一道平面向量試題的多種解法及其拓展引申

廣東 葉土生

(作者單位:廣東省廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

一、提出問(wèn)題

在一次我校與其他兄弟學(xué)校的聯(lián)考中，填空題的壓軸題是一道向量背景的題目，其題設(shè)如下:

本題總體得分率不高，很多的學(xué)生是從解三角形的角度研究本問(wèn)題.向量是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其本身自成一知識(shí)體系，其既有代數(shù)運(yùn)算，又有幾何直觀的雙重特性，還可以與其他知識(shí)(如函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù))相互滲透，從而使得向量的考查形式變得豐富多彩.本文力求從多視角給出本題的解答并給出變式，希望對(duì)讀者有所幫助.

二、試題的多種解法

以下是筆者在講評(píng)試卷過(guò)程中，和學(xué)生一起探討得到的多種解法.

以上解法通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，即解析法解決此題，思路簡(jiǎn)單且容易操作，是這一類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)解法.向量有其特有的運(yùn)算性質(zhì)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而一道向量的問(wèn)題僅僅給出解析法，就顯得有點(diǎn)意猶未盡，而且從開(kāi)發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維角度考慮，也需要對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多個(gè)角度研究解決方法，在講評(píng)了解析法后筆者又引導(dǎo)學(xué)生一起探究其他三種解法.

課后，筆者的一位姓潘的學(xué)生給出了以下的解法，不妨稱(chēng)為“潘氏解法”.

解法四:(“潘氏解法”)

所以有6x+9y=5.

【評(píng)注】“潘氏解法”比以上幾種方法都來(lái)的自然，并且運(yùn)算量更小.他充分利用了幾何性質(zhì)，將代數(shù)與幾何緊密地聯(lián)系到一起，充分利用幾何這一向量的“靈魂”，解法非常漂亮.從潘同學(xué)的解法也可以看出他可能得到前面幾種解法的提示，也可能獨(dú)立思考得到結(jié)果.這也提醒筆者在后續(xù)的教學(xué)中要充分利用好每一個(gè)“好題”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生敢思考、主動(dòng)思考、會(huì)思考.

三、試題的拓展引申

問(wèn)題的題設(shè)給出了兩邊和一個(gè)夾角，從三角形的角度看，是一個(gè)確定性的問(wèn)題.如果把條件弱化，是否可以有其他考查形式呢？筆者順著這個(gè)想法在后續(xù)的課堂給出了兩種改編，目的也是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多個(gè)角度看待一個(gè)問(wèn)題，提升學(xué)生能力.

分析:本題將△ABC兩邊的條件去掉，只給出角A的大小，△ABC是一個(gè)不確定圖形，需要學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化.本題的解決方法也可以有多種形式，但借用“潘氏解法”思路將會(huì)更加自然，以下給出“潘氏解法”思路，其他方法請(qǐng)讀者自行思考.

解:如圖，設(shè)AB=c，AC=b，取AB的中點(diǎn)D,AC的中點(diǎn)E，

則有OD⊥AB，OE⊥AC，所以

【評(píng)注】本題條件中沒(méi)有給出三角形的邊長(zhǎng)，但當(dāng)假設(shè)邊長(zhǎng)后就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原問(wèn)題的模型，所以解題思路是一樣的，最后利用基本不等式得到最值.

【評(píng)注】本題將三角形的條件弱化，從題目的形式看這與前兩個(gè)問(wèn)題屬于不同類(lèi)型，但仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)它們都有很多的共同點(diǎn)，本質(zhì)是一樣的，所以解題方法也類(lèi)似，最后采用整體代入得到結(jié)果.

四、反思

波利亞的數(shù)學(xué)教育思想中包含這樣一個(gè)基本觀點(diǎn):數(shù)學(xué)具有雙重性——數(shù)學(xué)既是演繹科學(xué)，又是歸納科學(xué).在新課程的理念中，需要我們通過(guò)各種各樣的教學(xué)方式提高學(xué)生的思維能力.探尋“一題多解”是提升學(xué)生發(fā)散性思維能力的過(guò)程，這是一個(gè)具有層次性的演繹過(guò)程，它在本質(zhì)上與提升學(xué)生歸納思維能力的“通性通法”是相輔相成的，二者也是辯證統(tǒng)一的.新一輪課程改革正如火如荼地推進(jìn)，對(duì)于課堂時(shí)效性的要求也越來(lái)越高.作為高中數(shù)學(xué)課堂的一線教師，就必須提高例題的典型性，并引導(dǎo)學(xué)生探究、概括一類(lèi)問(wèn)題的解法.通過(guò)“一題多解”可以開(kāi)闊學(xué)生的思路，避免不假思索地做題.一題多解也是不少數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)時(shí)經(jīng)常進(jìn)行的一種教學(xué)方式，但是一題多解不能只是簡(jiǎn)單地展示一道習(xí)題的多樣化解法，這對(duì)于提高解題教學(xué)效率意義不是很大.我們認(rèn)為，要努力通過(guò)一題多解促進(jìn)學(xué)生深刻理解與考題相關(guān)聯(lián)的不同知識(shí)點(diǎn)，這才是一題多解的重要意義所在.