基于變步長分階自適應(yīng)匹配追蹤算法的振動數(shù)據(jù)重構(gòu)方法研究*

王朋飛，盛步云

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

0 引 言

機(jī)械振動是工程中普遍存在的現(xiàn)象，往往會影響設(shè)備工作精度，加劇機(jī)器磨損，導(dǎo)致設(shè)備發(fā)生故障或破壞[1]。

傳統(tǒng)的機(jī)械振動信號采樣與重建方法是在奈奎斯特采樣框架下進(jìn)行的，利用目標(biāo)信號中最高頻率兩倍以上的采樣率均勻地對目標(biāo)信號進(jìn)行采樣。隨著機(jī)械振動信號的頻帶范圍越來越廣，若依照上述采樣定律采集振動信號，將導(dǎo)致過多的冗余采樣，不利于信號的傳輸和存儲。

近年來，由Donoho等提出的壓縮感知(compressed sensing, CS)理論作為新的數(shù)據(jù)處理及重建方法，為振動信號處理技術(shù)提供了新的思路[2]。該理論指出，具備稀疏性的信號能夠利用低維的采樣數(shù)據(jù)無失真地重建出來，其中，信號重構(gòu)算法的性能決定了重構(gòu)信號的精度和速度。目前，最常用的信號重構(gòu)算法是貪婪迭代算法，主要包括匹配追蹤(matching pursuit, MP)、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)、壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)等算法[3]。該類算法需要提前得到信號的稀疏度，不便于工程實(shí)現(xiàn)。為此，稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法[4](sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)被提了出來，并有效地解決了實(shí)際信號稀疏度未知的問題。但是SAMP算法使用固定的步長，如果初始步長選擇不合適，會使支撐集引入錯誤的原子，嚴(yán)重地影響重構(gòu)信號的精度和速度。

為解決上述問題，筆者提出一種變步長分階自適應(yīng)匹配追蹤(VSSStAMP)算法，通過閾值來控制步長，使重構(gòu)結(jié)果不過分依賴固定步長的選取，避免人為選取步長產(chǎn)生的誤差；將匹配追蹤、變步長迭代及自適應(yīng)思想相結(jié)合，以彌補(bǔ)傳統(tǒng)壓縮重構(gòu)算法及SAMP算法的不足。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

y=Φx=ΦΨθ

(1)

式中：y—壓縮后的低維信號，y∈RM；x—傳統(tǒng)尼奎斯特采樣得到的原始數(shù)字信號，x∈RN；Φ—測量矩陣，其大小為M×N；Ψ—稀疏矩陣，大小為N×N；θ—K階稀疏系數(shù)。

其中：x通常情況下是不稀疏的，但往往會在某個稀疏字典Ψ中表現(xiàn)出稀疏特性，也就是x=Ψθ。

矩陣Φ表示一個降維的投影操作，把RN映射到RM中，一般來說，K

式(1)中，方程的個數(shù)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個數(shù)，測量矩陣Φ非滿秩，因此，方程有無限個解，很難重構(gòu)出原始信號。但是如果信號x或x在稀疏基Ψ下是K階稀疏的，且Φ滿足約束等距特性(RIP)，那么可以實(shí)現(xiàn)利用K個系數(shù)從M個觀測值中重構(gòu)出原始信號。

基于壓縮感知理論的機(jī)械振動數(shù)據(jù)重構(gòu)流程圖如圖1所示。

圖1 基于壓縮感知理論的機(jī)械振動數(shù)據(jù)重構(gòu)流程

由圖1可知，在壓縮感知理論體系中，有兩個關(guān)鍵的問題需要研究：

(1)如何設(shè)計測量矩陣Φ，使得它在采樣過程中保存信號x的有效信息；(2)如何基于測量信號y重建出原始信號x[5]。

2 測量矩陣

2.1 常用測量矩陣的類別和性能

在壓縮感知理論中，測量矩陣的選取對測量值獲取、重建復(fù)雜度以及信號的恢復(fù)程度起到重要作用。在信號重建算法相同的情況下，測量矩陣的性能優(yōu)劣與信號重構(gòu)效果好壞呈正相關(guān)。

經(jīng)典的測量矩陣大多數(shù)為隨機(jī)測量矩陣，如高斯隨機(jī)測量矩陣、部分哈達(dá)瑪測量矩陣、伯努利測量矩陣等，均滿足約束等距特性(RIP)和非相關(guān)特性，其結(jié)構(gòu)簡單，廣泛應(yīng)用于工程項(xiàng)目中。但該類測量矩陣內(nèi)部元素具有隨機(jī)性，需要占有較多的內(nèi)存及CPU計算能力，對硬件設(shè)備的要求較高。

鑒于隨機(jī)測量矩陣的不足之處，部分研究人員提出了確定性測量矩陣，包括利用行向量循環(huán)移動生成的托普利茲測量矩陣；通過代數(shù)曲線構(gòu)造代數(shù)觀測矩陣；通過多項(xiàng)式方法來構(gòu)造的多項(xiàng)式測量矩陣等[6-8]。當(dāng)構(gòu)造確定性測量矩陣時，只要待測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性能已知，其內(nèi)部元素也隨之確定，系統(tǒng)消耗資源較少。

2.2 常用測量矩陣性能差異

下面通過仿真實(shí)驗(yàn)來檢測常用測量矩陣性能差異，包括托普利茲矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣、循環(huán)矩陣、伯努利矩陣、高斯矩陣和稀疏隨機(jī)矩陣6種隨機(jī)及確定性測量矩陣。

本次實(shí)驗(yàn)的自變量為不同區(qū)間范圍的稀疏度K或測量數(shù)M。對于同一組原始信號x∈RN，基于不同的測量矩陣Φ，在區(qū)間范圍內(nèi)等間隔測試，得到觀測信號y∈RM。通過觀測信號y重構(gòu)信號x，每個觀測值個數(shù)均迭代運(yùn)行1 000次，如果殘差小于10-6信號恢復(fù)成功，將信號恢復(fù)概率依次累加，得到不同測量矩陣重構(gòu)成功率與測量數(shù)M和稀疏度K的關(guān)系，如圖2所示。

從圖2可以看出，在不同測量矩陣重構(gòu)成功率和測量數(shù)M或稀疏度K的關(guān)系曲線中，部分哈達(dá)瑪矩陣均表現(xiàn)出穩(wěn)定均衡的重構(gòu)性能，優(yōu)于其他測量矩陣，則在以下的重構(gòu)算法性能驗(yàn)證中，測量矩陣優(yōu)選部分哈達(dá)瑪矩陣。

圖2 不同測量矩陣重構(gòu)成功率與測量數(shù)M和稀疏度K的關(guān)系

3 VSSStAMP算法

在壓縮感知框架下，已知y=Φx，其核心問題是基于y如何重建出原始的稀疏信號x。

針對稀疏度未知的機(jī)械振動信號壓縮重建情況，筆者提出了一種新的自適應(yīng)貪婪算法，即變步長分階自適應(yīng)匹配追蹤算法，其流程如圖3所示。

該算法通過閾值來控制步長，前期通過大步長快速接近閾值，后期通過小步長逐漸逼近閾值，使其不過分依賴固定步長的選取，從而實(shí)現(xiàn)步長自適應(yīng)的重構(gòu)振動信號，提高了數(shù)據(jù)的重構(gòu)效率，較好地避免人為選取步長產(chǎn)生的誤差。

該算法將匹配追蹤、變步長迭代及自適應(yīng)思想相結(jié)合，解決了傳統(tǒng)壓縮重構(gòu)算法需提前估計稀疏度及SAMP算法固定步長無法使信號在不同階段都達(dá)到真正的稀疏水平的問題，最終提高重構(gòu)信號的精度和效率，且易于工程實(shí)現(xiàn)。

VSSStAMP算法的流程與步驟如下：

圖3 基于變步長分階自適應(yīng)匹配追蹤算法流程圖

(1)輸入：

測量矩陣ΦM×N，觀測向量yM×1，初始步長大小s；

(2)輸出：

該算法的迭代終止條件是，臨近兩次迭代的廣義最小二乘解的差的范數(shù)小于迭代終止閾值ε。

(3)初始化：

具體的算法流程如下：

(6)若重構(gòu)信號的殘差‖ri-ri-1‖2≤ε，則停止迭代進(jìn)入步驟7，否則執(zhí)行步驟1；

該算法一共有兩個階段：其一為變步長階段，另一種為固定步長階段。當(dāng)I=0時，程序處于步長可變的階段；當(dāng)I=1時，則信號恢復(fù)將切換到步長固定的階段。

在架構(gòu)上，VSSStAMP算法與SAMP算法類似，增加了變步長的步驟，具體實(shí)現(xiàn)在第2步，判斷預(yù)選集Ui包含的原子個數(shù)是否大于u*M，若滿足條件，則使用小步長s，否則，使用大步長2*s。由公式可以看出，u值的選取對終止條件的影響較大。

下面介紹如何選擇u。

Candes指出[9]，如果要恢復(fù)信號，則采樣數(shù)應(yīng)為信號稀疏度的4倍。在該算法中，Ui是當(dāng)前迭代的列序號集合和先前迭代的支持集的索引的并集，M是測量矩陣的行數(shù)。根據(jù)上述規(guī)則，u應(yīng)小于1/4。例如，在嚴(yán)格稀疏信號中，當(dāng)初始步長為K且size(Ui)=K時，應(yīng)選擇u<1/4才能成功恢復(fù)原始信號。信號重構(gòu)的第一階段是通過變步長來快速增加預(yù)選集Ui的原子個數(shù)。當(dāng)條件size(Ui)>u*M滿足時，該過程將切換到固定步長的階段。該算法將重復(fù)迭代，直到達(dá)到終止條件‖ri-ri-1‖2≤ε。

同時，VSSStAMP算法采用了反向跟蹤的思想。因此，即使在先前的迭代中引入了錯誤的支持原子，后續(xù)的迭代也可以將錯誤的原子刪除，縮短了步長選取不當(dāng)?shù)牡鷷r間，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)更好的重構(gòu)效果。

4 仿真信號分析及實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證VSSStAMP算法的正確性和有效性，筆者對帶有阻尼的受迫振動系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)仿真驗(yàn)證。

施加初始沖擊后，系統(tǒng)將在阻尼的作用下作持續(xù)的衰減運(yùn)動。三階阻尼振動方程式為：

(2)

式中：x(t)—仿真模擬信號；e(t)—隨機(jī)高斯白噪聲，其SNR為10 dB；Ai—各組成諧波信號的幅值，A1,A2,A3分別是0.6,1.2,1.8；fi—載荷頻率，f1,f2,f3大小為98 Hz,105 Hz,118 Hz；ξi—阻尼系數(shù)，ξ1,ξ2,ξ3分別為0.010,0.008,0.006。

原始仿真信號的時域和頻域波形如圖4所示。

圖4 原始仿真信號的時域和頻域波形

得到仿真信號后，筆者對提出的重構(gòu)算法與OMP、CoSaMP和SAMP算法的重構(gòu)效果、重構(gòu)精度和運(yùn)算時間3方面進(jìn)行比較。

已知測量矩陣為部分哈達(dá)瑪測量矩陣，對于不同的重構(gòu)算法，信號重構(gòu)時域、頻域效果如圖5所示。

由圖5可知：OMP、CoSaMP、VSSStAMP重構(gòu)算法的去噪效果良好，SAMP算法未將去噪效果考慮進(jìn)去且VSSStAMP算法的重構(gòu)效果明顯優(yōu)于其他算法，因此，在時域波形的恢復(fù)效果上，VSSStAMP算法具有較大優(yōu)勢。

由圖5還可知：由于載荷頻率f1和f2差別較少，OMP、VSSStAMP重構(gòu)算法未能正確識別載荷頻率f1，丟失關(guān)鍵頻率特征；SAMP重構(gòu)算法恢復(fù)完整的載荷頻率信息，但不足之處是未將噪聲排除，干擾頻率較多，對后續(xù)分析產(chǎn)生影響；而VSSStAMP重構(gòu)算法得到了完整頻率信息，且基本無干擾頻率。因此，在頻域波形的恢復(fù)效果上，VSSStAMP算法優(yōu)于其他算法。

不同算法信號重構(gòu)的修復(fù)誤差及運(yùn)行時間如表1所示。

圖5 不同算法信號重構(gòu)效果對比圖

表1 不同算法信號重構(gòu)的修復(fù)誤差及運(yùn)行時間

由表1可知：VSSStAMP算法在重構(gòu)精度和運(yùn)算時間上均優(yōu)于傳統(tǒng)的OMP、CoSaMP和SAMP重構(gòu)算法。

綜上，VSSStAMP算法可以解決稀疏度未知信號的重構(gòu)問題，且在重構(gòu)效果、重構(gòu)精度和運(yùn)算時間上均優(yōu)于傳統(tǒng)的重構(gòu)算法。

為了更好地驗(yàn)證VSSStAMP算法的性能，筆者采用XJTU-SY軸承數(shù)據(jù)中心提供的滾動軸承加速實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]進(jìn)行壓縮重構(gòu)處理。其實(shí)驗(yàn)平臺主要由支撐軸承、交流發(fā)動機(jī)、液壓加載系統(tǒng)、測試軸承和轉(zhuǎn)軸等構(gòu)成。主軸轉(zhuǎn)速為2 100 r/min，采集水平方向的振動信號，采樣頻率設(shè)置為25.6 kHz。

正常狀態(tài)下，采用VSSStAMP算法重構(gòu)的軸承振動信號如圖6所示。

圖6 正常狀態(tài)下VSSStAMP算法重構(gòu)軸承信號

圖6中：實(shí)驗(yàn)平臺采集的正常狀態(tài)下的軸承振動數(shù)據(jù)的時域及頻譜圖中，振動信號的長度N大小為4 096，測量信號數(shù)目M大小為1 024，測量矩陣選取部分哈達(dá)瑪測量矩陣ΦM×N；通過改進(jìn)的VSSStAMP算法對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮重構(gòu)。

由圖6可以看出，重構(gòu)信號的時域及頻域恢復(fù)效果具有良好的魯棒性，可提取出振動信號的有效成分。

同理，可得到4種工況下重構(gòu)信號后，計算VSSStAMP算法的重構(gòu)精度和運(yùn)算時間，如表2所示。

表2 VSSStAMP算法的重構(gòu)精度和運(yùn)算時間

由表2可知，對于任意工況，基于VSSStAMP算法均能夠以較高的重構(gòu)精度以及合適的重構(gòu)時間，來實(shí)現(xiàn)振動數(shù)據(jù)的壓縮與重構(gòu)。

5 結(jié)束語

以壓縮感知理論為基礎(chǔ)，筆者首先對測量矩陣進(jìn)行了篩選，選擇了性能最優(yōu)的測量矩陣用以得到最佳觀測向量，提高了信號重構(gòu)成功概率；其次結(jié)合匹配追蹤、變步長迭代及自適應(yīng)思想，針對傳統(tǒng)壓縮重構(gòu)算法需提前估計稀疏度，及SAMP算法固定步長無法使信號在不同階段都達(dá)到真正的稀疏水平的問題，在未知振動信號稀疏度的前提下，提出了基于變步長分級自適應(yīng)匹配追蹤振動數(shù)據(jù)重構(gòu)算法。

仿真分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明：在時域、頻域波形恢復(fù)效果、重構(gòu)精度和運(yùn)算時間方面，VSSStAMP算法均優(yōu)于傳統(tǒng)的OMP、CoSaMP和SAMP重構(gòu)算法，因此，它是一種綜合性能優(yōu)異的振動數(shù)據(jù)重構(gòu)方法。