帶有體制轉(zhuǎn)換特征的隨機(jī)波動(dòng)率模型下信用違約互換定價(jià)研究

陳文婷

(江南大學(xué) 商學(xué)院， 江蘇 無錫 214122)

一、研究背景與理論意義

當(dāng)今社會(huì)，金融危機(jī)時(shí)常發(fā)生，對(duì)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展造成了極大的危害。自20世紀(jì)30年代以來，最大的一次金融危機(jī)發(fā)生在2008年，這場危機(jī)給整個(gè)社會(huì)帶來了前所未有的災(zāi)難，它不僅導(dǎo)致數(shù)以百計(jì)的大型金融機(jī)構(gòu)相繼倒閉或被政府接管，還導(dǎo)致了全球股市和房產(chǎn)市場出現(xiàn)嚴(yán)重下滑和低迷。在2015年政府工作報(bào)告中，李克強(qiáng)總理指出，我國需要“發(fā)展金融衍生品市場，創(chuàng)新金融監(jiān)管，防范和化解金融風(fēng)險(xiǎn)”。對(duì)許多金融機(jī)構(gòu)而言，其本質(zhì)就是在經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)，而信用風(fēng)險(xiǎn)是金融機(jī)構(gòu)面臨的主要風(fēng)險(xiǎn)之一，也是導(dǎo)致區(qū)域性乃至全球性金融危機(jī)的關(guān)鍵因素之一，它是貸款或投資債券中經(jīng)常發(fā)生的一種風(fēng)險(xiǎn)，即借款者違約的風(fēng)險(xiǎn)[1]。近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的蓬勃發(fā)展，有效地管理和控制信用風(fēng)險(xiǎn)成了我國乃至世界亟需解決的問題之一。

有效管理和控制信用風(fēng)險(xiǎn)的工具之一是信用衍生產(chǎn)品。它們具有分散信用風(fēng)險(xiǎn)、增強(qiáng)資產(chǎn)流動(dòng)性、提高資本回報(bào)率、擴(kuò)大金融市場規(guī)模與提高金融市場效率等五個(gè)方面的功效[2-3]。信用衍生產(chǎn)品在西方發(fā)展十分迅猛，而目前在我國尚處于初始階段。自2016年以來，我國金融市場上違約事件頻頻發(fā)生。考慮到利用信用衍生產(chǎn)品有助于緩解銀行業(yè)出現(xiàn)的“惜貸”、化解金融不良資產(chǎn)以及緩解中小企業(yè)融資難等問題，2016年9月23日，中國銀行間市場交易商協(xié)會(huì)(NAFMII)發(fā)布了《銀行間市場信用風(fēng)險(xiǎn)緩釋工具試點(diǎn)業(yè)務(wù)規(guī)則》及配套業(yè)務(wù)指引文件，首次在中國推出了“中國版”信用衍生產(chǎn)品，該衍生產(chǎn)品在我國具有極大的應(yīng)用前景，因此，對(duì)信用衍生產(chǎn)品定價(jià)展開研究具有強(qiáng)烈的時(shí)代意義，并且能夠在很大程度上促進(jìn)我國國民經(jīng)濟(jì)的良性發(fā)展。

在所有信用衍生產(chǎn)品中，信用違約互換(Credit Default Swap，簡稱CDS)是債券市場中最常見和最基本的信用衍生產(chǎn)品。針對(duì)某一特定的公司違約風(fēng)險(xiǎn)，信用違約互換合約為其提供了保險(xiǎn)，其中，該公司被稱為參考實(shí)體，該公司的違約被定義為信用事件。信用違約互換的買入方在信用事件發(fā)生時(shí)有權(quán)以債券面值的價(jià)格將公司債券賣給信用違約互換的賣出方，債券的面值被定義為信用違約互換的名義本金。信用違約互換的買入方有義務(wù)在合約期間向賣出方定期付款，直到該合約結(jié)束或者信用事件發(fā)生，定期付款行為發(fā)生在付款時(shí)間段的期末，但是合約的買入方也可以提前付款，或者每半年或每一年付款。當(dāng)發(fā)生違約事件時(shí)，對(duì)合約進(jìn)行交割的方式有支付現(xiàn)金或者交付債券實(shí)物，違約事件通常是指應(yīng)當(dāng)付款時(shí)未能支付、債務(wù)重組或者破產(chǎn)。從信用違約互換的運(yùn)作流程來看，它的本質(zhì)是信用違約互換合約的購買者將債券以面值遞送給出售者，從而有效規(guī)避信用風(fēng)險(xiǎn)[4-5]。由于信用違約互換定義簡單、容易實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化、交易簡潔，自90年代以來，該金融產(chǎn)品在國外發(fā)達(dá)金融市場得到了迅速發(fā)展。

與普通的互換合約類似，對(duì)信用違約互換定價(jià)就是指確定其互換溢價(jià)。近年來，由于信用違約互換的迅猛發(fā)展，對(duì)其進(jìn)行精確定價(jià)得到了業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。例如：Longstaff和Schwartz(1995)解決了在一個(gè)外生過程中信用差價(jià)期權(quán)的定價(jià)問題[6]，De Malherbe(2006)使用概率的方法確定了泊松過程下的信用違約互換的價(jià)格[7]。隨著隨機(jī)強(qiáng)度模型被用于違約事件，Brigo和Chourdakis(2009)在交易對(duì)手的違約和違約的信用違約互換參考信用之間存在關(guān)聯(lián)的情況下考慮了該合約的交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)[2]。

需要指出的是，能否給信用違約互換進(jìn)行準(zhǔn)確定價(jià)的必要條件之一是選取合適的信用風(fēng)險(xiǎn)模型。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，信用風(fēng)險(xiǎn)模型主要分為兩大類，各自代表著對(duì)違約過程形成的兩種截然不同的看法：第一類模型，即簡化模型，認(rèn)為違約的產(chǎn)生是受短期沖擊的影響造成的，具有突然性和不可預(yù)測性。這類模型主要由Artzner和Delbaen(1990)等學(xué)者提出[8]，并由Lando(1998)、Madan和Unal(1998)等學(xué)者通過修正得到進(jìn)一步發(fā)展[9-10]。這類模型主要通過分析市場數(shù)據(jù)來提煉出公司的破產(chǎn)概率，在數(shù)學(xué)上比較容易處理，因而很受歡迎。然而這類模型比較嚴(yán)重的缺點(diǎn)是忽略了公司間破產(chǎn)的相關(guān)性。第二類模型也被稱為結(jié)構(gòu)化模型，是由默頓(Merton)(1974)在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。[5]這類模型通常認(rèn)為違約發(fā)生于公司價(jià)值低于某個(gè)閥值的情況，而公司價(jià)值的變化服從一個(gè)擴(kuò)散過程，公司價(jià)值的突然下跌是不可能的，因此，違約的發(fā)生決不是意料之外的事件，而是在公司經(jīng)營變化過程中逐漸產(chǎn)生的。

雖然默頓模型在信用衍生產(chǎn)品定價(jià)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但是它的假設(shè)有諸多不合理[4][11]。譬如違約只是發(fā)生在債券到期日，這個(gè)假設(shè)與現(xiàn)實(shí)情況不相符。其次，它假設(shè)參照資產(chǎn)收益變化是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，其將來的分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布[5]，但這與實(shí)證研究的結(jié)果是相悖的。有學(xué)者指出，資產(chǎn)收益變化具有偏離布朗運(yùn)動(dòng)的特征，例如資產(chǎn)收益的變化具有長時(shí)間相關(guān)性，與標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布相比，資產(chǎn)的分布往往具有更肥厚的尾等[12-13]。因此，許多學(xué)者試圖修正默頓模型。一種思路是假設(shè)資產(chǎn)收益變化遵循非幾何布朗運(yùn)動(dòng)，如假設(shè)參考資產(chǎn)價(jià)格服從一個(gè)泊松過程[7]、跳躍擴(kuò)散過程[14]、廣義分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)[4]等；另一種思路是假設(shè)參考資產(chǎn)價(jià)格由一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型控制，如Hull-White模型[15]、Stein-Stein模型[16]、海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型[17]、單尺度隨機(jī)波動(dòng)率模型[18]、多尺度隨機(jī)波動(dòng)率模型[19]等。需要指出的是，在所有隨機(jī)波動(dòng)率模型中，海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型受到了最為廣泛的關(guān)注，該模型不僅滿足了市場的一些基本特征，如能夠體現(xiàn)波動(dòng)率的非負(fù)性和它圍繞著一個(gè)長期均值水平來回波動(dòng)等，海斯頓還找出了該模型下歐式期權(quán)的一個(gè)半封閉形式的解析解，使得該模型可以快速而精準(zhǔn)地進(jìn)行校正，從而可以很好地運(yùn)用到實(shí)際金融市場中去。

盡管上述模型都在一定程度上修正了經(jīng)典的默頓模型，但是它們中的絕大部分仍然無法捕捉到真實(shí)市場狀態(tài)不斷變化的事實(shí)，因此，體制轉(zhuǎn)換模型也就應(yīng)運(yùn)而生了。體制轉(zhuǎn)換模型可以合理解釋經(jīng)濟(jì)狀況、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化，體制轉(zhuǎn)換模型反映了金融市場中的利率、匯率、股票回報(bào)等均與經(jīng)濟(jì)狀態(tài)有關(guān)，它假定在給定市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格演變過程由某個(gè)特定的模型來刻畫；當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，價(jià)格演變過程切換到另外的模型中去。我們可以認(rèn)為體制轉(zhuǎn)換模型符合一般的經(jīng)濟(jì)周期理論。體制轉(zhuǎn)換模型最早由Hamilton(1990)提出并運(yùn)用到金融計(jì)量領(lǐng)域[20]，大量的實(shí)證研究也證實(shí)了金融市場中確實(shí)存在體制轉(zhuǎn)換的特征[21-23]。Bollen等(2000)學(xué)者利用體制轉(zhuǎn)換模型來刻畫匯率的波動(dòng)情況[21]。So等(1998)學(xué)者將體制轉(zhuǎn)換引入到隨機(jī)波動(dòng)率模型中，得到了一個(gè)帶有體制轉(zhuǎn)換特征的隨機(jī)波動(dòng)率模型[22]。Vo(2009)指出，So等(1998)學(xué)者提出的模型不僅能夠加強(qiáng)隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)測能力，同時(shí)也能夠反映金融市場中重大事件的發(fā)生對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響。[23]由于海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型在數(shù)學(xué)上具有很強(qiáng)的處理性，帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型引起了學(xué)術(shù)界和業(yè)界的共同關(guān)注。例如：Elliott和Lian(2013)在海斯頓模型的長期回歸均值水平中引入體制轉(zhuǎn)換機(jī)制，并考慮了在該模型下波動(dòng)率互換產(chǎn)品的定價(jià)。[24]He和Zhu(2018)假設(shè)了波動(dòng)率的波動(dòng)率可以在不同狀態(tài)下進(jìn)行切換，并利用漸近展開法得出了相應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格的一個(gè)近似解[25]。最近，He和Chen(2020)將體制轉(zhuǎn)換特征引入到隨機(jī)波動(dòng)率利率模型中，提出了一個(gè)帶有體制轉(zhuǎn)換特征的混合隨機(jī)波動(dòng)率利率模型。(1)He X J, Chen W T. A semi-analytical formula for European options under a hybrid Heston-CIR model with regime switching[J]. International Journal of Finance and Economics, 2020, doi: 10.1002/ijfe.1792.通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，他們找出了該模型下歐式看漲期權(quán)的解析表達(dá)式，并通過實(shí)證研究，證明了該模型在模擬資產(chǎn)走勢方面的優(yōu)越性。

為了使模型能夠更好地模擬公司資產(chǎn)(參考資產(chǎn))的價(jià)格走勢，本文以Elliott和Lian(2013)提出的帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型為藍(lán)本[24]。在該模型下，假設(shè)波動(dòng)率的長期均值水平可以在不同的狀態(tài)中進(jìn)行切換，由于該模型參數(shù)眾多，在此模型下無論是從解析角度還是數(shù)值角度考慮金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)都并非易事。盡管如此，本文依然推導(dǎo)出了在該模型下信用違約互換價(jià)格封閉形式的解析表達(dá)式。文中還通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)定量研究了各種參數(shù)變化，特別是引入體制轉(zhuǎn)換特征對(duì)信用違約互換價(jià)格的影響。值得一提的是，本文所提出的方法具有一定的普適性，在一定程度上可以推廣到求解帶體制轉(zhuǎn)換特征的模型下其他金融衍生產(chǎn)品的價(jià)格。

二、信用違約互換價(jià)格的解析表達(dá)式

本文從解析解的角度重點(diǎn)研究帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下信用違約互換的定價(jià)問題。首先，簡單介紹默頓模型和帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型；其次，推導(dǎo)出在帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下參考資產(chǎn)的破產(chǎn)概率；最后，通過分析現(xiàn)金流進(jìn)一步確定新模型下信用違約互換的價(jià)格。

1. 定價(jià)模型

如前文所述，對(duì)信用違約互換合約進(jìn)行合理定價(jià)的關(guān)鍵在于選取合適的定價(jià)模型。我們將首先回顧經(jīng)典的默頓模型，在此基礎(chǔ)上，引入帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型。

默頓模型是結(jié)構(gòu)化模型的重要代表[5]。這里的“結(jié)構(gòu)”指的是公司的資本結(jié)構(gòu)，即為債券和股權(quán)之間的資本關(guān)系。結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)思想是通過分析企業(yè)的財(cái)務(wù)資本結(jié)構(gòu)情況進(jìn)而判斷企業(yè)違約風(fēng)險(xiǎn)的可能性，簡而言之就是通過比較企業(yè)資產(chǎn)市場價(jià)值和其債務(wù)市場價(jià)值之間的關(guān)系來做出違約風(fēng)險(xiǎn)的判斷。默頓模型的基本思想是把負(fù)債經(jīng)營的企業(yè)視為債權(quán)人所持有的證券，同時(shí)也將其看作是一個(gè)被股東所持有的以該證券為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，當(dāng)企業(yè)總資產(chǎn)的市場價(jià)值高于債務(wù)的市場價(jià)值時(shí)，股東行使看漲期權(quán)，償還公司債務(wù)，進(jìn)而繼續(xù)擁有公司；可是如果當(dāng)債務(wù)市場價(jià)值高于企業(yè)總資產(chǎn)的市場價(jià)值時(shí)，則公司發(fā)生破產(chǎn)，公司將被公司所有人出售給債權(quán)人，由債權(quán)人擁有公司。期權(quán)的價(jià)值和企業(yè)違約的可能性之間存在著重要的聯(lián)系，并且企業(yè)資產(chǎn)價(jià)值與企業(yè)負(fù)債面值之間的差額的期望與公司波動(dòng)率的比值也是影響期權(quán)價(jià)值的重要因素。違約率是債務(wù)到期時(shí)企業(yè)資產(chǎn)的市場價(jià)值小于或者等于企業(yè)負(fù)債的賬面價(jià)值的概率。在默頓模型中，市場被假定是完全的，也就是說，不存在任何的交易成本，同時(shí)，公司資產(chǎn)被假定為不存在流動(dòng)性的調(diào)整，公司資產(chǎn)的價(jià)值被假設(shè)為服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。然而，正如前文指出，該假設(shè)具有諸多不合理性，比較突出的是這種假設(shè)不僅忽略了公司資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率不是常數(shù)這一事實(shí)，也無法將重大事件的發(fā)生對(duì)公司的影響考慮在內(nèi)。

針對(duì)以上兩點(diǎn)，本文選用帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型來模擬公司資產(chǎn)價(jià)格的走勢。在這個(gè)模型下，參考資產(chǎn)的波動(dòng)率被假設(shè)為服從一個(gè)均值回歸過程，且其長期均值水平可在不同的狀態(tài)下進(jìn)行切換。具體來說，假設(shè)參考資產(chǎn)的價(jià)值St在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下滿足帶體制轉(zhuǎn)換特征的隨機(jī)波動(dòng)率模型，即令t為當(dāng)前時(shí)間，vt、r分別為參考資產(chǎn)價(jià)格變化的波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率，St滿足：

且在這兩個(gè)狀態(tài)下的轉(zhuǎn)移率服從一個(gè)泊松過程，即

P(tij>t)=e-λijt(i，j=1，2，i≠j)

其中(·)T是向量的轉(zhuǎn)置，tij是隨機(jī)變量Xt在狀態(tài)i中的逗留時(shí)間，λij為隨機(jī)變量Xt從狀態(tài)i轉(zhuǎn)至狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移率。此外，在這種情形下，波動(dòng)率的長期均值可以分別表述為

dYt=μ(Yt)dt+Σ(Yt)dWt，

(1)

其中

zt=lnSt，W1，t與W2，t是兩個(gè)線性無關(guān)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，μ(Yt)是漂移率，其定義為

其中，

∑(Yt)是波動(dòng)率矩陣，它可以表述為

進(jìn)一步可表述為

其中，H是個(gè)2×2×2的矩陣，其元素Hij(1≤i，j≤2)是2×1的向量，具體為

由于漂移項(xiàng)也可以表述為一個(gè)仿射函數(shù)，因此，上述隨機(jī)過程(1)具有仿射相關(guān)性，該性質(zhì)也是求解公司破產(chǎn)概率的重要性質(zhì)之一。本文接下來將重點(diǎn)闡述如何在該模型下求解公司的破產(chǎn)概率。

2.公司破產(chǎn)概率

公司的破產(chǎn)概率是信用違約互換合約中最重要的因素之一，它代表公司在一定時(shí)期內(nèi)發(fā)生違約的可能性，這也是信用違約互換合同價(jià)格推導(dǎo)的關(guān)鍵一步。本文將考慮如何定量地確定這個(gè)重要因素。

令D為信用違約互換的破產(chǎn)障礙，即參考資產(chǎn)價(jià)格一旦下跌至D，則公司違約發(fā)生。根據(jù)金融意義，可知公司發(fā)生破產(chǎn)的概率為PQ(ST≤D)，其中PQ是在測度Q下的概率。進(jìn)一步令zT=lnST，那么就有PQ(ST≤D)=PQ(zT≤lnD)。

再根據(jù)期望與矩母函數(shù)的關(guān)系，可得

其中j是虛數(shù)單位，a=(0，0)T，b=(-1,0)T，Im(·)是取虛數(shù)部分運(yùn)算，f(φ,Yt,Xt,t,T)是廣義矩母函數(shù)，具有如下定義f(φ,Yt,Xt,t,T)=E[eφ·YT|Yt,Xt]，其中φ=(φ1,φ2)T。從上述過程可以看出，如果這個(gè)矩母函數(shù)可以順利求出的話，那么破產(chǎn)概率也可以很容易的求得。

值得指出的是，由于馬爾科夫鏈Xt的存在，直接計(jì)算廣義矩母函數(shù)f很困難。為了簡化求解過程，本文重新將廣義矩母函數(shù)表述為

f(φ,Yt,Xt,t,T)=E{E[eφ·YT|Yt,XT]|Xt}=E[m(φ,Yt,t,T|XT)|Xt]，

其中m(φ,Yt,t,T|XT)是廣義條件矩母函數(shù)。從f與m的關(guān)系可以看出，一旦確定了m，f就可以通過再求一次期望獲得。因此，求解破產(chǎn)概率在現(xiàn)階段的首要任務(wù)變?yōu)榇_定m。下面的定理闡述了該條件矩母函數(shù)的確定方法。

定理1. 如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和其波動(dòng)率遵循隨機(jī)微分方程(1)，則其廣義條件矩母函數(shù)可以表述為m=eC(φ;τ)+D(φ;τ)·Yt，其中·代表向量的點(diǎn)積，τ=T-t，

證明：根據(jù)Duffie等(2000)中提出的仿射跳躍擴(kuò)散過程的性質(zhì)[26]，可知廣義條件矩母函數(shù)可以表述為m=eC(φ;τ)+D(φ;τ)·Yt，其中函數(shù)C(φ;τ)、D(φ;τ)滿足如下的耦合常微分方程組：

根據(jù)D(φ;τ)的定義，可得

很顯然，D1(φ;τ)是一個(gè)關(guān)于τ的常數(shù)。為了求解D2(φ;τ)，采用平移變換D2(φ;τ)=D2(φ;τ)-φ2，可得如下齊次初始條件的Riccati方程：

其解為

有了D(φ;τ)的表達(dá)式，C(φ;τ)只需在其滿足的常微分方程兩端對(duì)τ做積分。這就完成了整個(gè)定理1的證明。

上文中既然已計(jì)算出廣義條件矩母函數(shù)m(φ,Y,t,T|XT)的具體表達(dá)式，那么只需將最外層的期望計(jì)算出來即可確定廣義矩母函數(shù)f，即

f(φ,Yt,Xt,t,T)=E[m(φ,Yt,t,T|XT)|Xt],=eD(φ;τ)·YtE[eC(φ;τ)|Xt]。

根據(jù)Elliott和Lian(2013)中的結(jié)論[24]，E[eC(φ;τ)|Xt]可以通過以下方式顯式地計(jì)算出來，即

其中，I=(1，1)T，<·>代表向量內(nèi)積，A是馬爾科夫鏈Xt的轉(zhuǎn)移概率矩陣，定義為

而對(duì)角矩陣B可以表述為

其中diag[·]代表該矩陣是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角線上的元素是由該函數(shù)作用的向量的每個(gè)元素組成。因此，廣義矩母函數(shù)f(φ,Yt,Xt,t,T)最終可以寫為

f(φ,Yt,Xt,t,T)=eD(φ;τ)·Yt，

其中

至此，我們已經(jīng)推導(dǎo)出了公司破產(chǎn)概率PQ(ZT≤lnD)的解析表達(dá)式，即

(2)

這可以認(rèn)為是進(jìn)一步確定信用違約互換合約價(jià)格的關(guān)鍵一步。本研究將通過分析現(xiàn)金流來進(jìn)一步確定該合約的價(jià)格。

3.信用違約互換合約的價(jià)格

本研究將根據(jù)上述得到的破產(chǎn)概率進(jìn)一步分析相應(yīng)信用違約互換價(jià)格的解析表達(dá)式。需要指出的是，和一般的金融衍生品不同，信用違約互換的價(jià)格是指合約買方需要定期支付給賣方的金額，通常用參考資產(chǎn)名義價(jià)值的百分比來表示。

為了確定該信用合約的價(jià)格，首先需要分析買賣雙方的現(xiàn)金流狀況。假設(shè)c為信用違約互換的價(jià)格，M為該合約的面值，并假設(shè)在離散時(shí)間點(diǎn)ti(i=0，1，2，…，N且0=t0

其中r是無風(fēng)險(xiǎn)利率。另一方面，對(duì)于賣方來說，當(dāng)且僅當(dāng)公司在T時(shí)刻發(fā)生破產(chǎn)時(shí)，需要支付給買方(1-L)M現(xiàn)金，因此，賣方的現(xiàn)金流為P2=e-rTM(1-L)PQ(ST≤D)，對(duì)于互換合約來說，由于其建立在對(duì)買賣雙方都公平的基礎(chǔ)上，因此，它的初始價(jià)值為0，因此，有P1=P2，即

根據(jù)上一小節(jié)中的結(jié)論，可以推導(dǎo)出c的最終表達(dá)式為

從上述價(jià)格的解析表達(dá)式可以看出，該表達(dá)式只包含一個(gè)一重積分，因此，它可以很容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步的，有了該解析表達(dá)式，信用違約互換的各種風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)，如Δ、Γ等的解析表達(dá)式都可以通過對(duì)價(jià)格表達(dá)式c做相應(yīng)參數(shù)的微分得到。此外，由于解析表達(dá)式的易實(shí)現(xiàn)和可以達(dá)到任意精度的特點(diǎn)，使用該解析表達(dá)式可顯著提高模型校正效率。因此，本研究中的理論工作大大增強(qiáng)了模型的實(shí)用性和可推廣性。此外，上述信用違約互換價(jià)格的解析表達(dá)式也有助于定量分析相關(guān)參數(shù)變化對(duì)價(jià)格的影響。

三、數(shù)值模擬與討論

上文從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格推導(dǎo)出了信用違約互換合約價(jià)格的解析表達(dá)式。因此，在理論上沒有必要再進(jìn)行數(shù)值模擬來討論該價(jià)格的精度。然而，為了使讀者更信服我們的結(jié)論，本文將公式(2)計(jì)算出的結(jié)果與其他方法計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，此外，本文還將定量分析不同參數(shù)的變化，特別是在引入體制轉(zhuǎn)換特征后對(duì)信用違約互換價(jià)格的影響。

在下面的算例中，除非進(jìn)行特殊說明，統(tǒng)一采用如下的參數(shù)設(shè)置。在帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下，假設(shè)當(dāng)前的狀態(tài)為狀態(tài)1，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.03，破產(chǎn)障礙D=80，當(dāng)前參考資產(chǎn)價(jià)格S0=90，當(dāng)前波動(dòng)率水平為v0=0.05，相關(guān)系數(shù)ρ=-0.8，均值回歸速度κ=10，波動(dòng)率的波動(dòng)率σ=0.1，轉(zhuǎn)移率λ12=λ21=10，距離合約到期T-τ=5，并規(guī)定在合約生存期內(nèi)完成20次支付。狀態(tài)1對(duì)應(yīng)的θ1=0.05，狀態(tài)2對(duì)應(yīng)的θ2=0.1。對(duì)于將要進(jìn)行對(duì)比的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型，參數(shù)設(shè)置如下：r=0.03，D=80，S0=90，v0=0.05，ρ=-0.8，κ=10，σ=0.1，T-τ=5，θ=0.05。

首先將檢驗(yàn)新推導(dǎo)出的信用違約互換價(jià)格的正確性。由于破產(chǎn)概率是信用違約互換價(jià)格中最重要的一部分，為了方便起見，該實(shí)驗(yàn)將針對(duì)計(jì)算破產(chǎn)概率進(jìn)行。我們將從公式(2)中計(jì)算出的破產(chǎn)概率與由蒙特卡羅方法直接計(jì)算出的破產(chǎn)概率進(jìn)行比較，由于蒙特卡洛的計(jì)算結(jié)果將作為一個(gè)精確解來做為對(duì)比參照物，因此需要大量的樣本路徑來模擬資產(chǎn)價(jià)格走勢。在本實(shí)驗(yàn)中，我們采用了100，000條路徑來完成蒙特卡羅模擬。兩種方法下的計(jì)算結(jié)果如圖1所示。從圖1-a中可見二者吻合的非常好，從圖1-b可觀察到二者間的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)相對(duì)誤差不超過1%。這些都有力地支撐了我們新推導(dǎo)出的公式的準(zhǔn)確性，表明了該公式可以很安全地運(yùn)用到實(shí)際金融市場中去。另一方面，從圖1-a也可以看出，當(dāng)參考資產(chǎn)的價(jià)格變大時(shí)，公司破產(chǎn)概率也逐漸變小。這是非常合理的，在不考慮價(jià)格有較大的跳躍變化的前提下，如果參考資產(chǎn)價(jià)格越大，那么在短時(shí)間內(nèi)公司資產(chǎn)越不容易觸及破產(chǎn)障礙，公司就越不容易破產(chǎn)。

圖1-a 計(jì)算結(jié)果與蒙特卡羅算法比較

圖1-b 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)相對(duì)誤差

有了該公式的正確性檢驗(yàn)，下面我們將定量研究不同參數(shù)變化對(duì)破產(chǎn)概率的影響。首先研究的是引入體制轉(zhuǎn)換機(jī)制的影響。在圖2中展示了在帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型與海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下，破產(chǎn)概率對(duì)距離到期日的變化。從這張圖中可以觀察到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，即在這兩個(gè)模型下，破產(chǎn)概率都是先單調(diào)遞增，達(dá)到某個(gè)水平后，然后再遞減趨于平緩。進(jìn)一步仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，即便將海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下的波動(dòng)率長期均值水平設(shè)置成與帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下狀態(tài)1中相同的長期均值水平，前者的破產(chǎn)概率也要低于后者的破產(chǎn)概率。從金融角度分析，這是十分合理的。由于可在不同的狀態(tài)中進(jìn)行切換，從平均意義的角度來說，帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型的長期均值水平會(huì)處于狀態(tài)1與狀態(tài)2之間，將略高于相應(yīng)的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下的長期均值水平，導(dǎo)致帶有體制轉(zhuǎn)換特征的模型波動(dòng)率水平總體高于相應(yīng)的不帶體制轉(zhuǎn)換特征的波動(dòng)率水平，因此，前者的破產(chǎn)概率高于后者。

圖2 兩種模型下破產(chǎn)概率的比較

在新的模型中，體制轉(zhuǎn)換的頻率主要由轉(zhuǎn)移率來決定。因此，為了進(jìn)一步定量研究引入體制轉(zhuǎn)換的影響，下面一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)將從轉(zhuǎn)移率變化引起信用違約互換價(jià)格變化的角度展開。在新的模型下，為了簡化起見，不妨假設(shè)兩個(gè)轉(zhuǎn)移率相等，即λ12=λ21=10*z，其中z為縮放參數(shù)。圖3展示了在本文所采取的模型和海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下，信用違約互換價(jià)格關(guān)于z的函數(shù)圖像。從圖中可以清楚地看出，無論轉(zhuǎn)移率如何變化，海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下信用違約互換的價(jià)格不隨著轉(zhuǎn)移率的改變而改變，這是非常合理的，因?yàn)楹Ｋ诡D隨機(jī)波動(dòng)率模型本身就與轉(zhuǎn)移率無關(guān)。而在帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下，當(dāng)轉(zhuǎn)移率都為0時(shí)，該模型就不具備體制轉(zhuǎn)換特征，因此，此時(shí)該模型下信用違約互換的價(jià)格與海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下的價(jià)格一致。由圖3還可以看出，當(dāng)狀態(tài)1中的長期均值水平小于狀態(tài)2中的長期均值水平(θ1(=0.05)<θ2(=0.2))時(shí)，新模型下信用違約互換的價(jià)格是一個(gè)關(guān)于轉(zhuǎn)移率的單調(diào)遞增函數(shù)；反之，如果當(dāng)狀態(tài)1中的長期均值水平大于狀態(tài)2中的長期均值水平(θ1(=0.05)>θ2(=0.01))時(shí)，新模型下信用違約互換的價(jià)格是一個(gè)關(guān)于轉(zhuǎn)移率的單調(diào)遞減函數(shù)。此現(xiàn)象的發(fā)生與模型的金融本質(zhì)是密不可分的。從金融角度分析，轉(zhuǎn)移率的增加，意味著從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率增加，當(dāng)狀態(tài)1中的長期均值水平小于狀態(tài)2中的長期均值水平時(shí)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2中頻率的增加會(huì)引起參考資產(chǎn)平均波動(dòng)率的增加，進(jìn)一步引起公司破產(chǎn)概率的增加。由于信用違約互換價(jià)格與破產(chǎn)概率是正相關(guān)的，因此，在狀態(tài)1中的長期均值水平小于狀態(tài)2中的長期均值水平的前提下，從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的頻率增加將最終導(dǎo)致信用違約互換的增值，反之亦然。

圖3 信用違約互換價(jià)格關(guān)于縮放因子的函數(shù)圖

圖4展示了信用違約互換價(jià)格與距離到期日時(shí)間的關(guān)系。從該圖中可以清楚地發(fā)現(xiàn)，與破產(chǎn)概率類似，信用違約互換價(jià)格與距離到期日時(shí)間是一個(gè)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減的函數(shù)。這個(gè)現(xiàn)象也可以從信用違約互換價(jià)格與破產(chǎn)概率是正相關(guān)的角度來解釋。

圖4 信用違約互換價(jià)格關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖

最后我們研究的是信用違約互換價(jià)格與支付次數(shù)的關(guān)系。如圖5所示，當(dāng)支付次數(shù)增加時(shí)，信用違約互換價(jià)格降低，反之亦然。從金融的角度來考慮，這是非常合理的，因?yàn)樵谘a(bǔ)償金保持不變的情況下，信用違約互換買方支付的次數(shù)越多，每次支付的金額就越少。

圖5 信用違約互換價(jià)格關(guān)于支付次數(shù)的函數(shù)圖

四、結(jié)論與研究展望

本文主要研究了在帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機(jī)波動(dòng)率模型下信用違約互換的定價(jià)問題。通過分析現(xiàn)金流和公司的破產(chǎn)概率，本文得到了在新模型下信用違約互換價(jià)格的一個(gè)解析表達(dá)式，并將其與蒙特卡羅方法計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了該價(jià)格表達(dá)式的正確性?；谠搩r(jià)格表達(dá)式，本文還進(jìn)行了數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，特別是引入了體制轉(zhuǎn)換特征，從定量的角度充分分析了不同參數(shù)變化對(duì)信用違約互換價(jià)格造成的影響。

需要指出的是，在本文中雖然新的模型和原來經(jīng)典的默頓模型相比更加精確，同時(shí)也更加符合實(shí)際的情況，但是新模型依然有許多的不足之處。例如：將波動(dòng)率的長期均值水平假設(shè)為可在不同狀態(tài)中進(jìn)行切換的合理性有待利用實(shí)際市場數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證；其次，在新模型中，利率被假設(shè)為常數(shù)，且沒有考慮公司資產(chǎn)的回報(bào)率等，顯然，這與現(xiàn)實(shí)之中的情況有很大的出入。另一方面，在本文考慮的信用違約互換合約中，公司只有在信用違約互換合約到期時(shí)才有可能會(huì)發(fā)生破產(chǎn)，這顯然是不合理的，現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中公司破產(chǎn)會(huì)發(fā)生在任意時(shí)刻，而并不是只能在到期日時(shí)發(fā)生。在這些與實(shí)際并不完全吻合的假設(shè)下建立模型，依據(jù)該模型計(jì)算出的結(jié)果往往與現(xiàn)實(shí)情況還存在著誤差，因此，修正后的新模型還是不能夠精準(zhǔn)地描述市場狀態(tài)。

為了使定價(jià)結(jié)果更加精確，我們應(yīng)該對(duì)模型的假設(shè)前提進(jìn)行不斷優(yōu)化和修正，不斷對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整改進(jìn)，使它更加符合實(shí)際的市場情況，同時(shí)也讓模型在實(shí)際市場的運(yùn)用之中發(fā)揮著更大的作用，這將是今后的一個(gè)重要研究方向。