沒有關(guān)于“圖形的放大與縮小”中“圖形”的界定。

2.教材以偏概全

教材的編寫是以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)的，但課程標(biāo)準(zhǔn)并未明確具體的教學(xué)素材。于是，教材編寫人員一般根據(jù)學(xué)生的知識背景、認(rèn)知規(guī)律和活動經(jīng)驗(yàn)選擇適合的素材編排學(xué)習(xí)內(nèi)容。筆者分別查閱了人教版、蘇教版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，它們都將“圖形的放大與縮小”安排在六年級下冊教學(xué)，而且不約而同地選擇長方形、正方形和直角三角形這三種圖形作為教學(xué)素材。究其原因，長方形確定長和寬、正方形確定邊長、直角三角形確定底和高（互相垂直的兩條直角邊）也就確定了整個圖形，這與學(xué)生當(dāng)初學(xué)習(xí)這些圖形特征時所認(rèn)識的圖形的基本元素完全一致，而且這些邊都位于方格紙的格線上，其長度可以根據(jù)方格紙清楚地數(shù)出來。三種版本的教材都回避了平行四邊形、三角形和梯形等圖形，教師教學(xué)時也不曾關(guān)照，學(xué)生出錯率如此之高便不足為奇。

3.教師不求甚解

如今，一線教師大多都是正規(guī)院校畢業(yè)，我們不用懷疑他們的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，但部分教師的責(zé)任心不夠，對一些教學(xué)問題不求甚解： 其一，也許是習(xí)慣了教材中常見的幾種圖形，導(dǎo)致有些教師對平行四邊形、三角形和梯形的放大與縮小這一問題缺少基本的認(rèn)識，面對學(xué)生的錯誤全然沒有發(fā)現(xiàn)，批改出現(xiàn)差錯;其二，在各種教輔資料關(guān)于“圖形的放大與縮小”的練習(xí)中，我們經(jīng)?？梢钥吹饺切?、平行四邊形等圖形的身影（見圖4、圖5）。這些練習(xí)與教材上的例題、習(xí)題相比，差別較大，而且學(xué)生的錯誤率極高，卻沒有多少教師對習(xí)題的編排是否得當(dāng)產(chǎn)生懷疑。

三、嘗試

筆者以為，既然課程標(biāo)準(zhǔn)中安排這一內(nèi)容，理應(yīng)幫助學(xué)生建立正確的表象。倘若教學(xué)素材都是長方形、正方形和直角三角形這些特殊的圖形，學(xué)生雖能順暢地按指定要求將圖形放大或縮小，但據(jù)此認(rèn)為學(xué)生已掌握了圖形放大與縮小的方法顯然是自欺欺人。為此，筆者在另一所學(xué)校六年級6個班237名學(xué)生中進(jìn)行了對比教學(xué)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生結(jié)合兩幅長方形圖片初步認(rèn)識“圖形的放大與縮小”這一概念后，教師引導(dǎo)學(xué)生將長為4，寬為2的長方形先按3：1的比放大，再按1：2的比縮小，并比較放大或縮小前后的圖形，直觀感知變化前后的圖形形狀不變、大小發(fā)生變化這一顯性特征。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步選擇平行四邊形組織學(xué)生展開研究：

出示：

師：這是一個底是2，高是1的平行四邊形。如果把這個平行四邊形按2：1的比放大，會得到怎樣的圖形呢？閉上眼睛想一想。

接著出示：

師：有學(xué)生根據(jù)要求畫出這樣三個平行四邊形，他們畫得對嗎？先獨(dú)立看一看，再和小組同學(xué)說說自己的想法。

生1：①號和③號不對，②號是對的，看上去只有②號圖形和原來的平行四邊形形狀相同。

生2：我也認(rèn)為②號是對的。雖然這三個平行四邊形的底和高都分別是原來平行四邊形的2倍，但①號和③號平行四邊形的角與原來的平行四邊形不同。

師：從同學(xué)們的交流中不難看出，我們把原來這個平行四邊形按2：1的比放大，如果只關(guān)注底和高，將底和高分別放大為原來的2倍還不行，還要關(guān)注什么？

生：還要關(guān)注角，如果邊與邊的夾角度數(shù)變了，圖形的形狀也就變了。

師：大家說得都有道理，不過怎樣才能確保這里的夾角度數(shù)不變呢？

生1：可以先用量角器量一量原來的夾角，然后畫放大后的圖形時先畫出一個同樣大的夾角，接著把原來角的兩條邊分別按2：1的比放大，確定相鄰的兩條邊就可以補(bǔ)充出完整的平行四邊形。

生2：還有一個簡單的方法，先在原來的平行四邊形中作出一條高，把這個平行四邊形分成一個直角三角形和一個直角梯形，然后先將這里的直角三角形按2：1的比放大，這樣就可以確定放大后圖形的夾角和相鄰兩條邊的位置了，然后在畫出的直角三角形上補(bǔ)充出完整的平行四邊形。

……

這一教學(xué)片段在整節(jié)課中用時不多，但意義深遠(yuǎn)。試想，如果直接出示底是2，高是1的平行四邊形，讓學(xué)生按2：1的比放大，學(xué)生可能會在不知不覺中出錯，但轉(zhuǎn)換思路，先讓學(xué)生直觀想象一下，然后提供幾種答案讓學(xué)生選擇，學(xué)生在比較中大多能選出正確答案，從而聚焦于角度不變這一不易察覺的本質(zhì)特征，使得“圖形的放大與縮小”這一起點(diǎn)型核心知識建構(gòu)得更加精準(zhǔn)。

一周后，筆者將這樣一道操作題（見圖6）編排在單元練習(xí)中，給該校六年級學(xué)生練習(xí)，結(jié)果顯示：正確率為91.1%。這一數(shù)據(jù)足以說明在教師有效的教學(xué)干預(yù)下，這類問題雖難度稍大，但大部分學(xué)生解答時并沒有太大的障礙。

四、建議

筆者以為，課程標(biāo)準(zhǔn)、各版本數(shù)學(xué)教材和一線教師無需遮遮掩掩，應(yīng)理直氣壯地明晰“圖形的放大與縮小”的相關(guān)要求，幫助學(xué)生精準(zhǔn)建構(gòu)起點(diǎn)型核心知識。

1.課標(biāo)應(yīng)明確細(xì)化起點(diǎn)型核心知識的要求

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是逐步建構(gòu)屬于自己的知識體系的過程。數(shù)學(xué)核心知識是知識體系中的主干，其重要性毋庸置疑，而起點(diǎn)型核心知識具有生長基因，它是知識體系建構(gòu)的基礎(chǔ)，明確相應(yīng)的教學(xué)要求將決定著知識體系的走向與深度。

既然六年級學(xué)生能按指定的比將平行四邊形、三角形和梯形放大或縮小，那么，作為教材編寫和教師教學(xué)向?qū)У恼n程標(biāo)準(zhǔn)對第二學(xué)段“圖形的放大與縮小”的要求應(yīng)更為精確。首先，這里的“圖形”應(yīng)涵蓋小學(xué)階段學(xué)習(xí)的六種基本圖形：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形和圓。其次，考慮到三角形、平行四邊形和梯形在放大或縮小的過程中確實(shí)難于長方形、正方形和直角三角形，因此，對這幾種圖形的教學(xué)可分別對待。對長方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圓的要求為“能利用方格紙按一定比例將長方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圓放大或縮小”，這里需要達(dá)到再現(xiàn)的水平;對于平行四邊形、三角形、梯形的要求為“在具體情境中能正確判別平行四邊形、三角形和梯形的放大與縮小”，這里只要求達(dá)到再認(rèn)的水平。如此要求，清晰準(zhǔn)確地表達(dá)了第二學(xué)段“圖形的放大與縮小”所要達(dá)成的目標(biāo)，其中，對長方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圓這五種平面圖形重在體驗(yàn)簡單圖形放大和縮小的方法，而平行四邊形、三角形、梯形重在體會相似變換的特點(diǎn)，從而豐富學(xué)生對“圖形的放大和縮小”的體驗(yàn)。

2.教材須適度拓展起點(diǎn)型核心知識的編排

學(xué)生的現(xiàn)實(shí)是我們開展教育教學(xué)活動需要關(guān)注的首要因素。因此，有時基于學(xué)生的認(rèn)知與心理特征，某些起點(diǎn)型核心知識編排時只能點(diǎn)到即止，但為了幫助學(xué)生形成清晰的認(rèn)識，完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，需要進(jìn)行適度的拓展與延伸，滿足學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)需求。

回顧“圖形的放大與縮小”的相關(guān)教材，面對課程標(biāo)準(zhǔn)較為籠統(tǒng)的提法，各種版本的教材都十分審慎地進(jìn)行了編寫，這本無可厚非。但實(shí)踐表明，倘若我們僅用長方形、正方形和直角三角形這三種特殊的圖形作為研究對象，教學(xué)“圖形的放大與縮小”的相關(guān)知識，難以幫助學(xué)生建立清晰、正確的表象。不過，將所有學(xué)過的平面圖形作為研究對象，統(tǒng)一要求，又明顯增加了學(xué)習(xí)的難度。好在教科書天然蘊(yùn)含選擇的基因。它所承載的內(nèi)容或所謂內(nèi)部知識空間的內(nèi)容，都是從浩瀚的外部知識素材中選擇來的[4]。因此，我們編寫教材時應(yīng)尋找兩者的中間地帶，既還學(xué)生清晰的認(rèn)知，又不加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。蘇教版數(shù)學(xué)教材已做了一些有益的嘗試，教材在練習(xí)最后編排了一個內(nèi)涵十分豐富的實(shí)踐活動——“動手做”（見圖7）。“動手做”選取了四個圖形，除第一個長方形外，其余三個都是一般的圖形。如此編排足可見編者的良苦用心：一方面，學(xué)生通過對具體實(shí)例的觀察和比較，從不同的視角學(xué)習(xí)把一個簡單圖形放大的方法，有利于學(xué)生進(jìn)一步積累把平面圖形放大或縮小的經(jīng)驗(yàn)，加深對所學(xué)知識和方法的理解;另一方面，這幾個圖形恰好是對例題幾個圖形的有效補(bǔ)充，呈現(xiàn)的方法更便于學(xué)生把握圖形相似變換的本質(zhì)特征，讓學(xué)生對所學(xué)平面圖形的放大與縮小有一個較為完整、清晰的認(rèn)識。

3.教師要準(zhǔn)確把握起點(diǎn)型核心知識的本質(zhì)

起點(diǎn)型核心知識在學(xué)生知識體系建構(gòu)過程中的獨(dú)特價值毋庸置疑。因此，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握知識本質(zhì)，慎重對待起點(diǎn)型核心知識的初次教學(xué)，讓學(xué)生獲得正確的知識、有效的方法、合理的策略，以保證在后續(xù)教與學(xué)的過程中能夠順利建構(gòu)新知識[5]。

“圖形的運(yùn)動”在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化，如平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱;二是改變圖形的大小，不改變圖形的形狀，如圖形的放大與縮小?？梢?，相似是不同于平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的另一種圖形變換，它改變兩點(diǎn)間距離的大小，不改變角的大小，因此也稱為“保角變換”。從學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的問題我們不難想到，教學(xué)中結(jié)合具體的例子讓學(xué)生感知到變換過程中的“保角”尤為關(guān)鍵。當(dāng)然，所有這些唯有教師自己能透徹地理解，才有可能尋找到學(xué)生悅納的方式展開教學(xué)。一個最為樸素的原則就是起點(diǎn)型核心知識寧可少教或不教，也不能教錯，否則，一旦埋下錯誤的種子，后面再補(bǔ)救反而得不償失。

知識說到底就是教學(xué)的媒介，教學(xué)的宗旨是通過知識的學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展[6]，但過多過雜的知識教學(xué)會在不經(jīng)意間沖淡教育教學(xué)的本源目標(biāo)。因此，系統(tǒng)梳理教材中的教學(xué)內(nèi)容，厘清核心知識，并選擇起點(diǎn)型核心知識展開深度教學(xué)，無疑是一線教師最為智慧的選擇。

參考文獻(xiàn)

[1] 魏光明.小學(xué)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的認(rèn)識及研究視角[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（31）.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4] 石鷗，張美靜.被低估的創(chuàng)新——試論教科書研制的主體性特征[J] .課程·教材·教法，2019（11）.

[5] 魏光明，王俊亮.小學(xué)數(shù)學(xué)“起點(diǎn)型核心知識”教學(xué)初探[J] .江蘇教育研究，2018（10）.

[6] 余文森.從“雙基”到三維目標(biāo)再到核心素養(yǎng)——改革開放40年我國課程教學(xué)改革的三個階段[J]. 課程·教材·教法，2019（09）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]