裂縫網(wǎng)絡(luò)支撐劑非均勻分布對(duì)開(kāi)采動(dòng)態(tài)規(guī)律的影響

朱維耀，張啟濤，岳 明，張燎源

1) 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083 2) 中國(guó)石化勝利油田分公司石油工程技術(shù)研究院，東營(yíng) 257000

水力壓裂技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于非常規(guī)油氣資源的開(kāi)發(fā)中[1-5]. 在壓裂過(guò)程中需要注入大量的固體支撐劑顆粒，目的在于防止人造裂縫在閉合壓力的作用下完全封閉，從而為地下油氣資源的采出提供高導(dǎo)流能力的通道，提升油氣田的開(kāi)發(fā)效果[6-7]. 支撐劑的分布狀態(tài)將直接影響生產(chǎn)井的生產(chǎn)效果，針對(duì)直井單裂縫中支撐劑在注入過(guò)程后的運(yùn)移與沉降過(guò)程，前人已經(jīng)進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究[8-14]. 然而在實(shí)際開(kāi)發(fā)過(guò)程中，地下的裂縫主要以相互交錯(cuò)的縫網(wǎng)形式存在[15-16]，針對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的支撐劑分布，一些學(xué)者進(jìn)行了物理實(shí)驗(yàn)的研究[17-19]，但是相關(guān)數(shù)值模擬及理論研究相對(duì)缺乏. 同時(shí)，目前支撐劑的研究仍然主要集中在支撐劑的運(yùn)移過(guò)程上，針對(duì)支撐劑分布狀態(tài)對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)規(guī)律影響的模擬研究相對(duì)較少，相關(guān)問(wèn)題具有較大的研究?jī)r(jià)值.

為了準(zhǔn)確地模擬支撐劑在裂縫的運(yùn)移分布規(guī)律以及鋪砂過(guò)程結(jié)束后裂縫在實(shí)際儲(chǔ)層中的生產(chǎn)表現(xiàn)，本文在之前已經(jīng)建立的裂縫鋪砂數(shù)學(xué)模型[12]、裂縫導(dǎo)流能力數(shù)學(xué)模型[20]及含啟動(dòng)壓力梯度致密儲(chǔ)層開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)模型[21]的基礎(chǔ)上，建立了致密油壓裂開(kāi)發(fā)全耦合計(jì)算模型，研究支撐劑在裂縫網(wǎng)絡(luò)的分布狀態(tài)對(duì)致密儲(chǔ)層開(kāi)采動(dòng)態(tài)規(guī)律的影響，以期為現(xiàn)場(chǎng)開(kāi)發(fā)提供指導(dǎo).

1 數(shù)學(xué)模型選擇

1.1 裂縫網(wǎng)絡(luò)攜砂液流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

攜砂液主要由固體支撐劑和壓裂液組成，因此裂縫中的攜砂液流動(dòng)是一種典型的固液兩相流問(wèn)題. 采用混合物模型對(duì)攜砂液流動(dòng)進(jìn)行模擬計(jì)算. 混合物模型是一種簡(jiǎn)化的兩相模型，只求解一組動(dòng)量方程，即混合物的連續(xù)性方程和固相輸運(yùn)方程，具有較高的計(jì)算效率和收斂性，適合裂縫等復(fù)雜幾何的模擬計(jì)算[22-24]. 本次模擬不考慮溫度對(duì)兩相流動(dòng)的影響.

模型動(dòng)量方程可以表示為[12]：

其中，u是混合物的質(zhì)量平均速度，m·s-1；p是壓力，Pa；g是重力加速度，m·s-2；cs是顆粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)；uslip是固相和液相間的相對(duì)速度，m·s-1；ρ是混合物的密度，kg·m-3，表示為：

其中，ρf和ρs分別是純液體和固體的密度，kg·m-3；φs是固相的體積分?jǐn)?shù). 根據(jù)Krieger表達(dá)式[25]，混合物黏度η表示為：

其中，ηf是純液體的動(dòng)力黏度，Pa·s；φmax是最大的顆粒濃度.

混合物模型中的連續(xù)性方程為[12]：

固相的輸運(yùn)方程為[12]：

其中，us是固相速度，m·s-1，它可以表示為[12]：

將式（6）代入式（5）中[12]：

基于以上方程，使用COMSOL多物理場(chǎng)模擬軟件對(duì)攜砂液流動(dòng)進(jìn)行模擬.

1.2 裂縫網(wǎng)絡(luò)幾何參數(shù)和致密儲(chǔ)油層開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)模型

鋪砂過(guò)程結(jié)束后，裂縫寬度和裂縫滲透率都會(huì)因受壓發(fā)生改變. 朱維耀等[20]根據(jù)支撐劑的最密排列以及Carman-Kozeny公式，結(jié)合彈性力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，建立了考慮鋪砂濃度、閉合壓力、支撐劑粒徑、支撐劑材料以及支撐劑嵌入的裂縫滲透率與縫寬（即導(dǎo)流能力）計(jì)算模型. 通過(guò)該模型，鋪砂計(jì)算出的支撐劑顆粒濃度可以轉(zhuǎn)換為此時(shí)的裂縫寬度和滲透率，進(jìn)而可以用于之后的致密儲(chǔ)層黑油模型計(jì)算中.

受壓后的裂縫寬度計(jì)算公式如下[20]：

其中，wfh為受壓后裂縫的寬度，m；r為支撐劑直徑，m；C為鋪砂濃度，由上文計(jì)算出的支撐劑顆粒濃度換算得到，kg·m-2；mo為單個(gè)支撐劑質(zhì)量，kg；h1為支撐劑嵌入裂縫內(nèi)的距離，m，其計(jì)算公式如下[20]：

其中，F(xiàn)為一個(gè)支撐劑所受的壓力，N；pc為閉合壓力，Pa；μ為支撐劑的彈性模量，Pa；E為支撐劑的泊松比；μ1為壁面材料的彈性模量，Pa；E1為壁面材料的泊松比.

式（8）中的Bt為破碎率，與支撐劑材料及閉合壓力大小有關(guān)：

其中，pm為支撐劑開(kāi)始發(fā)生破裂的臨界閉合壓力，Pa；a和b分別為實(shí)驗(yàn)擬合系數(shù)，量綱為一.

裂縫滲透率計(jì)算公式如下[20]：

其中，no為單位面積支撐劑的個(gè)數(shù)；τ為迂曲度.

獲得縫網(wǎng)裂縫寬度和滲透率之后，需要置入儲(chǔ)層模型中進(jìn)行模擬生產(chǎn)，從而評(píng)價(jià)壓裂改造效果，獲得生產(chǎn)動(dòng)態(tài)規(guī)律. 選取含啟動(dòng)壓力梯度致密油儲(chǔ)層進(jìn)行模擬. 針對(duì)含啟動(dòng)壓力梯度的致密油儲(chǔ)層開(kāi)發(fā)模擬，朱維耀等[21]提出了體積力近似法，可以較為準(zhǔn)確地對(duì)含啟動(dòng)壓力梯度儲(chǔ)層流體流動(dòng)進(jìn)行計(jì)算模擬. 本文模型假設(shè)儲(chǔ)層中的流體只能先流入裂縫，之后才能通過(guò)裂縫流入井筒.

基于以上方程，使用COMSOL多物理場(chǎng)模擬軟件及Livelink for MATLAB研究裂縫網(wǎng)絡(luò)支撐劑非均勻分布對(duì)致密儲(chǔ)層開(kāi)采動(dòng)態(tài)規(guī)律的影響.

2 裂縫網(wǎng)絡(luò)支撐劑運(yùn)移分布模擬

2.1 裂縫網(wǎng)絡(luò)幾何建模與參數(shù)選取

基于Warren-Root正交裂縫網(wǎng)絡(luò)模型[26]以及Mayerhofer等[27]的縫網(wǎng)模型，進(jìn)行了裂縫網(wǎng)絡(luò)幾何建模（圖1）. 裂縫網(wǎng)絡(luò)由兩條人工主裂縫和兩條橫向次級(jí)裂縫組成，主裂縫與次級(jí)裂縫長(zhǎng)度均為100 m，主裂縫初始縫寬為0.02 m，次級(jí)裂縫初始縫寬為0.005 m，井筒半徑為0.1 m. 攜砂液由井筒首先流入主裂縫后再流入次級(jí)裂縫.

圖1 裂縫網(wǎng)絡(luò)幾何模型示意圖Fig.1 Illustration of fracture network model

為了簡(jiǎn)化幾何模型，同時(shí)減少模型計(jì)算量，在實(shí)際計(jì)算時(shí)對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了對(duì)稱簡(jiǎn)化處理（圖2）. 編號(hào)1、2和3為攜砂液出口，設(shè)置為壓力出口邊界且無(wú)固體通量；4、5和6a為對(duì)稱邊界；6b為入口，設(shè)置為速度入口邊界.

圖2 裂縫網(wǎng)絡(luò)對(duì)稱簡(jiǎn)化示意圖Fig.2 Symmetric fracture network model

對(duì)上述幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，使用有限元法進(jìn)行求解. 為了更精確地捕捉固相參數(shù)，在靠近入口和下邊界處進(jìn)行網(wǎng)格加密處理. 計(jì)算中使用的基本參數(shù)如表1中所示.

表1 基本計(jì)算參數(shù)Table 1 Basic calculation parameters

2.2 裂縫網(wǎng)絡(luò)鋪砂計(jì)算結(jié)果分析

（1）裂縫網(wǎng)絡(luò)支撐劑運(yùn)移與分布狀態(tài)規(guī)律.

根據(jù)上述模型與計(jì)算參數(shù)，首先對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的攜砂液流動(dòng)進(jìn)行模擬，計(jì)算時(shí)間為1000 s，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.

圖3 裂縫網(wǎng)絡(luò)鋪砂過(guò)程示意圖Fig.3 Illustration of proppant-laden fluid injection process

從圖3中可以看出，裂縫網(wǎng)絡(luò)中支撐劑濃度的分布狀態(tài)要明顯不同于單裂縫. 支撐劑在進(jìn)入裂縫網(wǎng)絡(luò)之后逐漸以“砂包”狀緩慢向前推進(jìn)，在到達(dá)主裂縫與分支縫交匯點(diǎn)后，逐漸形成支撐劑堆積，裂縫交匯點(diǎn)處的支撐劑沉降堆積高度要明顯高于其他部分. 繼續(xù)注入攜砂液，支撐劑開(kāi)始進(jìn)入次級(jí)裂縫，從圖3（c）中可以看出，鋪砂過(guò)程結(jié)束后次級(jí)裂縫外側(cè)部分的砂堤堆積高度要比主裂縫中小25%～50%，其支撐劑懸浮區(qū)則明顯更大. 相比較而言，次級(jí)裂縫內(nèi)側(cè)部分由于溝通了兩條主裂縫，其支撐劑堆積高度也要明顯高于外側(cè)部分，改造效果更加明顯.

（2）鋪砂參數(shù)對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)平均導(dǎo)流能力影響.

為了研究支撐劑物性參數(shù)以及鋪砂施工參數(shù)對(duì)鋪砂效果的影響，選取不同支撐劑粒徑、材料和攜砂液注入速度進(jìn)行鋪砂模擬. 通過(guò)模擬得到縫網(wǎng)各處的支撐劑濃度后，通過(guò)式（8）和式（11）計(jì)算縫網(wǎng)內(nèi)各部分導(dǎo)流能力，再對(duì)縫網(wǎng)進(jìn)行整體積分，取得裂縫網(wǎng)絡(luò)的平均導(dǎo)流能力，并將該導(dǎo)流能力參數(shù)作為衡量鋪砂效果進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選的定量指標(biāo).

為了研究支撐劑粒徑對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)整體導(dǎo)流能力的影響，選取直徑為200、300和400 μm的支撐劑顆粒進(jìn)行計(jì)算，在其他因素相同的情況下，研究不同閉合壓力下，不同粒徑支撐劑所形成裂縫平均導(dǎo)流能力. 計(jì)算結(jié)果如圖4所示，縫網(wǎng)平均導(dǎo)流能力與支撐劑粒徑大小呈正相關(guān)關(guān)系：在閉合壓力為10 MPa的條件下，粒徑400 μm計(jì)算出的導(dǎo)流能力要比200 μm情況大10 D·cm左右；當(dāng)閉合壓力壓力增大到60 MPa時(shí)，二者則相差3 D·cm. 整體而言，大粒徑支撐劑的對(duì)裂縫導(dǎo)流能力的正作用較為明顯.

圖4 支撐劑粒徑對(duì)縫網(wǎng)整體導(dǎo)流能力的影響Fig.4 Effect of proppant diameter on fracture network conductivity

為了研究支撐劑材料對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)整體導(dǎo)流能力的影響，選取石英和陶粒作為模擬對(duì)象. 陶粒彈性模量為100 GPa，泊松比為0.25；石英彈性模量為30 GPa，泊松比為0.15. 計(jì)算結(jié)果如圖5所示，在相同鋪砂條件下，石英支撐劑計(jì)算出的縫網(wǎng)平均導(dǎo)流能力要小于陶粒. 二者之間的差異大小與閉合壓力呈正相關(guān)關(guān)系. 當(dāng)閉合壓力為0時(shí)，二者的導(dǎo)流能力基本相等，而當(dāng)閉合壓力上升到60 MPa時(shí)，石英的破碎率遠(yuǎn)高于陶粒，其導(dǎo)流能力要比陶粒小50%. 因此，在實(shí)際選取支撐劑種類(lèi)時(shí)，支撐劑的材料也是必須要考慮的因素. 變形能力小，材料強(qiáng)度大，不易破碎的材料對(duì)于水力壓裂改造效果具有較大的正影響.

圖5 支撐劑材料對(duì)縫網(wǎng)整體導(dǎo)流能力的影響Fig.5 Effect of proppant materials on fracture network conductivity

為了研究攜砂液注入速度對(duì)裂縫網(wǎng)絡(luò)整體導(dǎo)流能力的影響，選取攜砂液的法向入口流速分別為0.3，0.4，0.5和0.6 m·s-1，計(jì)算裂縫網(wǎng)絡(luò)平均導(dǎo)流能力，計(jì)算結(jié)果如圖6所示.

圖6 攜砂液注入速度對(duì)縫網(wǎng)整體導(dǎo)流能力的影響Fig.6 Effect of proppant-laden fluid injection velocity on fracture network conductivity

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，注入攜砂液速度越大，其裂縫網(wǎng)絡(luò)的整體導(dǎo)流能力越大，二者呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系. 但是隨著流入速度逐漸增加，裂縫網(wǎng)絡(luò)整體導(dǎo)流能力的增長(zhǎng)逐漸變緩，當(dāng)注入速度大于0.6 m·s-1，時(shí)，再繼續(xù)增加注入速度，導(dǎo)流能力增長(zhǎng)比較有限. 通過(guò)計(jì)算注入砂量大小以及裂縫平均導(dǎo)流能力的比值，最佳的攜砂液注入速度為0.4 m·s-1左右.

3 裂縫網(wǎng)絡(luò)支撐劑非均勻分布對(duì)致密儲(chǔ)層開(kāi)采動(dòng)態(tài)規(guī)律影響

傳統(tǒng)油藏?cái)?shù)值模擬模型一般假定壓裂裂縫內(nèi)部滲透率相等，縫寬相等. 而實(shí)際情況下，由于支撐劑在裂縫中的運(yùn)移分布差異，裂縫各處的滲透率與縫寬存在差異，這種差異往往會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差，影響模擬計(jì)算及結(jié)果的準(zhǔn)確性. 通過(guò)對(duì)比支撐劑理想分布條件和支撐劑非均勻分布條件下的致密儲(chǔ)層生產(chǎn)表現(xiàn)，定量研究支撐劑非均勻分布對(duì)油藏?cái)?shù)值模擬計(jì)算結(jié)果的影響，模型計(jì)算參數(shù)如表2所示.

表 2 基本計(jì)算參數(shù)Table 2 Basic calculation parameters

圖7 裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)支撐劑理想均勻分布與不均勻分布條件下的致密儲(chǔ)層開(kāi)發(fā)300 d壓力場(chǎng)對(duì)比. （a）支撐劑均勻分布狀態(tài)；（b）基于支撐劑均勻分布的儲(chǔ)層壓力場(chǎng)分布；（c）支撐劑不均勻分布；（d）基于支撐劑不均勻分布的儲(chǔ)層壓力場(chǎng)分布Fig.7 Comparison between pressure distribution based on proppant idealized and uneven distribution at 300 days in a tight oil reservoir: (a) idealized proppant distribution; (b) pressure distribution with even proppant distribution; (c) uneven proppant distribution; (d) pressure distribution with uneven proppant distribution

支撐劑理想均勻分布如圖7（a）所示，支撐劑非均勻分布如圖7（c）所示. 兩種分布狀態(tài)衍生計(jì)算出的致密油儲(chǔ)層生產(chǎn)300 d后壓力場(chǎng)分布分別如圖7（b）和圖7（d）所示. 可以看出考慮支撐劑非均勻分布的條件下，裂縫網(wǎng)絡(luò)的有效控制面積相對(duì)較小，壓降主要集中在主裂縫周邊；而支撐劑理想分布的條件下，裂縫網(wǎng)絡(luò)的有效控制面積更大，壓力波及范圍更廣，壓降集中在主裂縫以及次級(jí)縫周邊. 因此在油藏?cái)?shù)值模擬的過(guò)程中，將所有裂縫都假定為理想等寬裂縫的做法并不合理，需要針對(duì)儲(chǔ)層特性以及壓裂施工方式進(jìn)行具體分析.

研究同時(shí)發(fā)現(xiàn)，基質(zhì)滲透率大小會(huì)對(duì)考慮與不考慮支撐劑不均勻分布兩種情況之間的產(chǎn)量差異產(chǎn)生影響. 在其他參數(shù)相同的條件下，改變儲(chǔ)層的基質(zhì)滲透率，計(jì)算兩種情況下的產(chǎn)量增長(zhǎng)系數(shù)[27]進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果如圖8所示.

圖8 基質(zhì)滲透率對(duì)計(jì)算產(chǎn)量差異的影響Fig.8 Effect of matrix permeability on difference in calculated productivity

從圖8中可以看出，兩種情況下的產(chǎn)量差異與基質(zhì)滲透率呈反比關(guān)系，該結(jié)論與Kong等[28]的計(jì)算結(jié)果基本一致. 當(dāng)模型基質(zhì)滲透率為0.05 mD時(shí)，支撐劑理想均勻分布條件下的產(chǎn)量要比考慮支撐劑不均勻分布的情況高41.7%，在這種情況下不能忽略支撐劑非均勻分布的影響. 而當(dāng)基質(zhì)滲透率為5 mD時(shí)，二者的產(chǎn)量差異在5%以內(nèi)，此時(shí)如果用理想化等寬等滲裂縫進(jìn)行油藏?cái)?shù)值模擬則較為合理.

4 實(shí)例應(yīng)用

以勝利油田某低滲透區(qū)塊一水平井為例，完鉆井深為3542 m，油層厚度為20 m. 根據(jù)壓裂層測(cè)井解釋情況，平均滲透率為5.8 mD，地面原油平均密度為0.858 g·cm-3，平均原油黏度為16.68 mPa·s，水平井壓裂14段，平均段間距為67.2 m，平均裂縫半長(zhǎng)為152.1 m. 依照現(xiàn)場(chǎng)提供模擬參數(shù)，首先對(duì)目標(biāo)儲(chǔ)層進(jìn)行鋪砂模擬，而后轉(zhuǎn)為生產(chǎn)模擬，計(jì)算產(chǎn)量與實(shí)際油田產(chǎn)量如圖9所示.

從對(duì)比圖中可以看出，鋪砂-生產(chǎn)耦合模擬計(jì)算得出的產(chǎn)量曲線與實(shí)際水平井產(chǎn)量曲線較為貼合，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，同時(shí)為模型今后進(jìn)一步應(yīng)用與實(shí)際生產(chǎn)奠定了基礎(chǔ). 該模型具有較大的應(yīng)用與拓展空間.

圖9 耦合計(jì)算模型結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.9 Comparison of oil rate between coupling model and oil field data

5 結(jié)論

為了研究裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)支撐劑運(yùn)移分布規(guī)律以及支撐劑不均勻分布對(duì)致密儲(chǔ)層的影響，基于作者提出的多個(gè)數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建了致密儲(chǔ)層水力壓裂生產(chǎn)耦合計(jì)算模型，對(duì)致密油儲(chǔ)層壓裂開(kāi)發(fā)生產(chǎn)全過(guò)程進(jìn)行模擬，得到了以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）水平井裂縫網(wǎng)絡(luò)中的支撐劑運(yùn)移與分布狀態(tài)與垂直井單裂縫存在明顯差異. 在裂縫網(wǎng)絡(luò)中，支撐劑會(huì)在裂縫交匯處產(chǎn)生堆積，堆積高度高于縫網(wǎng)其他部分. 次級(jí)裂縫中的支撐劑更多的處于懸浮狀態(tài)，且支撐劑堆積高度相較于主裂縫小25%～50%. 溝通次級(jí)縫具有更高的支撐劑沉降堆積程度，有利于油氣資源的開(kāi)發(fā).

（2）裂縫網(wǎng)絡(luò)平均導(dǎo)流能力與支撐劑粒徑大小呈正比. 縫網(wǎng)導(dǎo)流能力還與法向注入速度呈正比，考慮注砂經(jīng)濟(jì)性，該模型條件下最佳的攜砂液注入速度為0.4 mμs-1左右.

（3）在進(jìn)行油藏?cái)?shù)值模擬時(shí)應(yīng)考慮支撐劑非均勻分布對(duì)計(jì)算結(jié)果的潛在影響. 計(jì)算結(jié)果顯示，當(dāng)基質(zhì)滲透率為0.05 mD時(shí)，支撐劑理想均勻分布條件下計(jì)算出的產(chǎn)量要比考慮支撐劑非均勻分布的情況高41.7%；當(dāng)基質(zhì)滲透率逐漸增大到5 mD時(shí)，產(chǎn)量差異在5%以內(nèi)，此時(shí)忽略支撐劑非均勻分布相對(duì)合理.