幾何光學(xué)光路圖畫法分類例析

湖南 楊宗禮

光的折射定律、折射率、反射定律、全反射現(xiàn)象是選修3-4高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年都考，主要以計(jì)算題或選擇題的形式進(jìn)行綜合考查。正確畫出完整的光路圖是解決幾何光學(xué)問題的前提和關(guān)鍵，根據(jù)題意準(zhǔn)確、規(guī)范地畫出光路圖才能找到解答問題的幾何關(guān)系，解題時(shí)能找出具有代表性的光線并作出光路圖，可以起到事半功倍的效果。下面筆者進(jìn)行分類例析，希望對同學(xué)們有所啟發(fā)和幫助。

一、常規(guī)情況

【例1】如圖1所示為一透明圓柱體的橫截面，其半徑為R，透明圓柱體的折射率為n，AB是一條直徑。今有一束平行光沿平行AB方向射向圓柱體。求：經(jīng)透明圓柱體折射后，恰能經(jīng)過B點(diǎn)的入射光線的入射點(diǎn)到AB的垂直距離。

圖1

【解析】設(shè)入射角為i，折射角為r，入射光線到AB的距離為h，如圖2所示。

圖2

【點(diǎn)評】1.本題是簡單的幾何光學(xué)問題，其基礎(chǔ)是作出光路圖，根據(jù)幾何知識確定入射角與折射角，再根據(jù)折射定律求解。

2.所謂常規(guī)情況就是研究的光線射到兩種介質(zhì)的界面上時(shí)，往往同時(shí)發(fā)生光的折射和反射現(xiàn)象。

3.解決光的折射問題的思路

(1)根據(jù)入射角、折射角及反射角之間的關(guān)系，作出比較完整的光路圖。

(2)利用幾何關(guān)系確定光路中的邊、角關(guān)系，要注意入射角、折射角均以法線為標(biāo)準(zhǔn)。

(3)利用折射定律、折射率公式求解。

(4)注意在折射現(xiàn)象中光路是可逆的。

【高考真題賞析1】(2018年全國卷Ⅲ)如圖3所示，某同學(xué)在一張水平放置的白紙上畫了一個(gè)小標(biāo)記“·”(圖中O點(diǎn))，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個(gè)標(biāo)記上，小標(biāo)記位于AC邊上。D位于AB邊上，過D點(diǎn)作AC邊的垂線交AC于F。該同學(xué)在D點(diǎn)正上方向下順著直線DF的方向觀察，恰好可以看到小標(biāo)記的像；過O點(diǎn)作AB邊的垂線交直線DF于E；DE=2 cm，EF=1 cm。求三棱鏡的折射率。(不考慮光線在三棱鏡中的反射)

圖3

【解析】過D點(diǎn)作AB邊的法線NN′，連接OD，則∠ODN=α為O點(diǎn)發(fā)出的光線在D點(diǎn)的入射角；設(shè)該光線在D點(diǎn)的折射角為β，如圖4所示。根據(jù)折射定律有

圖4

nsinα=sinβ①

式中n為三棱鏡的折射率

由幾何關(guān)系可知β=60° ②

∠EOF=30° ③

在△OEF中有

EF=OEsin∠EOF④

由③④式和題給條件得

OE=2 cm ⑤

根據(jù)題給條件可知，△OED為等腰三角形，有

α=30° ⑥

二、臨界光線

圖5

【解析】如圖6所示，在O點(diǎn)剛好發(fā)生全反射時(shí)，光在光屏PQ上的落點(diǎn)距O′點(diǎn)最遠(yuǎn)

圖6

解得C=45°

入射光與豎直方向的夾角為θ=C-30°=15°

【點(diǎn)評】1.本題屬于光路中的臨界問題。繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)調(diào)整入射光與豎直方向的夾角，入射角會不斷增大，折射光線偏離OO′越來越遠(yuǎn)，當(dāng)光線在O點(diǎn)剛好發(fā)生全反射，此時(shí)光在光屏PQ上的落點(diǎn)距O′點(diǎn)最遠(yuǎn)。解題關(guān)鍵是找出臨界光線的位置，畫出入射角等于臨界角時(shí)的臨界光路圖，利用幾何關(guān)系和臨界角公式求解。

2.光線由一種狀態(tài)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)時(shí)，可能存在一個(gè)過度的轉(zhuǎn)折光線，這種光線稱之為臨界光線。

3.解答光路中的臨界類問題的一般方法如下：

(1)確定光是從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)還是從光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)；

(3)根據(jù)題設(shè)條件，判定光在傳播時(shí)是否發(fā)生全反射；

(4)如發(fā)生全反射，畫出入射角等于臨界角時(shí)的臨界光路圖；

(5)運(yùn)用幾何關(guān)系或三角函數(shù)關(guān)系以及反射定律等進(jìn)行分析、判斷、運(yùn)算，解決問題；

【高考真題賞析2】(2019江蘇卷)如圖7所示，某“L”形透明材料的折射率n=2。現(xiàn)沿AB方向切去一角，AB與水平方向的夾角為θ。為使水平方向的光線射到AB面時(shí)不會射入空氣，求θ的最大值。

圖7

【解析】要使光線不會射入空氣，即發(fā)生全反射，設(shè)臨界角為C，即有

由幾何關(guān)系得C+θ=90°

聯(lián)立解得θ=60°

圖8

【解析】設(shè)光從半球殼內(nèi)表面邊緣上的A點(diǎn)入射，入射角為90°，折射角為α(全反射臨界角也為α)；然后在半球殼外表面內(nèi)側(cè)的B點(diǎn)發(fā)生折射，入射角為β，如圖9所示。

圖9

由全反射臨界角的定義得

1=nsinα

由正弦定理得

OD為對稱軸，設(shè)∠BOD=γ，由幾何關(guān)系可

設(shè)B點(diǎn)到OD的距離為r，即為所求的半球殼外表面有光線射出區(qū)域的圓形邊界的半徑，由幾何關(guān)系有

由上式聯(lián)立及題給數(shù)據(jù)得

三、邊界光線

( )

圖10

圖11

【點(diǎn)評】1.本題求出射光束的寬度，屬于光路中的邊界問題。兩條邊界光線分別是從O點(diǎn)入射的光線和從E點(diǎn)入射的光線，畫出這兩條光線的光路圖，然后運(yùn)用折射定律與全反射規(guī)律結(jié)合三角形知識求解。

2.所謂邊界光線是指光在傳播過程中，通過光學(xué)儀器或遮光屏的邊緣或端點(diǎn)的光線；亦指一束出射光中兩條最邊緣的光線。

3.解答光路中邊界類問題的一般思路

(1)根據(jù)題設(shè)條件找準(zhǔn)兩條邊界光線

求出射光束的寬度，關(guān)鍵是找邊界光線，如果發(fā)生了全反射，恰好發(fā)生全反射的臨界光線就是一條邊界光線，另一邊界光線要通過分析找出；

(2)畫出兩條邊界光線的光路圖。

(3)運(yùn)用折射定律、全反射規(guī)律以及三角形知識等進(jìn)行運(yùn)算解決問題；

圖12

【解析】在半圓柱形玻璃磚橫截面內(nèi)，考慮沿半徑方向射到圓心O的光線1(如圖13)，它在圓心處的入射角為θ1，滿足θ1=γ①

圖13

θ1恰好等于全反射臨界角，光線1恰好發(fā)生全反射。

在光線1左側(cè)的光線(例如光線2)經(jīng)過柱面折射后，射在玻璃磚底面上的入射角θ2滿足θ2>γ②

因而在底面上發(fā)生全反射，不能直接折射出。

在光線1右側(cè)的光線(例如光線3)經(jīng)柱面折射后，射在玻璃磚底面上的入射角θ3滿足θ3<γ③

因而在底面上不能發(fā)生全反射，能從玻璃磚底面射出。

由折射定律知，經(jīng)圓柱面折射后的折射角

∠OAB=θ4，滿足sini=nsinθ4⑤

式子中，n是玻璃的折射率，由全反射角的定義知

聯(lián)立④⑤⑥式得θ4=γ⑦

由幾何關(guān)系可得∠AOB=γ，故底面上透光部分的寬度

四、對稱性在光路中的應(yīng)用

【例4】如圖14所示，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點(diǎn)為球心；下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜。有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與OC之間的距離為0.6R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射)。求該玻璃的折射率。

圖14

【解析】如圖15所示，根據(jù)光路的對稱性和光路可逆性，與入射光線關(guān)于OC軸對稱的出射光線一定與入射光線平行。這樣，從半球面射入的折射光線，將從圓柱體底面中心C點(diǎn)反射。設(shè)光線在半球面的入射角為i，折射角為r。由折射定律有sini=nsinr①

圖15

由正弦定理有

由幾何關(guān)系，入射點(diǎn)的法線與OC的夾角為i

由題設(shè)條件和幾何關(guān)系有

式中L是入射光線與OC的距離

由②③式和題給數(shù)據(jù)得

由①③④式和題給數(shù)據(jù)得

【點(diǎn)評】1.本題的關(guān)鍵條件是出射光線與入射光線平行，依據(jù)出射光線與入射光線對稱，可判斷光線將從圓柱體底面中心C點(diǎn)反射。畫出光路圖，運(yùn)用平面幾何便可運(yùn)算。

2.對稱性解讀：入射到光學(xué)元件的光線再從光學(xué)元件出射時(shí)，出射角與入射角相等，則出射光線與入射光線對稱；反射光線與入射光線關(guān)于法線對稱，平面鏡成的像與物關(guān)于鏡面對稱。

3.此類問題解題關(guān)鍵

利用對稱性分析常?？墒箚栴}變得簡單易解，能快速解題的關(guān)鍵在于根據(jù)對稱性準(zhǔn)確找出光線在元件內(nèi)部的入射點(diǎn)或出射點(diǎn)并正確作出光路圖。

【高考真題賞析5】(2017年全國卷Ⅱ)一直桶狀容器的高為2l，底面是邊長為l的正方形；容器內(nèi)裝滿某種透明液體，過容器中心軸DD′、垂直于左右兩側(cè)面的剖面圖如圖16所示，容器右側(cè)內(nèi)壁涂有反光材料，其他內(nèi)壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點(diǎn)光源，已知由液體上表面的D點(diǎn)射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。

圖16

【解析】設(shè)從光源發(fā)出直接射到D點(diǎn)的光線的入射角為i1，折射角為r1。在剖面內(nèi)作光源相對于反光壁的鏡像對稱點(diǎn)C，連接C、D，交反光壁于E點(diǎn)，由光源射向E點(diǎn)的光線，反射后沿ED射向D點(diǎn)。光線在D點(diǎn)的入射角為i2，折射角為r2，如圖17所示。設(shè)液體的折射率為n，由折射定律有

圖17

nsini1=sinr1①

nsini2=sinr2②

由題意知

r1+r2=90° ③

聯(lián)立①②③式得

由幾何關(guān)系可知

聯(lián)立④⑤⑥式得

n≈1.55

【點(diǎn)評】本題作出光路圖的突破口是準(zhǔn)確找到光線射到反光壁的入射點(diǎn)，由于物像對稱，反射光線的反向延長線一定過像點(diǎn)，DC連線與反光壁的交點(diǎn)E為入射點(diǎn)。