關于耦合交通流Aw-Rascle模型Riemann問題

王文雷,潘麗君

(南京航空航天大學理學院,江蘇 南京 210016)

2000年,RASCLE和AW提出了二階交通流模型[1]:

(1)

其中:ρ≥0代表車流密度,即表示單位長度有多少輛車輛;v≥0代表地點行車速度,即某個特定車輛的速度[2-5];標量η>0是微觀中對應車輛的加速與減速的加權[6];變量w代表優(yōu)先速度;壓強項p(ρ)為一個預期因子．這里假設p(ρ)滿足:

p(ρ)=ργ,γ>0,

(2)

所以對?ρ有ρp″(ρ)+2p′(ρ)>0,又由文獻[7]可知標量η越小,密度ρ越大,交通事故的發(fā)生概率也變大．

現(xiàn)實生活中,司機可能會出現(xiàn)一段時間走神的現(xiàn)象,即大腦突然空白這種短暫的無意識階段,為了描述這一現(xiàn)象并預測交通事故,2010年HERTY和SCHLEPER提出了下面的耦合Aw-Rascle(AR)交通模型[7]．

x<0:

(3)

x>0:

(4)

耦合條件:

(5)

其中μ<η．將x<0路段記為μ路段,將x>0路段記為η路段,如圖1所示.

圖1 暫時失去意識駕駛?cè)耸康牡缆肪W(wǎng)絡(μ<η)

耦合交通模型(5) 中的第一個方程表示質(zhì)量守恒,第二個方程表示動量守恒,第三個方程表示兩條路段交匯處的最大車流量,更多細節(jié)可以參考文獻[1,6,8-9]．針對上面的耦合模型(3)-(5)的黎曼問題,HERTY 和SCHLEPER在文獻[7]證明了解的存在性,但是沒有給出顯式解．此外,在μ→0的條件下,他們證明了帶有如下初值

(6)

耦合交通模型(3)-(5)的解的唯一．

本文仍然研究耦合AR交通模型(3)-(5)帶有初值(6)的黎曼問題．根據(jù)不同的情況,利用特征分析法和相變的相關理論,詳細構造出耦合AR模型黎曼問題的顯式解,并且在無μ→0的條件下,證明了黎曼解的唯一性．

1 基礎知識

系統(tǒng)(1)的特征值為:

λ1=v-ηρp′(ρ)

故系統(tǒng)(1)是嚴格雙曲的,對應的特征向量為:

第1-Riemann不變量w和第2-Riemann不變量z分別為:

w=v+ηp(ρ),z=v.

(9)

為表達方便,需引進一些記號．記

圖2 曲線曲線和曲線的數(shù)學性質(zhì)在平面(ρ,ρv)表達

經(jīng)過簡單的計算得到:

需求函數(shù)為

d(ρ;(wμ=w-))=

(10)

供給函數(shù)為

s(ρ;(wη=w-))=

(11)

此時條件(5)的第三個方程變?yōu)?/p>

ρμvμ=ρηvη=

min{s(ρ*;{wη=w-}),d(ρ-;{wμ=w-})}[7],

耦合條件(5)可以改寫為

(12)

2 Riemann問題的顯式解及其唯一性

本節(jié),根據(jù)不同情況詳細討論耦合AR交通模型(3)—(6)的 Riemann問題,利用特征分析法和相變的相關理論構造出上述問題的顯式解,并討論解的唯一性．

在(x,t)平面上,由AR交通模型的特征值λ1和λ2,可以先粗略地表示出Riemann問題(3)—(6)解的結(jié)構[7],如圖3所示．

圖3 在(x,t)平面上粗略表示Riemann問題波的形式

在μ-路上左狀態(tài)u-=(ρ-,v-)先通過負波連接到狀態(tài)uμ=(ρμ,vμ),再通過耦合條件跳躍到η-路上的狀態(tài)uη=(ρη,vη),此時狀態(tài)uη=(ρη,vη)通過正波連接到中間狀態(tài)u*=(ρ*,v*),最后中間狀態(tài)u*通過正波連接到右狀態(tài)u+=(ρ+,v+)．

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

CaseⅠv+

CaseⅠ.1s(ρ*；{wη=w-})

SubcaseⅠ.1.1ρ*v+<ρ-v-.

(18)

圖4 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

圖5 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

(19)

圖6 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

SubcaseⅠ.1.2ρ*v+>ρ-v-

(20)

圖7 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

(21)

圖8 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

CaseⅠ.2s(ρ*;{wη=w-})>d(ρ-;{wμ=w-}).

SubcaseⅠ.2.1ρ-v-<ρ*v+.

(22)

圖9 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解(ρ-v-<ρ*v+)

SubcaseⅠ.2.2ρ-v->ρ*v+.

如圖10所示,此時該Riemann問題的解結(jié)構為

CaseⅡv+>v-+μp(ρ-).

CaseⅡ.1s(ρ*;{wη=w-})

u0=(ρ0,v0)?(0,v-+μp(ρ-)).

(23)

(24)

此時的Riemann問題的解結(jié)構為

(25)

圖10 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)表示在跳躍處的黎曼問題解(ρ-v->ρ*v+)

圖11 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

圖12 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

CaseⅡ.2s(ρ*;{wη=w-})>d(ρ-;{wμ=w-}).

(26)

圖13 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳躍處的黎曼問題解

注對于情況Case Ⅱ.2,HERTY和SCHLEPER在文獻[7]中證明了μ趨于0時,耦合AR交通模型黎曼解具有唯一性,而本文無需滿足該條件．

綜上,Riemann問題(3)—(6)的顯式解已經(jīng)完全獲得,于是得出如下定理:

定理給定初值(6),如果μ<η,則耦合AR交通模型(3)—(5)的Riemann解存在且唯一．