秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)中多種定權(quán)方法的精度分析

龔櫟澎，楊久東，李韌，陳志江

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

權(quán)在秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)平差工作中是表征精度的相對(duì)數(shù)字指標(biāo)，定權(quán)模型符合工程測(cè)量的實(shí)際需求，是水準(zhǔn)網(wǎng)平差處理精度的保證?，F(xiàn)有的水準(zhǔn)網(wǎng)平差定權(quán)方法主要有2種：在平坦地形下采用距離定權(quán)，在地形復(fù)雜地區(qū)采用測(cè)站數(shù)定權(quán)。根據(jù)相關(guān)研究學(xué)者的深入研究發(fā)現(xiàn)，水準(zhǔn)測(cè)量的主要誤差來(lái)源是視距及其相關(guān)誤差，所以采用按2個(gè)測(cè)站之間的距離進(jìn)行定權(quán)為基本的傳統(tǒng)定權(quán)方法。但是，水準(zhǔn)測(cè)量的誤差來(lái)源較多，包括系統(tǒng)誤差、偶然誤差以及觀測(cè)時(shí)的觀測(cè)讀數(shù)的相關(guān)誤差等都會(huì)對(duì)測(cè)量成果造成破壞的影響[1，2]。因此，在水準(zhǔn)網(wǎng)測(cè)量平差時(shí)應(yīng)綜合考慮多種因素所帶來(lái)的影響，所以按照傳統(tǒng)定權(quán)法在秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)的平差結(jié)果并不合理[3，4]。該項(xiàng)研究將客觀定權(quán)方法引入到水準(zhǔn)網(wǎng)平差中，客觀定權(quán)是多目標(biāo)決策理論研究的重要內(nèi)容之一，其優(yōu)勢(shì)在于能客觀合理地確定各指標(biāo)的權(quán)重而不受主觀影響[5，6]。該項(xiàng)目選取秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)實(shí)例，以Matlab為工具，將熵權(quán)理論定權(quán)及變異系數(shù)賦權(quán)法引入到秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)中的定權(quán)問(wèn)題，通過(guò)綜合權(quán)衡秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)的觀測(cè)值及測(cè)站間的觀測(cè)距離來(lái)重新確定平差中的權(quán)值，將客觀定權(quán)的秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)平差結(jié)果與傳統(tǒng)距離定權(quán)的平差結(jié)果進(jìn)行精度分析，從而證明客觀定權(quán)方法的合理性及全面性。

1 熵權(quán)法定權(quán)理論

熵權(quán)法通過(guò)構(gòu)造完整的評(píng)價(jià)對(duì)象體系，將評(píng)價(jià)對(duì)象體系中的相關(guān)影響因子組成相關(guān)的判斷矩陣，并根據(jù)影響因子的影響程度進(jìn)行客觀定權(quán)，不具有個(gè)別影響因子單一定權(quán)帶來(lái)的片面性，因此在工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，成為確定指標(biāo)權(quán)系數(shù)的一種有效方法[7，8]。

與傳統(tǒng)定權(quán)方法不同，熵權(quán)法主要取決于m個(gè)可行方案的各個(gè)指標(biāo)向決策者提供的決策信息，并對(duì)其判斷貢獻(xiàn)值的大小，做的貢獻(xiàn)越大，該指標(biāo)的權(quán)重值也就越大。當(dāng)系統(tǒng)處于n種不同的狀態(tài)并且每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率是Pi(i=1,2,…m)時(shí)，評(píng)價(jià)該系統(tǒng)的熵為式(1)：

(1)

式中，pi是每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率，0pi1，且每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率和為1，如式(2)：

(2)

按照以上方案，可得到判斷矩陣，如式(3)：

X=(xij)m×n

(3)

為了更好地進(jìn)行系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理，還需要采用均值標(biāo)準(zhǔn)化方法對(duì)判斷矩陣X進(jìn)行預(yù)處理，從而消除不同量綱的影響。

熵權(quán)法中權(quán)數(shù)的確定是進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的關(guān)鍵，其中主要步驟如式(4～9):

將對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理從而得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：

R=(rij)m×n

(4)

(5)

由公式(4)求出評(píng)價(jià)體系中的相關(guān)影響因子的出現(xiàn)概率pij，如式(6)：

(6)

式中(i=1,2…m;j=1,2…n)。

由公式(6)求第j個(gè)影響因子輸出的信息熵Ej，如式(7)：

(7)

由公式(7)求第j個(gè)影響因子輸出的信息熵權(quán)Dj，如式(8)：

(8)

由公式(6)和公式(8)求出評(píng)價(jià)體系中的定權(quán)結(jié)果Pi，如式(9)：

Pi=Pij·Dj

(9)

在利用熵權(quán)理論定權(quán)重新定權(quán)后，將新的權(quán)值代入到秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行平差處理。

2 變異系數(shù)賦權(quán)法原理

另一種客觀賦權(quán)方法變異系數(shù)賦權(quán)法是依據(jù)評(píng)價(jià)體系中的各項(xiàng)差異指標(biāo)信息，計(jì)算體系中的變異系數(shù)從而確定相關(guān)指標(biāo)的權(quán)重值。與熵權(quán)法相同的是需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理從而得到各項(xiàng)指標(biāo)值的變異系數(shù)，從而解決不同量綱無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)一評(píng)價(jià)的問(wèn)題。

變異系數(shù)賦權(quán)法的重點(diǎn)在于計(jì)算出評(píng)價(jià)體系中的指標(biāo)信息的變異系數(shù)，從而計(jì)算相關(guān)的權(quán)重，主要計(jì)算步驟如式(10～15)：

(1)將對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：

R=(rij)m×n

(10)

(11)

(2)由公式(10)和(11)求出影響因子的出現(xiàn)概率pij：

(12)

式中(i=1,2…m;j=1,2…n)。

(3)各項(xiàng)指標(biāo)的變異系數(shù)公式如下：

(13)

式中，(j=1,2,…n)，Vj是第j項(xiàng)指標(biāo)的變異系數(shù)即標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；σj是第j項(xiàng)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；xj是第j項(xiàng)指標(biāo)的平均數(shù)。

(4)各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重為：

(14)

(5)計(jì)算各項(xiàng)觀測(cè)值的權(quán)值：

Pi=Pij·Wj

(15)

變異系數(shù)法的定權(quán)結(jié)果是將距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)二者分別計(jì)算的結(jié)果pi進(jìn)行相加。

3 利用客觀定權(quán)法對(duì)秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)平差權(quán)重的分配

通過(guò)熵權(quán)理論定權(quán)和變異系數(shù)賦權(quán)法的原理引入到秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)平差中，建立一個(gè)評(píng)價(jià)體系，其中水準(zhǔn)路線的觀測(cè)值為相對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)對(duì)象，在水準(zhǔn)測(cè)量中可能出現(xiàn)的各種因素中選擇最重要的2個(gè)因素即高差觀測(cè)值和路線長(zhǎng)度為評(píng)價(jià)指標(biāo)，具體計(jì)算流程圖如圖1所示：

圖1 計(jì)算流程圖

4 算例計(jì)

4.1 算例概述

表1 觀測(cè)樣本值

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)

4.2 數(shù)據(jù)處理

通過(guò)算例給出的水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值計(jì)算出3種方案的各個(gè)觀測(cè)值的權(quán)重比例，在水準(zhǔn)網(wǎng)中，有m條觀測(cè)路線，還有可能的n個(gè)影響因子(水準(zhǔn)網(wǎng)考慮的影響因子為高差觀測(cè)值及水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度，即n=2)，在計(jì)算出權(quán)重比例后，列出誤差方程式，代入到秩虧網(wǎng)中進(jìn)行平差計(jì)算，得出3種不同權(quán)重比例分配下的點(diǎn)位中誤差，再進(jìn)行點(diǎn)位中誤差精度的對(duì)比分析選擇最優(yōu)的定權(quán)方案。

根據(jù)定權(quán)方法的不同，該項(xiàng)目設(shè)計(jì)了 3 種計(jì)算方案(見(jiàn)表2)。

表2 水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值定權(quán)結(jié)果

方案1：以傳統(tǒng)定權(quán)方法(距離定權(quán)法)計(jì)算的水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值權(quán)值為P1；

方案2：以熵權(quán)法計(jì)算的水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值權(quán)值為P2；

方案3：以變異系數(shù)賦權(quán)法計(jì)算的水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值權(quán)值為P3。

由表2分析得出，通過(guò)2種客觀定權(quán)方法的定權(quán)分配，觀測(cè)值的權(quán)重比例也發(fā)生了變化，即熵權(quán)理論定權(quán)及變異系數(shù)定權(quán)法與傳統(tǒng)定權(quán)的觀測(cè)值相比h3和h4的權(quán)重變大，h5的權(quán)重比例與傳統(tǒng)定權(quán)相比權(quán)重比例降低。

表3 水準(zhǔn)網(wǎng)待定點(diǎn)高程平差精度評(píng)定結(jié)果

由表3中的高程平差精度評(píng)定結(jié)果分析，按照傳統(tǒng)方式定權(quán)即按照距離公里數(shù)定權(quán)的中誤差平均值為±52.146 5 mm，而客觀定權(quán)法的熵權(quán)理論定權(quán)法和變異系數(shù)賦權(quán)法的所求的待定點(diǎn)中誤差分別為±51.243 2 mm和±51.873 2 mm，熵權(quán)理論定權(quán)法中計(jì)算的X3的點(diǎn)位中誤差要比其它2種定權(quán)方法小，精度優(yōu)于傳統(tǒng)定權(quán)方法和變異系數(shù)定權(quán)的方案。計(jì)算結(jié)果表明，熵權(quán)理論定權(quán)法比變異系數(shù)定權(quán)求得的待定點(diǎn)平均中誤差的精度要高，其權(quán)重分配比例最為合理，熵權(quán)理論定權(quán)法和變異系數(shù)賦權(quán)法的待定點(diǎn)精度平均值都表現(xiàn)出客觀定權(quán)方法要優(yōu)于傳統(tǒng)定權(quán)方法。

5 結(jié)論

(1)引入了2種客觀賦權(quán)法進(jìn)行水準(zhǔn)網(wǎng)的平差計(jì)算，即利用熵權(quán)理論定權(quán)法和變異系數(shù)賦權(quán)法對(duì)距離公里數(shù)和高差觀測(cè)值進(jìn)行了綜合的評(píng)價(jià)，都在相對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)體系中對(duì)2個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行權(quán)重的調(diào)節(jié)，從而確保權(quán)重分配的合理性。

(2)采用熵權(quán)理論定權(quán)法和變異系數(shù)賦權(quán)法定權(quán)后平差結(jié)果的精度均高于傳統(tǒng)定權(quán)方法的精度，且熵權(quán)理論定權(quán)法取得的效果在3種方案中的平差效果最好，精度最高。因此，采用熵權(quán)理論定權(quán)法在秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)可以取得良好的平差效果，是一種非常實(shí)用的秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)定權(quán)方法。