多元變量總體最小二乘法在坐標轉(zhuǎn)換中的初探*

鐘陽弟

(廣東省國土資源測繪院,廣東 廣州 510000)

三維激光掃描儀獲取建筑物或者構(gòu)件的點云數(shù)據(jù)時，往往需要多測站掃描。如果在掃描時可以直接得到相鄰兩站同名點的地理坐標，可以將測站坐標轉(zhuǎn)換至統(tǒng)一的地理坐標系下進行拼接；若采用靶球等作為公共點傳遞或者其他無法得到相鄰測站公共點地理坐標的，一般采用序列拼接的方式，依次進行坐標轉(zhuǎn)換，坐標轉(zhuǎn)換的誤差將會傳遞與積累，使得最終模型拼接精度不高。因此，高精度求得坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)尤為重要。本文引用多元變量總體最小二乘非迭代方法對系數(shù)陣和觀測向量進行改正，能較好地解決系數(shù)矩陣和觀測向量存在隨機誤差的問題，同時又能易于編程實現(xiàn)，快速計算。

1 最小二乘法

陳義等提出了一種基于空間大旋轉(zhuǎn)角的坐標轉(zhuǎn)換方法[1]，該方法簡單嚴密，適用性廣。旋轉(zhuǎn)矩陣9個參數(shù)中有3個獨立變量，其余6個為非獨立旋轉(zhuǎn)參數(shù)，因此將三維基準轉(zhuǎn)換模型進行泰勒級數(shù)展開，將9個方向余弦作為未知變量，建立包含13個未知參數(shù)的觀測方程，再利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性作為限制條件，列出平差模型[2]。當控制點數(shù)量大于3時，通常采用最小二乘的方法建立誤差模型進行解算。對于觀測方程y=Aξ，就是假設觀測矩陣A不包含隨機誤差，只有觀測向量y包含隨機誤差。本文對最小二乘法函數(shù)模型不做詳細推導闡述。

2 多元變量總體最小二乘法

最小二乘法采用的誤差模型認為所有誤差都包含在目標系統(tǒng)[3]中，即觀測方程無需改正。事實上每一種測量值都包含各種各樣的誤差(如粗差、人為誤差、模型誤差和取樣誤差)，所以設計矩陣A也是包含未知的隨機誤差的，此時再用傳統(tǒng)的誤差模型求出的參數(shù)估值并不是最優(yōu)的，這是由于模型誤差引起的。而采用總體最小二乘方法建立誤差模型，就可以同時考慮觀測矩陣和系數(shù)矩陣包含的隨機誤差問題[4]，從而得到更精確的參數(shù)解。

Felus等[5]提出的同方差相似變化表達為：

總體最小二乘方法的誤差函數(shù)模型及隨機模型如下：

Y-EY=(A-EA)R

(2)

RTR=I

(3)

(4)

vec(EY)T·vec(EY)+vec(EA)T·vec(EA)=min

(5)

即誤差平方和最?。?/p>

(6)

所以構(gòu)造Lagrange目標方程：

(7)

式中,λ為n×3 Lagrange乘向量。由(7)式對各未知數(shù)求導得：

(8)

聯(lián)立五式得到：

(9)

(10)

將式(9)、式 (10)帶入式(6)得：

(11)

再將式(3)分別帶入到式(9) 、式(11)得：

(12)

(13)

所以若旋轉(zhuǎn)矩陣R已知，則上式是只關于變量的方程式，要使等式左邊最小，將等式右邊展開得：

(14)

(15)

(16)

該方法驗后單位權(quán)中誤差的計算公式采用

(17)

(18)

旋轉(zhuǎn)角度可以根據(jù)下式計算

(19)

式中,Rij為旋轉(zhuǎn)矩陣R中第i行j列元素；εx,εy，εz分別為笛卡爾坐標系中繞坐標軸XY和Z的旋轉(zhuǎn)角。

所以計算誤差模型中最優(yōu)相似轉(zhuǎn)換參數(shù)的步驟總結(jié)如下：

(2)進行SVD分解：ATY=U∑V；

(3)令D=diag(1,1,det(UVT))；

式中，1n是n×1階各元素都為1的列向量。

3 實驗分析

為了論證上述算法的正確性、可行性及精確性，本次實驗采用最小二乘迭代算法(LS)和多元變量總體最小二乘法(簡稱PSTLS)兩種算法，編寫程序利用實際數(shù)據(jù)進行計算，分別從參數(shù)估值、單位權(quán)中誤差、坐標較差等幾個方面對結(jié)果進行對比和分析。已知某新體育館框架結(jié)構(gòu)中一個構(gòu)件的剛體坐標系和測量坐標系下的兩套坐標，坐標如表1所示。剛體結(jié)構(gòu)坐標是相對位置坐標，采用的坐標系方向：X為北、Z為東、Y向上，原點為構(gòu)件端點鉸的中心，且為右手系。測量采用的坐標系方向：X為北、Y向東、Z向上，原點為任意假設，且測量坐標系為左手系。兩個坐標系的指向存在未知的夾角，均采用重心坐標系進行數(shù)據(jù)計算，用各程序算出坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)果如表2所示。

表1 剛體坐標系和測量坐標系下對應點坐標

表2 LS和PS-TLS計算出的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

分別利用LS和PS-TLS兩種方法計算的關鍵節(jié)點坐標值和已知坐標值的對比差值如表3所示。

由LS和PS-TLS兩種方法計算結(jié)果的精度如表4所示。

表3 LS和PS-TLS法計算出的已知點坐標差/mm

表4 三種方法坐標轉(zhuǎn)換精度比較

由轉(zhuǎn)換精度可知PS-TLS法比LS法精度更高，從轉(zhuǎn)換的已知點坐標差值看，PS-TLS法的差值更小。兩種方法從精度方面都達到了0.1 mm級，能滿足常規(guī)工程應用，方法可行。運算過程中，LS法耗時112 s，PS-TLS法耗時23 s，效率上講PS-TLS法更優(yōu)。

4 結(jié) 語

最小二乘迭代法主要是將非線性模型轉(zhuǎn)換為線性模型[8]，可用于任意角度的旋轉(zhuǎn)，包括左、右手系坐標之間的轉(zhuǎn)換，而無需預先知道旋轉(zhuǎn)角度的近似值。但是需要設定初始參數(shù)值，且對參數(shù)初始化要求較高，要求參數(shù)初值必須在收斂半徑內(nèi)，否則無法收斂。而多元變量總體最小二乘法是一種嚴格意義上基于點對點的配準方法[9]，精度高，可以轉(zhuǎn)換任意角度的兩套坐標系，計算過程中沒有矩陣求逆，在球形標靶分布不均勻或者數(shù)量較小的情況下，也能得到高精度的解算，該算法還易于編程實現(xiàn)。該方法在點云拼接過程中能夠極大程度上提高拼接精度，簡單可行。

但它只是同方差的3D轉(zhuǎn)換，如果兩套坐標點集的坐標精度不一致，還需要考慮對觀測數(shù)據(jù)加權(quán)，然后再帶入算法計算。后續(xù)對加權(quán)總體最小二乘法[10]的研究以及在點云拼接過程的精度影響還需進一步研究。