中立型隨機非線性系統(tǒng)解的噪聲到狀態(tài)漸近有界性

任 麗,呂 文

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺 264005)

隨機微分方程被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、生物、物理、自動化、金融等領(lǐng)域，在系統(tǒng)分析過程中，穩(wěn)定性和有界性理論是研究的2個重要方面，近幾十年來，對隨機微分方程的研究吸引了人們廣泛的關(guān)注，例如文獻[1-5].

中立型隨機微分方程不同于一般的方程之處在于它的導(dǎo)數(shù)項里也帶有時滯，依賴于過去和現(xiàn)在的值，HALE 和LUNEL[6]對這類方程的研究做出了很大的貢獻.在考慮環(huán)境擾動的情況下，KOLMANOVSKII和NOSOV[7]、MAO[8]討論了由Brownian驅(qū)動的時滯中立型隨機微分方程.2018 年，LV[9]提出了具有如下形式的中立型隨機非線性系統(tǒng)(1)，分析了在全局Lipschitz、 局部Lipschitz和線性增長條件下的解的存在唯一性，給出系統(tǒng)的噪聲到狀態(tài)p階矩指數(shù)穩(wěn)定性；本文在LU[9]基礎(chǔ)上，用其他的條件替換掉線性增長條件得到了系統(tǒng)(1)解的存在唯一性定理，進而給出系統(tǒng)解的p階矩噪聲到狀態(tài)漸近有界性和p階矩噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性,

F(x(t),x(t-τ),t)dt+

G(x(t),x(t-τ),t)ξ(t)dt，t≥t0,

(1)

其中，方程中的初值是xt0,ξ(t)是二階矩過程.

DENG等[10]、KRSTIC等[11]對Brownian隨機非線性系統(tǒng)提出了噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定的概念；隨后，ZHANG等[12]研究了具有二階平穩(wěn)過程的狀態(tài)切換隨機非線性系統(tǒng)的噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性，繼而ZHANG等[13]在二階過程合理假設(shè)下建立了隨機切換系統(tǒng)的噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性準(zhǔn)則.后來，人們對此類問題進行了大量的研究，例如，XIE 和ZHANG[14]研究了中立型隨機微分方程的穩(wěn)定性和漸近有界性.

本文第1節(jié)中將介紹所用到的基本概念，第2節(jié)中，討論中立型隨機非線性系統(tǒng)的解的存在唯一性；第3節(jié)中將考慮系統(tǒng)解的p階矩噪聲到狀態(tài)漸近有界性，最后給出一個關(guān)于p階矩噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性的推論.

1 預(yù)備知識和基本假設(shè)

首先給出本文將用到的基本符號和引理.

(Ω,F,Ft,P)是給定的完備可測空間，其中流{Ft}t≥0滿足通常條件；對任意的p>0, 記

本文將考慮如下中立型隨機非線性系統(tǒng):

G(x(t),x(t-τ),t)ξ(t)dt，t≥t0,

(2)

(A1)ξ(t)∈d是 Ft-適應(yīng)的，滿足分段連續(xù)，且存在參數(shù)c0,d0，使得

(A3)存在κ∈(0，1)使得對任意的x∈n，有

定義1 對任意的t≥t0-τ，稱x(t):=x(t,t0,x(t0-τ))是系統(tǒng)(2) 的一個解，如果x(t)滿足：

(1) 對任意的t≥t0-τ，x(t)是連續(xù)并且 Ft-適應(yīng)的，當(dāng)t∈[t0-τ,t0], 滿足Ft≡Ft0;

(3)對任意的T>t0,下列等式成立:

定義2 若存在常數(shù)δ≥0和一類Κ類函數(shù)γ(·)使得

稱非線性系統(tǒng)(2)的解是p階矩噪聲到狀態(tài)漸近有界的.

定義3 設(shè)p>0，若存在正常數(shù)c、λ和Κ類函數(shù)γ(·)，使得對任意t≥t0有

稱隨機非線性系統(tǒng)(2)是p階矩噪聲到狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定的.

以下引理參見文獻[9].

引理1 設(shè)p≥1，假設(shè)(A3)成立，則對任意的x,y∈n，有

α1-λc2}(1+κ)p-1-

eλτ(α2+κλc2(1+κ)p-1)=0，

其中:

τeλτ(α2+κλc2(1+κ)p-1].

引理3 假設(shè)(A1)、(A2)成立，則中立型隨機非線性系統(tǒng)(2) 在區(qū)間[t0,σ∞)上存在唯一解.

2 解的存在唯一性

在本節(jié)中，將給出系統(tǒng)(2)解的存在唯一性定理，首先給出如下假設(shè):

(A4)假設(shè)存在正常數(shù)c1,c2，α1,α2,α3,d,α1>α2,C1函數(shù)V(x,t):n×[t0,∞)→+使得對p≥1，?t≥t0,x,y∈n,

c1|x|p≤V(x,t)≤c2|x|p;

(3)

-α1|x|p+α2|y|p+α3.

(4)

定理1 假設(shè)(A1)—(A4)成立，則中立型隨機非線性系統(tǒng)(2)存在唯一解.

-α1|x(t)|p+α2|x(t-τ)|p+

對不等式兩邊積分并求期望，由假設(shè)(A3)和式(3)得

c2(1+κ)p-1E(|x(t0)|p+κ|x(t0-τ)|p)+

c2(1+κ)p-1E(‖η‖p+κ‖η‖p)+

由于

類似于文獻[15]中引理5的證明過程，易得σ∞=∞.a.s. 即方程(2) 存在全局唯一解. 證畢.

3 p階矩噪聲到狀態(tài)漸近有界性

本節(jié)中，我們考慮中立型隨機非線性系統(tǒng)(2) 解的p階矩噪聲到狀態(tài)漸近有界性.

eλtE|x(t)|p≤κeλtE|x(t-τ)|p+

由于

代入上式得

化簡得

從而

兩邊同乘e-λt得

E|x(t)|p≤

令t→∞，得

即中立型隨機非線性系統(tǒng)(2) 的解是p階矩噪聲到狀態(tài)漸近有界的. 證畢.

對上述定理2，令α3=0，可得文獻[9]中的定理3.

推論設(shè)定理2的假設(shè)成立且α3=0，則中立型隨機非線性系統(tǒng)(2) 是p階矩噪聲到狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定的.

證明由定理2的證明，令α3=0，得

E|x(t)|p≤

即中立型隨機非線性系統(tǒng)(2)是p階矩噪聲到狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定的. 證畢.