聚焦數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)零點(diǎn)問題中的滲透

胡 彬

函數(shù)的零點(diǎn)是高考命題的重點(diǎn)，它可與多種函數(shù)及函數(shù)的圖像、性質(zhì)相結(jié)合命題，其中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。利用數(shù)形結(jié)合法，可使函數(shù)零點(diǎn)的復(fù)雜問題簡單化、函數(shù)零點(diǎn)的抽象問題具體化，有助于把握該數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，有利于達(dá)到優(yōu)化解題的目的。

聚焦一：利用圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個數(shù)

由圖可知，其圖像交點(diǎn)個數(shù)為3。

評析：判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的三種方法：①方程法，若對應(yīng)的方程f x( )=0 可解時，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)(相同的解除外)；②零點(diǎn)存在性定理法，利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間a，b[ ]上是連續(xù)不斷的曲線，且f a( )·f b( )＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)，才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；③圖像法，畫出兩個對應(yīng)函數(shù)的圖像，其圖像交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)。

聚焦二：函數(shù)零點(diǎn)(方程根)所在區(qū)間的判斷

解：設(shè)f(m)=6。由f[f(x)-log2x]=6，可得f(x)-log2x=m，整理可得f(x)=log2x+m，則f(m)=log2m+m=6，解得m=4，所以函數(shù)f(x)=log2x+4。

評析：解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)f(x)的解析式，其中畫出函數(shù)圖像可使解題過程更簡化。

聚焦三：函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題

解：畫 出 函 數(shù)f(x)的圖像，如圖2所示。

由圖可知，要使方程f(x)=m 有四個不等實(shí)根，則1≤m＜2。

評析：函數(shù)零點(diǎn)問題常與函數(shù)的性質(zhì)或其他知識綜合考查，題型設(shè)計新穎，知識的綜合度較高，對思維能力要求較高，可以培養(yǎng)同學(xué)們的核心素養(yǎng)。