一類極限結(jié)論若干證明方法與應(yīng)用

王成強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611130)

0 引言

大學(xué)數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)模塊是從極限知識(shí)模塊展開的[1-3]，例如，Taylor展開式理論是建立在可微函數(shù)類上的，而函數(shù)可微性的定義直接依賴于函數(shù)的極限理論；又如，函數(shù)的Riemann積分就是該函數(shù)在給定的區(qū)間分割上的Riemann和的極限。極限理論是Taylor展開式理論與Riemann積分理論的基礎(chǔ)，而Taylor展開式理論與Riemann積分理論反過(guò)來(lái)又為處理某些極限問(wèn)題帶來(lái)極大的便利[4-5]。本文旨在針對(duì)一類極限結(jié)論，設(shè)計(jì)若干基于Taylor展開式理論與Riemann積分理論的證明方法，以期為大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限、Taylor展開式與Riemann積分的教與學(xué)帶來(lái)更多思考。本文要證明的極限結(jié)論完整表述如下。

結(jié)論(*)[6]設(shè)函數(shù)f(x)在有限閉區(qū)間[a,b]上二次可微，且二階導(dǎo)數(shù)f″(x)在區(qū)間[a,b]上的Riemann積分存在。證明

在本文給出的結(jié)論(*)的幾種證明方法中，函數(shù)Riemann積分的定義本身有重要應(yīng)用，與之等價(jià)的Riemann可積條件也有重要應(yīng)用：對(duì)任何ε>0，都存在δ>0，使得對(duì)區(qū)間[a,b]的任何分割a=x0

就有

本文用到的主要工具有一元函數(shù)與二元函數(shù)的帶Lagrange型余項(xiàng)的Taylor展開式。一元函數(shù)的Taylor展開式完整表述如下：若h(x)在區(qū)間(x0-r,x0+r)上n+1次可微，則對(duì)任何x∈(x0-r,x0+r)，都存在嚴(yán)格介于x0與x之間的實(shí)數(shù)ξ，使得

主要用到的二元函數(shù)的Taylor展開式完整表述如下：若u(x,y)及其偏導(dǎo)數(shù)ux、uy、uxx、uxy、uyx、uyy都在區(qū)域(x0-r1,x0+r1)×(y0-r2,y0+r2)上連續(xù)，則對(duì)區(qū)域中的任何點(diǎn)(x,y)，都存在θ∈(0,1)，使得

本文將基于不同視角，綜合利用函數(shù)Riemann積分的定義、一元函數(shù)與二元函數(shù)的帶Lagrange型余項(xiàng)的Taylor展式，給出結(jié)論(*)的4種證明方法，并利用結(jié)論(*)中的公式給出數(shù)列極限題的簡(jiǎn)潔解答的一個(gè)例子。

1 結(jié)論(*)的4種證法與應(yīng)用

1.1 結(jié)論(*)的4種證法

使得

使得

或等價(jià)地，使得

于是

仿照證法1，可完成證法2的其余步驟。

使得

接著仿照證法1與證法2即可完成證法3的其余步驟。

基于此，進(jìn)一步還可得：對(duì)任何k=1,2,…,n，都存在

使得

對(duì)?ε>0，因?yàn)楹瘮?shù)f″(x)在區(qū)間[a,b]上Riemann可積，是故存在N>0，使得對(duì)任何n>N，都有

借助于這些分析，并經(jīng)過(guò)一些常規(guī)但繁瑣的計(jì)算，有

由數(shù)列極限的ε-N定義，結(jié)論(*)得證。

在結(jié)論的證法1中，用了兩次變限積分形式的一元函數(shù)的Taylor展開式；在證法2中，只用了一次變限積分形式的一元函數(shù)的Taylor展開式；在證法3中，用了一次變限積分形式的二元函數(shù)的Taylor展開式；在證法4中，用到的是結(jié)論(*)給定函數(shù)的Taylor展開式與Riemann可積的充分必要條件，而并未用到變限積分形式函數(shù)的Taylor展開式。相較而言，證法4的想法最直接但步驟最復(fù)雜，證法2的解答步驟最簡(jiǎn)潔，但用以施加Taylor展開式的函數(shù)的選取最精妙。

1.2 應(yīng)用舉例

例1[6]計(jì)算數(shù)列極限

借助于1.1小節(jié)證法1～4中的想法，再仿照它們的證明過(guò)程，可給出例1中的數(shù)列極限的4種計(jì)算方法，但從證法1～4的證明過(guò)程中可察覺，其過(guò)程極其復(fù)雜。經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn)，直接利用結(jié)論(*)可給出例1一種簡(jiǎn)潔的解答。

解直接運(yùn)用結(jié)論(*)中的公式，有

2 結(jié)束語(yǔ)

或等價(jià)地，使得

在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)一些常規(guī)運(yùn)算就能證得