核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 梁 超

不少學(xué)生從初中步入高中后，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸產(chǎn)生畏懼、挫敗感，一方面是因為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容更廣、更深，另一方面是因為學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解不透徹，沒有熟練掌握基本學(xué)習(xí)應(yīng)用方法。2017 年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出了六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。隨著課程改革和新高考方案的不斷推進發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教育越來越關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于教材的，對數(shù)學(xué)的理解與把握是日積月累的，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展也應(yīng)是循序漸進的。教師在平時的教學(xué)中要特別注重對基礎(chǔ)知識的講授，只有將地基打牢了，才能建造出堅固的房子。概念教學(xué)作為基礎(chǔ)知識中的重要環(huán)節(jié)，應(yīng)當(dāng)引起教師和學(xué)生的充分重視。

一、概念教學(xué)的重要性

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，每一個數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展都充滿了豐富多彩的經(jīng)歷，是數(shù)學(xué)家們美妙智慧的結(jié)晶。有了數(shù)學(xué)概念，才會有相應(yīng)的定理、性質(zhì)，可以說，數(shù)學(xué)這座雄偉的宮殿正是建造在一個個概念之上的。數(shù)學(xué)概念是學(xué)生構(gòu)建知識體系的根基，如果概念理解不透徹，往后的解題很可能是機械化的操作，難以激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如有一部分學(xué)生常常將函數(shù)的零點、極值點寫成一個坐標(biāo)，這正是因為在初次學(xué)習(xí)概念時，沒有深入理解這里的點不是坐標(biāo)，而是實數(shù)，也正如把截距錯誤地記憶成某種距離，還有學(xué)生會把兩個單調(diào)區(qū)間用符號“∪”連接起來，說明對區(qū)間的概念就沒有認(rèn)識到位，區(qū)間是一段連續(xù)的范圍，這樣用“∪”連接起來的兩段范圍首先都不是區(qū)間了，往往也會破壞函數(shù)原來的單調(diào)性。

數(shù)學(xué)概念既是章節(jié)內(nèi)容的根本，也往往是各個知識點之間的聯(lián)系紐帶。比如“任意角的三角函數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)的重要概念，是緊接著學(xué)習(xí)三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的重要基礎(chǔ)，也與后續(xù)向量、參數(shù)方程等知識的學(xué)習(xí)有著緊密的聯(lián)系。在新授課時，教師應(yīng)當(dāng)舍得花時間與學(xué)生一起研究概念對象，分析概念是怎么來的、為什么要這么定義，充分認(rèn)識概念的內(nèi)涵。這既是幫助學(xué)生夯實基本功的有效途徑，又能調(diào)動學(xué)生自主探究的積極性。

二、如何開展概念教學(xué)

筆者曾經(jīng)做過調(diào)查統(tǒng)計，相對于習(xí)題課，學(xué)生實際上更喜歡概念新授課。心理學(xué)研究表明，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的過程往往是一個概念的心理表征的構(gòu)建過程，而構(gòu)建來自主體對相關(guān)事件的豐富體驗，體驗?zāi)骋桓拍钍侨绾涡纬傻摹⒂质侨绾伟l(fā)展的，從中領(lǐng)會概念所蘊含的深刻內(nèi)涵。因此，教師應(yīng)當(dāng)通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等活動學(xué)習(xí)概念。在具體教學(xué)實踐中，教師可以考慮從以下三個方面設(shè)計概念教學(xué)：

1.基于基本經(jīng)驗，提升思維品質(zhì)

這樣安排既有利于幫助學(xué)生鞏固對函數(shù)概念的認(rèn)知，又能激發(fā)學(xué)生思考。學(xué)生在推廣概念的過程中，不難想到去構(gòu)建任意角對應(yīng)的直角三角形，確立任意角的三角函數(shù)，更能充分理解點的坐標(biāo)與三角函數(shù)的關(guān)系。類似的，當(dāng)學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)完指數(shù)函數(shù)后，教師可以從定義域、值域、圖像、性質(zhì)等方面引導(dǎo)學(xué)生主動進行關(guān)于對數(shù)函數(shù)的探究學(xué)習(xí)。通過新舊概念之間的聯(lián)系對比，既能深化理解概念，又能形成知識點的前后呼應(yīng)，形成知識網(wǎng)絡(luò)。如果教師直接照本宣科地講授概念，學(xué)生沒有經(jīng)歷深入思考的過程，對概念的理解只能停留在表面。教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，由量變到質(zhì)變，完成認(rèn)知的飛躍，才能有利于培養(yǎng)優(yōu)秀的思維品質(zhì)。

2.創(chuàng)設(shè)具體情境，導(dǎo)入抽象概念

理想的教學(xué)情境能為學(xué)生的思維活動營造積極有意義的氛圍，能讓學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)探究的過程中經(jīng)歷知識的生成。創(chuàng)設(shè)概念教學(xué)的情境可以從兩方面入手：一個是生活實際，另一個是理論問題。數(shù)學(xué)與生活實際是緊密聯(lián)系的，很多數(shù)學(xué)知識都有其實際含義，數(shù)學(xué)概念更是如此。必修五在引入等差數(shù)列前，給出了奧運會、某電信公司的一種計費標(biāo)準(zhǔn)、儲蓄月利率（單利）三個實際例子。在介紹等比數(shù)列前也列舉了放射性物質(zhì)的衰變、轎車折舊率、投資收益率（復(fù)利）三個實際例子。一方面可以讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)更多這樣的實際生活例子，另一方面引導(dǎo)學(xué)生歸納出這類數(shù)列的特點，思考如何用數(shù)學(xué)語言表述這類數(shù)列。

不少學(xué)生在學(xué)習(xí)完概念后沒過多長時間就記不全或者記憶錯誤，甚至完全遺忘，主要是因為學(xué)習(xí)概念時沒明白這個概念是怎么來的、為什么要這樣定義、能解決什么問題。教師根據(jù)學(xué)生的心理特點和認(rèn)知水平，不管是通過選取鮮活的實際例子，還是提出有思考價值的理論問題創(chuàng)設(shè)具體情境，目的都是要調(diào)動學(xué)生深入積極地思考，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)。

3.滲透數(shù)學(xué)思想，融入數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化涉及面廣泛，有豐富的內(nèi)涵，表現(xiàn)形式多種多樣，伴隨學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。著名數(shù)學(xué)家李大潛曾指出：數(shù)學(xué)文化的滲入，雖然表面上看僅僅是一個配角，但在密切結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)涵這一載體的講授過程中，卻不顯山、不露水地起著畫龍點睛的作用。數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，本身就是豐富多彩的，常用的有數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類整合思想、函數(shù)與方程思想、歸納推理思想等。概念教學(xué)作為章節(jié)起始課，教師從比較寬廣的角度去設(shè)置探究活動，將數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)文化的一個切入點融合到概念教學(xué)中，能夠起到四兩撥千斤的作用，提高學(xué)生的課堂參與度，培養(yǎng)合作組織能力并提升綜合素質(zhì)。

函數(shù)思想是聯(lián)結(jié)高中數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)的概念是高中學(xué)生接觸的第一個非常抽象的數(shù)學(xué)概念，將其稱為最重要的高中數(shù)學(xué)概念也不為過。能否將函數(shù)的概念認(rèn)識到位、理解透徹，對學(xué)生整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式和思維能力有著重要的導(dǎo)向作用。在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程中，難免會出現(xiàn)經(jīng)驗認(rèn)知的偏差和沖突，這應(yīng)該是一個循序漸進、逐步深化的過程。教師可以采取小組合作探究的形式充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓各小組課前主要研究三個問題：（1）預(yù)習(xí)函數(shù)的概念，結(jié)合初中所學(xué)舉例說明對函數(shù)的認(rèn)識；（2）根據(jù)教材的閱讀材料介紹函數(shù)概念的發(fā)展，搜集教材中沒提到的有意思的數(shù)學(xué)故事或有價值的數(shù)學(xué)問題；（3）你們小組對函數(shù)的概念有沒有感到困惑的地方或者有沒有想進一步研究的問題？通過課前的充分準(zhǔn)備，學(xué)生在課堂上交流互動，能夠從函數(shù)思想的形成與發(fā)展過程中體會到函數(shù)概念的建立不是一蹴而就的，而是凝聚了一代代數(shù)學(xué)家的聰明才智。只有充分理解把握函數(shù)的概念，才能在今后的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成用函數(shù)思想思考問題的習(xí)慣，深化各部分知識的聯(lián)系，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。這樣研究小課題的概念學(xué)習(xí)方式每學(xué)期可以開展一次，也適用于向量、圓錐曲線、復(fù)數(shù)等概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生在課題學(xué)習(xí)研究的過程中能夠充分體會到數(shù)學(xué)文化的魅力。

三、核心素養(yǎng)對概念教學(xué)的啟示

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀念的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的。大體來說，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目標(biāo)是讓學(xué)生了解概念的來由和發(fā)展，理清相關(guān)知識點之間的邏輯關(guān)系，能夠正確地運用概念解決相應(yīng)問題。對抽象的數(shù)學(xué)概念的理解本身就對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提出了一定要求，當(dāng)學(xué)生能夠積極地投入概念形成的過程中時，自然會提升數(shù)學(xué)抽象能力。教師在進行概念教學(xué)設(shè)計時，可以明確各階段學(xué)生應(yīng)當(dāng)發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。以等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念學(xué)習(xí)為例，首先從觀察舉例到概括抽象的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；其次，通過通項公式的探究培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；最后，通過例題練習(xí)的解答培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。我們也應(yīng)認(rèn)識到六大素養(yǎng)并不是單獨孤立的，在具體的情境中很可能是同時發(fā)展的。比如在獨立性檢驗和回歸分析的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算是緊密聯(lián)結(jié)在一起的?？傊?，教師在概念教學(xué)中不僅要考慮如何引入、形成、鞏固和應(yīng)用，更要思考怎樣恰到好處地將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入其中。

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和教學(xué)歷來都是教師的重點研究對象，流于表面機械化地學(xué)習(xí)概念一直是個突出問題，筆者嘗試在核心素養(yǎng)背景下思考如何提高概念教學(xué)的有效性。如果脫離了對數(shù)學(xué)概念的正確理解，是不可能進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維活動的，也無法構(gòu)成有效的數(shù)學(xué)思想和方法。教師和學(xué)生首先要對概念學(xué)習(xí)引起足夠的重視，其次應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中利用好教材，又不局限于教材，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極主動性，這樣才能幫助學(xué)生真正理解掌握概念，走進數(shù)學(xué)的世界。