斯涅爾定律及其推廣和應用*

凌曉輝 王友文 戴志平

(衡陽師范學院物理與電子工程學院 湖南 衡陽 421002)

反射和折射定律是光學和電磁學課程的基本知識點，描述了光波(電磁波)在界面反射和折射時所遵循的基本法則，由荷蘭科學家斯涅爾(Snell，1580-1626)首次提出，并因此而得名. 斯涅爾定律的基本內容[1]：入射、反射和折射光線位于同一面內，入射角等于反射角(反射定律可以看成是斯涅爾定律的一個特例)，且折射角與入射角滿足如下關系

n2sint=n1sini

(1)

這里n1和n2為界面兩側媒質的折射率，i和t分別為入射角和折射角. 這一定律是物理學中的經典定律，適合于電磁波、聲波等.

斯涅爾定律看似簡單，實則博大精深，蘊含了能量守恒、動量守恒和角動量守恒等基本物理規(guī)律. 然而，實際上斯涅爾定律一直都在發(fā)展，新的科學發(fā)現(xiàn)不斷賦予它新的內涵和外延.近年來，斯涅爾定律被科學家們極大地拓展，產生了許多新的研究前沿，如負折射[2]、超構材料[3,4]、超構表面[5～7]和光的自旋霍爾效應[8～12].本文將在介紹經典斯涅爾定律的基礎上，引入斯涅爾定律的幾項重要拓展，討論其在上述前沿領域的推廣和應用.

1 假設折射率為負數 斯涅爾定律會導致什么現(xiàn)象？

當折射媒質的折射率為負數時，會發(fā)生什么現(xiàn)象？此時斯涅爾定律是否仍然適用？經典的斯涅爾定律顯示，當界面兩邊媒質的折射率均為正數時，折射光線與入射光線居于法線的兩側，即正折射. 然而，當出射媒質的折射率為負值時，折射光線將與入射光線居于法線的同側，這種異常折射被稱為負折射(圖1). 這一結論可由式(1)直接得出，即當n2<0時，折射角t也必然為負，也就是說，入射光線與折射光線位于法線的同側.

負折射由前蘇聯(lián)科學家Veselago在1968年首次提出[2]，然而他的論文發(fā)表后一直沒有受到人們太多的關注. 因為負折射率材料要求材料的介電常數和磁導率同時為負值，但迄今為止，自然界中沒有找到這樣的材料. 那能否人工合成負折射率材料呢？2000年，美國加州大學Smith等人首次設計出微波段的人工等效負折射率材料，并在實驗上驗證了負折射現(xiàn)象[3].負折射率材料具有許多新穎的物理性質，如平板成像、超透鏡、反常多普勒效應、逆切倫科夫輻射等，因此被稱為超構材料[4].超構材料是近20年來的研究熱點，引起了光電子學、電磁學、材料物理、凝聚態(tài)物理、微波、天線等學科革命性的變化和發(fā)展，在信息、能源、國防等領域具有重要的應用前景. 它被美國Science雜志列為21世紀前10年的十大重要科學進展之一，更被美國國防部列為六大顛覆性技術之一.

圖1 光在兩種媒質界面的反射和折射

2 在界面上加一個橫向相位梯度會發(fā)生什么現(xiàn)象？

從動量守恒的角度看，入射光、反射光和折射光在平行于界面方向的波矢分量應當相等，即

k1sini=k1sinr=k2sint

(2)

試想，如果人為地在界面上加一個橫向的相位梯度(即加一個橫向的波矢分量kx)，將會發(fā)生什么現(xiàn)象？斯涅爾定律要做什么樣的修正？此時式(2)變?yōu)?/p>

k1sini+kx=k1sinr=k2sint

(3)

這里kx=Φx,且Φx為沿x方向的線性梯度相位，因此kx為常數. 此時反射角和折射角都將得到修正，式(3)也被稱為廣義斯涅爾定律[5].很容易由該定律得知，光垂直入射時(入射角為零)，反射和折射角將不再為零. 以反射為例，如圖2所示，當入射光垂直入射時，隨著相位梯度逐漸增大，反射角也將逐漸增大. 當相位梯度滿足kx>k0時，光束將不再反射，而是變?yōu)檠刂缑鎮(zhèn)鞑サ谋砻娌╗6,7].現(xiàn)在的問題是，如何實現(xiàn)這種線性的相位梯度？

圖2 廣義斯涅爾定律. 橫向的相位梯度使光產生 異常反射(或折射)，甚至變成表面波

美國哈佛大學Capasso教授等人在 2011年率先提出廣義斯涅爾定律[5]，并用等離子超構表面在實驗上實現(xiàn)了界面的線性相位梯度. 這種超構表面由亞波長的“超原子”構成，每個“超原子”結構參數不同，按一定規(guī)則排列，使反射和折射光波產生不同的相位響應，從而可實現(xiàn)線性的相位梯度. 超構表面的厚度遠遠小于波長，因此可以看成是二維的超構材料，能夠在波長和亞波長尺度有效地調控光波的偏振、相位、振幅、波前等性質，在光學、納米光子學、等離子光學等領域具有重要應用前景.

3 非平面波入射時 斯涅爾定律又將如何起作用？

理想光線和平面波嚴格遵循斯涅爾定律，入射、反射和折射光線處于同一個平面之內. 而對于實際光束或波包，由角譜理論可知[1]，可以看成是由許多具有稍微不同的傳播方向的平面波相干疊加而成，它的反射和折射行為又將如何？此時，反射(折射)光束是由不同入射角平面波的反射(折射)的疊加，它將表現(xiàn)為光束發(fā)生垂直于入射面的、自旋相關的橫向位移，即光的自旋霍爾效應,如圖3所示[8～12].

光的自旋霍爾效應為操控光的自旋和軌道角動量提供了前所未有的手段，在精密計量、信息處理以及自旋霍爾光子器件等方面具有重要的應用潛力[9,12,13]. 從角動量守恒的角度看，由于界面具有旋轉不變性，z方向的角動量應該守恒. 光束發(fā)生反射和折射時，自旋角動量發(fā)生改變，因為光的自旋角動量的方向與光的傳播方向平行. 由于z方向的總的角動量守恒，因此自旋角動量的變化量會轉化為軌道角動量，這種軌道角動量體現(xiàn)為橫向的自旋霍爾位移[13]. 然而這種自旋-軌道耦合效應非常微弱，其導致的橫向位移也非常微小，一般處于亞波長量級(波長的數十分之一). 因此長期以來，這一效應并未被人們所觀察到.2008年，美國科學家引入量子弱測量技術，將自旋霍爾位移放大數千倍，從而首次在實驗上觀測到了光的自旋霍爾效應[9].之后，這一領域得到了越來越多研究者的關注. 近年來，隨著納米光子學、近場光學、等離子光學、拓撲光子學等領域的迅速發(fā)展，亞波長尺度的光子自旋霍爾效應變得越來越重要，因為這些領域本身研究的就是波長和亞波長尺度的效應[12,13].

圖3 光的自旋霍爾效應.線偏振高斯光束入射到界面時，其 左、右旋圓偏振分量產生垂直于入射面的、微小的橫向位移

值得一提的是，在全反射的情況下，反射光束除了產生橫向的自旋霍爾位移，還會發(fā)生位于入射面內的、側向的古斯-漢森(Goos-H?nchen)位移，大小一般也在波長量級. 1947年，古斯-漢森位移首次在實驗上被觀察到，已為人們所熟知，相關內容見諸于各種光學教科書[1].其產生的機制與光的自旋霍爾效應雖有不同，但本質上都可以認為是由于光束中各平面波分量具有不同的入射角而造成的，兩種效應可以在理論上被統(tǒng)一地描述起來[14].

4 結論

斯涅爾定律是一個經典的物理定律，具有豐富的內涵和外延，雖然在幾百年前已被發(fā)現(xiàn)，但仍在不斷地迸發(fā)新的生命力. 本文簡要介紹了近年來斯涅爾定律在負折射、超構材料或表面、光的自旋霍爾效應等科學前沿的推廣和應用. 在斯涅爾定律的實際教學過程中，可以通過文中所討論的幾個啟發(fā)性的提問，將其與最新的科學研究前沿聯(lián)系起來，促使學生積極思考、發(fā)現(xiàn)問題，從而開拓學生的視野，激發(fā)學生的想象力和學習物理的興趣，以達到事半功倍的教學效果.