均勻帶電半球體軸線上電勢計算的微元選取探討

吳顯云，張 容

(成都師范學院 物理與工程技術學院，成都 611130)

電勢是描述靜電場性質(zhì)的重要的物理量之一，它從能的側(cè)面反映了電場的性質(zhì)[1].靜電場中某點的電勢在數(shù)值上等于單位正電荷在該點所具有的電勢能.當帶電體電荷分布已知時，一般可用微元法和定義法兩種方法計算電勢[2].在靜電場的教學中經(jīng)常會討論均勻帶電球面、均勻帶電球體等電荷分布具有高度對稱性的帶電體的電勢分布，一般先利用高斯定理求出電場，然后利用定義(定義法)求解.對于這些均勻帶電體的一部分，如均勻帶電半球面、均勻帶電半球體，因電荷分布不具有高度對稱性不能利用高斯定理求出其電場分布，電場強度計算較為困難，不宜利用定義法計算其電勢，可采用微元法計算其電勢[3].在教學中發(fā)現(xiàn)微元法計算電勢，如何選取微元通常是學生最為薄弱的環(huán)節(jié)，這恰恰又是解決問題最為關鍵的環(huán)節(jié)，如果微元選取不恰當，必定會增加計算的難度，甚至出錯[4,5].

本文以電荷元(微元)的選取為主線，給出均勻帶半球體軸線上電勢的幾種不同計算方法.設均勻帶電半球體的半徑為R，電荷體密度為ρ(參考點選在無限遠處).

1 直接選取基本體積元為電荷元

將半球體分割成許多體積元，直接選取體積元為電荷元.

如圖1 所示建立球坐標系，以半球體球心為坐標原點,半球體軸線為oz軸，體積元的體積為dτ=r2sinφdφdθdr，所帶電荷量為dq=ρdτ=ρr2sinφdφdθdr，它到軸線上任一點P的距離為r1=

圖1 體積元為電荷元示意圖

體積元在P點處產(chǎn)生的電勢為：

均勻帶電半球體在P 點處產(chǎn)生的電勢為：

當z≠0 時，被積函數(shù)分子、分母同乘以2z得：

此結(jié)果的條件是z≠0，對于球心處(z=0)的電勢計算后面再給出.

均勻帶電半球體內(nèi)、外軸線上各個區(qū)間內(nèi)的電勢具有不同的表達式，其中z=0和z=-R分別為半球體的圓面和球面與oz軸的交界點，故作如下分段討論.

當z>0 時，

當z< -R時，

當-R≤z<0 時，

當z=0時，將z=0代入式(1)積分可得球心處產(chǎn)生的電勢為：

上述式(3)、(4)、(5)和(6)即為均勻帶電半球體軸線上各個區(qū)域的電勢的表達式.

圖2 為均勻帶電半球體軸線上的電勢V隨軸線坐標z變化的曲線.利用Matlab 數(shù)值模擬計算時，所用參數(shù)電荷體密度ρ為0.01C m3,半徑R為0.01m.

圖2 半球體軸線上V 隨z 變化的曲線

由圖2 可以看出，當z< -R時，電勢隨著z的增大而增大，當-R≤z<0 時，電勢隨著z的增大先由小變大直到最大3.3978×104V(此處z≈-4.2×10-3m)，然后由大變小，當z>0 時，電勢隨著z的增大而減小.在分界點z=-R和z=0處電勢是連續(xù)分布的(z=-1.0×10-8m、z=1.0×10-8m 和z=0時，V=2.8249×104V).

圖3 相對的半球體軸線上V 隨z 變化的曲線

圖4 球體軸線上V 隨z 變化的曲線

圖3 為相對的半球體軸線上的電勢V隨軸線坐標z變化的曲線.圖2 和圖3 擬合得到圖4，圖4即為兩個相對的半球體結(jié)合得到的球體軸線上的電勢V隨軸線坐標z變化的曲線.當z>0 時，電勢隨著z的增大而減小，當z<0 時，電勢隨著z的增大而增大，當z=0時，電勢最大為V=5.6497×104V.利用上述式(3)、(4)、(5)和(6)通過兩個相對的半球體電勢疊加也可求得球體軸線上的電勢的表達式，當z>R時，將式(3)與式(4)中的z變換為-z的值相加，得到電勢為，當0

2 分別選取面積元和薄圓盤為電荷元

先將半球體分割成許多薄圓盤，然后將薄圓盤分割成許多面積元，分別選取面積元和薄圓盤為電荷元.

如圖5 所示建立極坐標系，薄圓盤看作電荷面分布，設電荷面密度為σ，坐標為r、φ的面積元的 面 積 為ds=rdφdr，所帶電荷量為dq=σds=σrdφdr.

圖5 面積元為電荷元示意圖

面積元在P點處產(chǎn)生的電勢為：

薄圓盤在P點處產(chǎn)生的電勢為：

如圖6 所示建立球坐標系，圓盤的半徑為Rcosθ，厚度為dh=Rcosθdθ，P點到盤心的距離為Rsinθ+z.

圖6 薄圓盤為電荷元示意圖

半球體在P點處產(chǎn)生的電勢為：

令Rsinθ=h，則：

當z< -R時，

當-R≤z<0 時，

當z=0時，將之代入式(8)可得半球體球心處的電勢為：

3 分別選取面積元和半薄球殼為電荷元

首先將半球體分割成許多半薄球殼，其次將半薄球殼分割成許多面積元，分別選取面積元和半薄球殼為電荷元.

如圖7 所示建立球坐標系，半薄球殼看作電荷面分布，設其電荷面密度為σ，面積元的面積為ds=R2sinφdφdθ，所帶電荷量為dq=σds=σR2sinφdφdθ，它到P點的距離為r=

圖7 面積元為電荷元示意圖

面積元在P點處產(chǎn)生的電勢為：

半薄球殼在P點處產(chǎn)生的電勢為：

當z≠0 時，被積函數(shù)分子、分母同乘以2z得：

當z=0時，將之代入式(13)可得半薄球殼球心處的電勢為：

如圖8 所示建立球坐標系，半薄球殼的半徑為r，厚度為dr，P點到半球體球心的距離為z.

圖8 半薄球殼為電荷元示意圖

半球體在P點處產(chǎn)生的電勢為：

當z>0 時，

當z< -R時，

當-R≤z<0 時，

當z=0時，利用式(15)積分可得半球體球心處的電勢為：

4 結(jié)語

通過電荷元的幾種不同選取方法，給出微元法計算均勻帶電半球體軸線上的電勢，得到相同的結(jié)果.方法一直接在半球體中選取體積元為電荷元，計算三重積分求出其軸線上的電勢；方法二分別選取面積元和薄圓盤為電荷元，先在薄圓盤中選取面積元為電荷元，計算二重積分求出薄圓盤軸線上的電勢，然后將薄圓盤近似為電荷元，半球體看作半徑不同的同軸薄圓盤疊加而成，積分可得其軸線上的電勢；方法三分別選取面積元和半薄球殼為電荷元，先在半薄球殼中選取面積元為電荷元，計算二重積分求出半薄球殼軸線上的電勢，然后將半薄球殼近似為電荷元，半球體看作半徑不同的同軸半薄球殼疊加而成，積分可得其軸線上的電勢.比較上述幾種求解過程可以得出，方法一物理模型的建立最為簡單，但是積分運算最為困難；方法二和方法三物理模型的建立難度相當，方法二積分運算比方法三更為簡單；綜合來看，方法二物理模型的建立及積分運算難易相對適中。對上述微元法計算均勻帶電半球體軸線上的電勢中的電荷元的幾種不同選取方法作對比分析表明，恰當選取微元，是應用微元法計算電勢的關鍵，微元的選取是靈活多樣的，根據(jù)電荷分布有體積元、面積元和線段元，應根據(jù)具體問題選取特定形狀的微元.