例談高中數(shù)學(xué)解三角形中的核心素養(yǎng)

江蘇 張朋舉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

所謂核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是通過學(xué)習(xí)而逐漸形成的正確價值觀念,是能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力，是實現(xiàn)“立德樹人”目標(biāo)的必要保障；而數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中逐步形成的具有數(shù)學(xué)基本特征的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.它是高中數(shù)學(xué)課程的統(tǒng)領(lǐng)，是數(shù)學(xué)思想的核心.具體包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等6個方面的素養(yǎng).它們彼此相對獨立卻又相互交融，是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思考問題的方式、解決問題的方法以及能力等，是培養(yǎng)優(yōu)秀人才的基礎(chǔ).因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成應(yīng)和數(shù)學(xué)知識的獲取及應(yīng)用結(jié)合起來.

三角形是最基本的幾何圖形.三角形中的數(shù)量關(guān)系在天文、地理、航海等領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“解三角形”安排在了主題三“幾何與代數(shù)”的“平面向量及其應(yīng)用”中，更加凸顯了三角知識和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的融合,使得運用三角知識解決實際問題成為發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.通過對三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)正弦定理和余弦定理，掌握并運用正弦定理和余弦定理解決一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題，發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

1.判斷三角形的個數(shù)，發(fā)展直觀想象

直觀想象是指借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題的素養(yǎng).直觀想象是不同的思維方法或思維形式，是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，也是進(jìn)行思路論證、數(shù)學(xué)推理、實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ).其中想象是在直觀基礎(chǔ)上，是直觀的延伸.數(shù)形結(jié)合是解決三角形問題，研究三角形中邊角的數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)思想，在解三角形的教學(xué)中，通過數(shù)形結(jié)合，判斷三角形的個數(shù)，可以很好地落實對學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象的培養(yǎng).

評析：在本例中，學(xué)生的最大困難就是想不到利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.實質(zhì)上解決本題，我們先在圖中固定了∠A，射線AB，線段AC，然后把a(bǔ)=2想象成以C為圓心，半徑為2的圓.從而把問題理解成“射線AB與圓C有幾個交點”.最后借助數(shù)量關(guān)系a=2>CD，且a>b確定解的個數(shù).當(dāng)然，借助數(shù)形結(jié)合，我們還可以得到一般性的結(jié)論：已知A，a，b，當(dāng)a

2.有邏輯地思考問題，發(fā)展邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).學(xué)生掌握邏輯推理的基本形式就是學(xué)會有邏輯地思考問題.有邏輯的思考問題就是用一定的方法、順序與步驟，對已有的數(shù)學(xué)信息運用數(shù)學(xué)邏輯推理的思考方式建構(gòu)數(shù)學(xué)思維的能力.可以說，邏輯是學(xué)生打開未知數(shù)學(xué)世界的鑰匙，是由知識通向能力的橋梁.推理則是指引學(xué)生如何去深入思考的燈塔，更是用學(xué)到的有限知識去迎接未來無限挑戰(zhàn)的利器.解三角形的許多題目可以很好的發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)而提升思維效率.

3.探究運算思路、方法，發(fā)展數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.它既是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種基本能力，運算能力的培養(yǎng)與學(xué)生素養(yǎng)相輔相成.當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生練習(xí)量很大，但是效果卻欠佳，究其原因是學(xué)生的運算能力不足，因此，在解三角形的教學(xué)中，教師可通過長度、面積、取值范圍等計算題，讓學(xué)生探究合理的運算思路和運算方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

【例4】在△ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，求AC邊上的中線長.

=4cos2B+4cosB-1，

4.測量三角實際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)的研究源于對現(xiàn)實世界的抽象.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，具體來講就是會對現(xiàn)實世界進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和直觀想象.抽象是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常性、普遍性的思維活動，數(shù)學(xué)對象都是抽象思維的產(chǎn)物，抽象過程的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn).在解三角形這部分內(nèi)容中，探究正弦、余弦定理的發(fā)現(xiàn)就是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，除此之外，解決一些關(guān)于測量的三角實際問題，也可以很好的發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

評析：數(shù)學(xué)抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象.在本例中，舍去A，B，C三處的景致、海拔、經(jīng)度、緯度等非本質(zhì)屬性，得到純粹的三個點，舍掉步行、乘纜車、速度等表征，直接抽象出線段AC，AB的長，這都屬于數(shù)學(xué)抽象.