忽視隱含條件導(dǎo)致錯解問題分析

山東 史立霞 秦 振

數(shù)學(xué)問題中的“隱含條件”，就是指在題目中未明確表達(dá)出來，而客觀上已存在的條件.“隱含條件”往往隱含在有關(guān)概念、性質(zhì)和知識的內(nèi)涵中，若明若暗、若隱若現(xiàn)、含而不露，極易被忽視，從而導(dǎo)致解題出錯或解答不完整，甚至造成解題困難.因此，分析易錯題的類型，找出解題中的錯誤，研究改正錯誤的方法，從中吸取教訓(xùn)是我們學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑.

一、忽視已知條件之間的約束限制

二、未注意條件的隱含作用

【例2】設(shè)A，B是一個三角形的兩個內(nèi)角，且tanA，tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個實(shí)根.求tan(A+B)的值并確定m的取值范圍.

【錯解】利用根與系數(shù)的關(guān)系，得

【分析】錯因是沒有考慮條件A，B是一個三角形的兩個內(nèi)角，對tanA，tanB限制的這個隱含條件.而這個隱含條件影響方程的兩個根的范圍，因此也影響m的取值范圍.

【正解】利用根與系數(shù)的關(guān)系，得

三、未考慮Δ的制約

【分析】由于審題不細(xì)，沒有注意到方程3x2+(4m+4)x+2m2+4m-1=0有實(shí)根，即Δ>0這一隱含條件對參數(shù)m的限制，使m=y-x中x，y的范圍擴(kuò)大，造成錯誤.

四、忽視定義中的隱含條件

【例4】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，k∈N，k為常數(shù)，bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank(n=1，2，3…).試判定數(shù)列{bn}是否是等比數(shù)列？如果是，求出其公比；如果不是，請說明理由.

【錯解】由bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank，bn+1=ank+1+ank+2+…+a(n+1)k，

=qk(常數(shù)),所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且公比是qk.

【分析】表面上看沒有問題，實(shí)際上忽視了等比數(shù)列定義中的一個隱蔽性質(zhì)，即等比數(shù)列的任何一項(xiàng)都不能等于零.由上面錯解bn=a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)，若1+q+q2+…+qk-1=0，則數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都為零，顯然不是等比數(shù)列.請大家注意：“把等比數(shù)列依次連續(xù)地每k項(xiàng)分成一組，則各組數(shù)的和也構(gòu)成等比數(shù)列”是不正確的.

【正解】由錯解，當(dāng)1+q+q2+…+qk-1≠0，即q≠-1與k是偶數(shù)不同時成立時，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為qk.

當(dāng)1+q+q2+…+qk-1=0，即q=1且k是偶數(shù)時，數(shù)列{bn}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列，它不是等比數(shù)列.

五、未注意變量間的制約作用

六、未注意函數(shù)定義域的限制

【分析】錯因是審題不細(xì)，沒有考慮隱含條件函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)的制約作用，導(dǎo)致錯誤.

七、忽視兩個變量之間的區(qū)別與聯(lián)系(傾斜角與斜率)

八、未注意方程的“常數(shù)”中隱含的條件

( )

九、未注意定理成立的隱含條件

【例9】若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)是[a,b]上的兩條光滑曲線，且兩條曲線在[a,b]上不相交，則這兩條曲線及直線x=a，x=b所圍成的平面區(qū)域的面積為

( )

【錯解】由定積分的定義及幾何意義可知，D正確.

十、未注意公式成立的隱含條件

【例10】已知數(shù)列{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6=55，a2+a7=16.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

【正解】(1)略.

十一、忽視實(shí)際應(yīng)用問題隱含的條件

【例11】要將大小不同的甲、乙兩種木板截成A，B，C三種不同規(guī)格的木板，每種木板可同時截得三種規(guī)格的木板的塊數(shù)如下表：

A種規(guī)格B種規(guī)格C種規(guī)格甲種木板121乙種木板113

每種木板的面積，甲1 m2，乙2 m2.現(xiàn)在需要A，B，C三種不同規(guī)格的木板12，15，27塊，問在滿足需要的情況下，使用的甲、乙兩種木板面積和最小值為多少？

【分析】錯因是沒有考慮實(shí)際問題中的隱含條件：木板的需要量是一個正整數(shù)，而導(dǎo)致錯誤.

在解題過程中，若能及時發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用隱含條件，不僅可以迅速找到解題的突破口，使解題過程簡單、清晰，還可以促進(jìn)我們對各種基礎(chǔ)知識的融會貫通，逐步培養(yǎng)全面分析問題和解決問題的能力，這也是實(shí)施素質(zhì)教育,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要舉措.