不“破”不“立”，滲透數(shù)學(xué)模型思想

江蘇省昆山高新區(qū)漢浦中學(xué) 周雨馨

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)模型思想，在日常教學(xué)中往往會(huì)忽略建模的發(fā)生過程。數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)，“建”的過程比“用”更重要，故而在日常教學(xué)中應(yīng)該更注重“看破”問題、“建立”模型的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷勝于讓學(xué)生知道，不“破”不“立”。

一、初次教學(xué)及分析

1.設(shè)置有效活動(dòng)，注重?cái)?shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)

【案例 1】 正切概念的引入

一般情況下，學(xué)習(xí)正切之前，教師都會(huì)問“直角三角形的邊、角各有什么關(guān)系”，進(jìn)一步，“直角三角形的邊與角之間又有什么關(guān)系”，從而呈現(xiàn)正切的概念模型，隨之就是大量的鞏固練習(xí)。這樣處理，實(shí)際上學(xué)生對(duì)正切這個(gè)數(shù)學(xué)模型感覺很神秘、理解不透徹。而通過設(shè)置合適的有效活動(dòng)，能讓學(xué)生從中尋找不同的角度切入，找到思考點(diǎn)。

正切概念的引入有兩種常見的活動(dòng)設(shè)置：一種是移動(dòng)靠在墻上的梯子，探究“如何比較梯子的傾斜程度”，抽象出傾斜程度與線段之間的關(guān)聯(lián)性；另一種是對(duì)于一組臺(tái)階，探究“如何比較臺(tái)階哪個(gè)更陡”，抽象出傾斜角度的相關(guān)線段的關(guān)系。兩種情景引入都是從生活現(xiàn)實(shí)入手，讓學(xué)生在變化的情境中思考“從數(shù)學(xué)角度你有什么發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，提出在構(gòu)成的直角三角形中角與線段的關(guān)系的問題，抽象得到正切模型。通過有效活動(dòng)的引入，學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)會(huì)思考“模型是怎么來(lái)的”，首先能夠“看破”這個(gè)模型，之后才能學(xué)會(huì)“建立”更多模型，這也培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力和建模意識(shí)。

2.通過變式教學(xué)，關(guān)注數(shù)學(xué)模型思想的運(yùn)用

【案例 2 】全等三角形的“一線三等角”模型

已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是過點(diǎn)A 的一條直線，且BD ⊥AE 于D，CE ⊥AE 于E。

（1）當(dāng)直線AE 處于如圖1 的位置時(shí)，有BD=DE+CE，請(qǐng)說明理由；

（2）當(dāng)直線AE處于如圖2的位置時(shí)，則BD，DE，CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說明理由；

（3）歸納（1）（2），請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)BD，DE，CE 之間的關(guān)系。

通過變化的圖形，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)“一線三等角”等基本模型的理解，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽象基本圖形的能力，達(dá)到“看破”圖形、“建立”模型、解決問題的目的。這種變式教學(xué)，教師可以讓學(xué)生在具體解題過程中感受到共性，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)尋找規(guī)律，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象其中的共性，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)模型，從過程中體會(huì)“建?！钡谋匾?，加深對(duì)模型的理解，拓展學(xué)生思維的廣度和深度。通過變式，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型思想的妙處，從而在日常解題中潛移默化地學(xué)會(huì)抽象數(shù)學(xué)模型、自構(gòu)模型。

二、借助學(xué)后反思實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想的總結(jié)

【案例 3】 用方程（不等式）解決實(shí)際問題

從用一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程解決問題再到用不等式解決問題等，每一小節(jié)的學(xué)習(xí)都強(qiáng)調(diào)了一個(gè)閉合模型結(jié)構(gòu)：將實(shí)際問題通過審（已知量、未知量、等量或不等量關(guān)系）、設(shè)（未知數(shù)）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再根據(jù)數(shù)學(xué)問題找到數(shù)學(xué)模型列（方程或不等式）并求解得到數(shù)學(xué)解，最后通過檢驗(yàn)數(shù)學(xué)解是否符合實(shí)際得到實(shí)際解，從而解決一開始提出的實(shí)際問題。

在這類問題中，數(shù)學(xué)模型思想是重中之重，教學(xué)重點(diǎn)是建立方程（不等式）模型，教學(xué)難點(diǎn)是從實(shí)際問題中找到等量（不等量）關(guān)系抽象出方程（不等式）進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。在這類問題中，模型思想是通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型把問題轉(zhuǎn)換成熟悉的模型，比如，商品模型、工程模型、路程模型等。教師在相似知識(shí)點(diǎn)教學(xué)活動(dòng)后，通過問題啟發(fā)學(xué)生對(duì)舊知的聯(lián)想生成，反思總結(jié)所學(xué)，體會(huì)解決同類問題的策略，將數(shù)學(xué)模型歸納，培養(yǎng)學(xué)生 “拓?！蹦芰?，提升數(shù)學(xué)建模能力。

三、教學(xué)反思及建議

1.遞進(jìn)式建模教學(xué)

遞進(jìn)式建模教學(xué)就是在循序漸進(jìn)的原則下，“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，通過教學(xué)將建模過程層層遞進(jìn)，問題條件逐步一般化，難度逐步提升，形成認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲望，呈現(xiàn)與學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)相適應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生自然生成。只有學(xué)會(huì)了如何“破”題“立”模，才能從根本上解決問題，逐漸加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.自主式建模教學(xué)

由于每課時(shí)都有相對(duì)獨(dú)立的學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)經(jīng)歷從實(shí)際情景中用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題、建構(gòu)模型、解決問題的完整過程，真正獨(dú)立解決問題時(shí)往往“空有一身修為”。因此，在教學(xué)過程中要更多地以學(xué)生為中心，讓學(xué)生不斷感受解題過程中的趨向性，感受模型和具體數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，自主完成數(shù)學(xué)模型建立的過程。

3.背景式建模教學(xué)

在日常教學(xué)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的滲透，讓學(xué)生產(chǎn)生了“只要找到模型就能用”的錯(cuò)覺，忽略了模型的背景——模型成立的條件、模型的本質(zhì)。“模型化解題”確實(shí)可以幫助學(xué)生有效提高解題速度，化難為易，化陌生為熟悉，但簡(jiǎn)單的“套模”實(shí)際上忽視了思維過程的呈現(xiàn)。教師應(yīng)加強(qiáng)模型生成的教學(xué)，強(qiáng)化對(duì)模型本質(zhì)與規(guī)律的背景挖掘，讓學(xué)生知其然，更知其所以然，優(yōu)化思維方式，提升分析問題、解決問題的探究能力，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“建”模，滲透數(shù)學(xué)模型思想。