一道極坐標(biāo)方程調(diào)考題引發(fā)的思考
——被忽略的極徑

廣東 閆 偉

極坐標(biāo)方程是選修4-4的內(nèi)容，該試題對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生而言不難，但是根據(jù)考試結(jié)果看學(xué)生得分不高，據(jù)多數(shù)考生反饋本次考題第一問簡單，第二問由于計算量“太大”導(dǎo)致學(xué)生無法解出，究其原因筆者認(rèn)為是學(xué)生過分依賴直角坐標(biāo)方程，理想地認(rèn)為只要轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)方程中就可以解決所有問題，對極坐標(biāo)方程中極徑的本質(zhì)理解不到位.因此高三復(fù)習(xí)備考中應(yīng)強(qiáng)化互化、突出應(yīng)用、突破用“極”、“直”還是“參”及何時用效果更好.本文從極坐標(biāo)方程的本質(zhì)出發(fā)來做一些研究.

1.再現(xiàn)學(xué)生答題錯誤

(I)求C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

下面給出幾個典型錯誤：

無法繼續(xù)算下去，這種把希望寄托在直角坐標(biāo)方程中，殊不知這樣算根號中帶根號，不能繼續(xù)化簡，后續(xù)運(yùn)算勞而無功，經(jīng)統(tǒng)計使用這種解法的學(xué)生占58.49%.

2.錯誤原因分析

2.1 對教材、考試大綱認(rèn)識不足

對于極坐標(biāo)方程，近些年考試大綱明確：(1)了解極坐標(biāo)方程，了解極角、極徑的意義；(2)掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；(3)舉例說明解題時用極坐標(biāo)方程比普通方程更方便，感受極坐標(biāo)方程的優(yōu)越感.對于極坐標(biāo)方程而言：極角的幾何意義是極徑與極軸所成的夾角，極徑是曲線上的點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；學(xué)習(xí)極坐標(biāo)方程有助于學(xué)生進(jìn)一步體會解題中數(shù)學(xué)方法的靈活多變，這一點(diǎn)在考查極坐標(biāo)方程中的極徑ρ的幾何意義上體現(xiàn)尤為突出.

2.2 思維固化導(dǎo)致解題方法僵化

考試過后，和學(xué)生進(jìn)行深入探討，分析無法解答的原因，大部分學(xué)生反映，由于對直線和圓以及圓錐曲線較熟悉，所以解題時嚴(yán)重依賴直角坐標(biāo)方程，只想著在直角坐標(biāo)系中求解，而不想去接受“新知識”、“新方法”，對于該掌握的知識和方法沒有掌握好，更談不上靈活應(yīng)用，導(dǎo)致一些試題陷進(jìn)就束手無策了；如本題第(Ⅱ)問是不適合用直角坐標(biāo)方程求解的，不然計算量很大，也很容易出錯.

2.3 知識系統(tǒng)不完善，師生重視不夠

部分老師認(rèn)為極坐標(biāo)方程這一部分是送分的，新課快速講完，幾乎不怎么復(fù)習(xí)，就直接開始高三一輪復(fù)習(xí)；對于學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況停留在答案對就行的層面，以為學(xué)生會用直角坐標(biāo)方程解答就能應(yīng)對一切，沒有對這部分內(nèi)容進(jìn)行深入的分析，沒有構(gòu)建完善的知識體系.對于學(xué)生而言可能只會進(jìn)行“直”“極”“參”之間的轉(zhuǎn)化，只會在直角坐標(biāo)方程中解答，但是縱觀近些年的高考題，極坐標(biāo)方程的問題一旦轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，就掩蓋了其幾何意義，使得運(yùn)算量繁雜，甚至無法順利完成.筆者分析了近期學(xué)生的作業(yè)，利用極坐標(biāo)來解答的題型學(xué)生都難以應(yīng)對.

3.利用極坐標(biāo)方程解答幾類常見的題型

筆者整理了近年來在高考和模擬考中經(jīng)常出現(xiàn)的利用極坐標(biāo)方程中ρ的幾何意義來解答的試題.

類型1.求線段長度的最值

(Ⅰ)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(Ⅱ)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值.

評注：本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程和極徑的幾何意義，利用極徑表示兩點(diǎn)間的距離，再利用三角化一求最值；要求學(xué)生掌握極徑的應(yīng)用——表示兩點(diǎn)間距離.

類型2.求線段比的最值

(Ⅰ)寫出C1，C2的極坐標(biāo)方程；

解析：(Ⅰ)易求得C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ(cosθ+sinθ)=1，ρ=4cosθ；

評注：本題考查三種方程間的轉(zhuǎn)化，注意消參與轉(zhuǎn)化公式的靈活應(yīng)用；另外，應(yīng)用極坐標(biāo)中極徑的幾何意義可求過極點(diǎn)的弦長，解題中要合理運(yùn)用這些方法.

類型3.求數(shù)量積

(Ⅰ)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|OA|·|OB|的值.

解析：(Ⅰ)易知C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-3=0.

評注：本題考查參數(shù)方程化為普通方程與極徑的幾何意義；將直線化成極坐標(biāo)方程代入圓的極坐標(biāo)方程中，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和極徑的幾何意義求解.

類型4.求面積

評注：本題考查極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程的應(yīng)用，重點(diǎn)是極徑與極角的幾何意義的應(yīng)用，考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識的能力，解答問題的能力，需要學(xué)生積累關(guān)于極徑解題的經(jīng)驗(yàn).

類型5.求參數(shù)

(Ⅰ)若a=2，求曲線M的極坐標(biāo)方程；

解析：(Ⅰ)易求得曲線M的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.

評注：本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的知識，關(guān)鍵是明確極坐標(biāo)系中ρ和θ的意義，從而利用極坐標(biāo)方程建立關(guān)于參數(shù)的等式來求解參數(shù)和距離.

類型6.求軌跡方程

例6.(2019·全國卷Ⅱ·文22理22)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.

(Ⅱ)當(dāng)M在C上運(yùn)動且P在線段OM上時，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

評注：本題主要考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是借助直角三角形邊角關(guān)系建立ρ和θ的等式，再根據(jù)P的位置確定極角的取值范圍，要求學(xué)生熟練運(yùn)用極坐標(biāo)方程進(jìn)行運(yùn)算.

極坐標(biāo)方程的應(yīng)用不只是在選考題中體現(xiàn)，還可以用它來巧妙地解決圓錐曲線中其他類型的問題，可以大大地降低運(yùn)算的復(fù)雜度，在解題教學(xué)中值得推廣.

4.利用極坐標(biāo)方程巧解圓錐曲線問題

類型1.求橢圓方程

類型2.求離心率

類型3.求線段長最值

例9.設(shè)拋物線y2=2x的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AF|+4|BF|的最小值是________.

類型4.求面積最值

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q，M，N四點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的取值范圍.

類型5.求參數(shù)

評注：利用極坐標(biāo)的幾何意義解圓錐曲線問題的類型很多，在此不一一列舉，運(yùn)用角度形式的極徑解題，不但可以秒殺一類涉及圓錐曲線中過焦點(diǎn)的弦的相關(guān)問題，而且避免了聯(lián)立方程組帶來的極其復(fù)雜的運(yùn)算，相比標(biāo)準(zhǔn)答案提供的解法，文中介紹的方法不僅省時省力，且準(zhǔn)確率高，但很多學(xué)生會忽略這種解題的方法，希望教師在復(fù)習(xí)備考時應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注極坐標(biāo)方程中極徑的幾何意義的應(yīng)用，這樣會事半功倍.

5.教學(xué)啟示

近些年全國卷關(guān)于極坐標(biāo)與參數(shù)方程的選考題考查類型比較平穩(wěn)，一般第一問是三類方程的互化，第二問經(jīng)常會出現(xiàn)最值問題、長度問題、面積問題、軌跡問題、函數(shù)問題、存在性問題等，難度有加大的趨勢，考查內(nèi)容逐漸向幾何意義靠攏，化為普通方程解答計算量大，思維的難度也大，切實(shí)體現(xiàn)了極坐標(biāo)與參數(shù)方程解題的優(yōu)越性；所以解決此類問題的思路通常是：若方程的幾何意義不明顯，可以考慮轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，用普通方程的方法解決；若方程的幾何意義明顯，則用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程解題會更簡單.在復(fù)習(xí)備考中，要讓學(xué)生強(qiáng)化對極坐標(biāo)與參數(shù)方程本質(zhì)的理解，重點(diǎn)突破解題中用“極”、“參”還是“直”，靈活應(yīng)對選考題中各類問題，從而提高復(fù)習(xí)備考效率.